新新教案系列高中数学第二章全程优化复习pdf苏教选修11

圆锥曲线与方程第$章 % ! 教!学 札记! 4 6# ) $!-$#* #%) !-#*槡 # #!63 槡 # ) $!%$#* #-% $!$ 槡 #%)!63 #* ! 因为H B 4,H B 5# ( 所以4 6D5 D 所以5 D的斜率为-! 3 从而5 D的方程为#-! 3$%! 同理可得5 D#% !6 - ! )* 3 01 # #% )!63 #* 3 # ! ;四边形4 5 6 D# ! #4 6,5 D# 5)!63 #*# 3 # #53 #%#6! 3 )* #,$ #! 当3#!时 等号成立 所以四边形4 5 6 D面积的最小 值为$ #! 图#.*.+ ! (!如图#.*.+所示 已知椭 圆6% $ # ) #% # + #!) )#+# (* 的左右焦点分别为B! B# 离心率为G 直线2%# G $%)与$轴!轴分别交 于4! 5两点8是直线2 与椭圆6的一个公共点! =是点B!关于直线2的对称点 设 H 48#* H 4 5! )!* 证明% *#!,G #+ )#* 求*的值 使得5= B!B#是等腰三角形! )!* 证明! 因为直线#G $%)与$轴! 轴交点为4! 5 则4-) G )* (5)()*!联立方程 #G $%) $ # ) #% # + # ) * + ! 得 8-* + # )* ) 其 中*# ) #- + 槡 # 由H 48#* H 4 5 即 ) G -*#*) G + # ) #* ) * + ) 得*#+ # ) #!,* # ) # 即*#!,G #! )#* 解! 因为= B!D2 所以6= B!B#- ( 9 %65 4 B# 要使5= B!B#为等腰三角形 必有= B!#B!B# 即 ! # = B!#*即B! 到2的 距 离 为*于 是 .G,)-*%). !6G 槡 # #*! 所以.)-* G.#*, !6G 槡 #! 两边平方得) #-# ) * G%* # G # * #% * # G # 两边同除以) # 解得G#! $! 所以当*# $ 时5= B!B#为等腰直角三角形 ! 全全程程优优化化复复习习 回顾概括 专题盘点 专题一!圆锥曲线定义的应用 椭圆! 双曲线! 抛物线是三种重要的圆锥曲线 其上动点 8分别 满 足 以 下 条 件% )!* 椭 圆%8B!%8B#)#)# B!B#* 其中B!B#为定点+ )#* 双曲线%.8B!-8B#.#) )(#)(B!B#* 其中B!B#为定点+ )$* 抛物线%8B# )为8到定直线2的距离B为2外一定点*!凡涉及圆锥 曲线上点与焦点的距离问题 一般从定义入手! 例!B!B#是椭圆$ # ) #% # + #!) )#+#(* 的两焦点= 是椭圆上任一点 从任一焦点引6B!= B#的外角平分线的 垂线 垂足为I 则点I的轨迹为! 图#.+.! 解 析 延长垂线B!I交B#=的延长 线于点4! 如图#.+.!所示!则54 = B! 是等 腰 三 角 形!0= B!#4 =!从 而 4 B#4 =%= B#= B!%= B#)! /C 是B!B#的 中 点!I是4 B!的 中 点! 0C I# ! #4 B #)! 0I点的轨迹是以 原点C为圆心! )为半径的圆! 答案! 圆 点 评 此题若用基本坐标法求解! 运算会相当烦琐! 而且 一时难以理出思路的头绪!本题易采用几何图形的几何性质 加以解决! 专题二!求圆锥曲线的标准方程 在建立了恰当 的 坐 标 系 后 三 种 圆 锥 曲 线 都 有 标 准 方程形式 其中椭圆和双曲线各有两种 而抛物线则有四 种标准方程 求解的方法有定义法和待定系数法 待定系 数法是常考的方法 一般思路是先定性 再定量 关键是 确定标准形式的类型 当形式不确定时 需分类讨论或者 设其他形式 ! 新新教案高中数学选修! ! % ! 教 学 札记 例$!已知双曲线的渐近线方程为#7% $ 并且焦 点都在圆$ #% #! ( (上 求双曲线方程! 分 析 由焦点在圆上! 可得*! 由渐近线方程! 可得) +之 间的关系! 用待定系数法可解! 需注意焦点位置不知! 解法! 当焦点在$轴上时 设双曲线方程为$ # ) #- # + # !因为渐近线方程为#7 % $ 则 + ) # % $! 又由焦点在圆$ #% #! ( (上 知*#! (! 所以) #% + # * #! ( ( 可求得)#+ +#5! 故所求双曲线方程为$ # $ +- # + %#! 当焦点在轴上时 设双曲线方程为 # ) #-$ # + #! 由题设得 ) #% + # * #! ( ( ) + # % $ ) * + 解得 )#5 +#+ . ! 故所求双曲线方程为 # + %- $ # $ +#! 综上可知 所求双曲线方程为$ # $ +- # + %# !或 # + %- $ # $ +# ! ! 解法$! 因为双曲线的渐近线方程为#7% $ 故可设双曲线方程为$ # $ #- # % #*)*54 5 6* B E#槡$) 点6在短轴端点* 时 农艺园的最 大面积为 槡 # $? # )#* 直水沟2的方程是#$%! 暂不加固部分即直线2 被椭圆所截弦长!把直线 的 方 程 代 入 椭 圆 方 程 得4$ #% 5$-5)(!则由根与系数的关系知$!%$#- 5 4 $#$# - 5 4! 0 弦长# !63槡 # $!-$# % 4 )? *! 点 评 认真分析条件! 发现轨迹为椭圆! 利用圆锥曲线性 质解决! 专题五!圆锥曲线中的定点 定值 最值问题 圆锥曲线中的定点! 定值问题往往与圆锥曲线中的# 常 数$ 有关 如椭圆的长轴! 短轴 双曲线的虚轴! 实轴 抛物线 的焦参数等!可通过直接计算而得到!另外还可用# 特例法$ 和# 相关曲线系法$! 圆锥曲线中的最值问题 通常有两类% 一类是有关长度! 面积等的最值问题+ 另一类是圆锥曲线中有关几何元素的最 值问题!这两类问题的解决往往要通过回归定义 结合几何 知识 建立目标函数 利用函数的性质或不等式知识 三角函 数有界性 以及数形结合! 设参! 转化代换等途径来解决!特 别注意函数思想 观察分析图形特征 利用数形结合等思想 方法! 例+!设椭圆中心在坐标原点4)#(* !5)(!* 是它的 圆锥曲线与方程第$章 % #! 教!学 札记! 两个顶点 直线#3 $) 3#(* 与4 5相交于点D 与椭圆相 交于K! B两点! )!* 若H K D#+ H D B 求3的值+ )#* 求四边形4 K 5 B面积的最大值! 解! )!* 依题设得椭圆的方程为$ # % % #! 直线4 5!K B的方程分别为$%# #3 $)3#(*! 图#.+.$ 如图#.+.$ 设D)$( 3 $(* K)$!3 $!* B)$#3 $#* 其 中 $!($# 且$!$#满足方程)!6 %3 #* $ #% 故$#-$!# # ! 6%3 槡 #! 由H K D#+ H D B知 $(-$!#+)$#-$(* 得 $(# ! 4 )+$#%$!*#* 4$ # ! ( 4!6%3 槡 #! 由D在4 5上知$(%#3 $(# 得$(# # !6#3! 所以 # !6#3# ! ( 4 !6%3 槡 # 化简得# % 3 #-# * 3%+)( 解得3# $ 或3#$ 5! )#* 根据点到直线的距离公式和!式知 点K!B到4 5 的距离分别为P!#. $!%#3 $!-# . 槡* # )!6#3% !6%3 槡 #* *)!6%3 # 槡 * ! P#. $#%#3 $#-# . 槡* # !6#3-!6%3 槡 )* # *)!6%3 # 槡 * ! 又.4 5.# # #% 槡 !#槡* 所以四边形4 K 5 B的面积为;# ! #. 4 5.)P!%P#*# ! # ,槡 *, %)! 6 #3* *)! 6 %3 # 槡 * # ) ! 6 #3* ! 6 %3 槡 # # ! 6 %3 #% % 3 ! 6 %3槡 # %槡# # 当#3#! 即当3#! # 时 上式取等号!所以;的最大值 为 槡 # #! 专题六!向量在解析几何中的应用 数学高考命题注重知识的整体性和综合性 重视知识的 相互渗透 由于向量具有代数与几何形式的双重身份 使它 成为中学数学知识的一个交汇点 成为联系多个知识点的媒 介!因此 解析几何与向量的交汇是高考命题的必然趋势! 例,!已知椭圆的中心在原点 离心率为 ! # 一个焦点 是B)-, (* ),是大于(的常数*! )!* 求椭圆的方程+ )#* 设I是椭圆上的一点 且过点B!I的直线2与轴 交于点8 若 H 8I# H I B 求直线2的斜率! 解! )!* 设椭圆方程是$ # ) #% # + #!) )#+#(*! 由已知 得*#, * ) # ! # 0)#, +#槡$,! 故所求椭圆的方程是$ # %, #% # $, #! )#* 设I)$ * 直线2%#3)$%,* 则点8)(3 ,*! 当 H 8I# H I B时 由于B)-,(* 8)(3 ,* 则有 )$ -3 ,*#)-,-$-*! 0$#-# , $ # 3 , $ ! 又点I -# , $ 3 , )* $ 在椭圆上0 %,# - %,#% 3 #,# - $,# #! 解得3#7 槡 # + 故直线2的斜率为7槡# +! 专题七!本章的重要思想方法 !数形结合的思想 方 法% # 数 缺 形 时 少 直 观 形 缺 数 时难入微$!圆锥曲线中的很多数量关系在图形中表现得 淋漓尽致 画图往往能帮助我们打开解题思路!应用图形 的直观性 有助于我们发现问题 启发思想 因此解题时 要充分运用数形结合 通过考查曲线中各个元素 的 相 关 位置探求思路! #!分类讨论的思想方法% 求曲线方程! 研究曲线的几何 性质 有时需要根据曲线的几何位置或方程的结构特征分情 况讨论 以求得问题的完整解决! $!转化与化归的思想方法% 对曲线的方程! 几何性质或 其简单的应用 都可以通过分析! 变形 转化为我们熟悉的! 容易解决的问题! 例-!已知$0(!* 试讨论当$的值变化时 方程 $ # / 0 1$% # 2 3 /$#!表示的曲线的形状! 分 析 应用分类讨论的思想! 根据$的不同取值范围对 $ # #系数的关系进行讨论! 解! 当$#(时 方程为 #! 即#7! 表示两条平行 于$轴的直线+ 当$ ( ! )* % 时2 3 /$#/ 0 1$#(方 程 可 化 为 $ # ! / 0 1$ % # ! 2 3 /$ #! 表示焦点在$轴上的椭圆+ 当$#! % 时 方程为$ #% #槡 # 表示圆心在原点 半径 为 % 槡#的圆+ 当$ ! % ! )* # 时 / 0 1$#2 3 /$#( 方程可化为 $ # ! / 0 1$ % # ! 2 3 /$ #! 表示焦点在轴上的椭圆+ 当$#! # 时 方程化为$ #! 即$#7! 表示两条平行 于轴的直线+ 当$ ! # )*! 时/ 0 1$#(2 3 /$( 方 程 可 化 为 $ # ! / 0 1$ - # - ! 2 3 /$ #! 表示焦点在$轴上的双曲线! 点 评 方程$ # / 0 1$% # 2 3 /$#!表示的曲线的类型由 / 0 1$和2 3 /$的值确定!/ 0 1$和2 3 /$的值又由$的值确定! $在不同范围内取值时! 方程$ # / 0 1$% # 2 3 /$#!表示的曲 线的类型不同!因此解答本例的关键在于对$的分类讨论! 直击高考 考情分析 圆锥曲线与方程是高中数学的一个重要内容 是历年高 考必考部分 既有解答题 也有选择题和填空题!在一份试题 中 一般会有两个左右的选择题或填空题 主要考查圆锥曲 线的定义! 方程和性质 尤其是离心率的求解更是考查热点 难度为中低档+ 圆锥曲线一般在解答题中也会有一个题目 主要综合考查定义! 方程! 性质及直线的问题 难度为高档 ! 新新教案高中数学选修! ! % $! 教 学 札记 本章在全卷中分值在! +分# #分! 考题回放 例!)# ( ( -,山东高考* 设斜率为#的直线2过抛物线 # ) $)! #75 $ ! #% $=! #5 $ 解 析 # ) $的焦点坐标为 ) % ! )* ( !过焦点且斜率为 #的直线方程为#$-) )* % ! 令$#(得#-) # ! 0 ! # ,. ). % ,. ). # #%!0) #+ %! 0)#75! 答案!; 命题立意! 本题考查抛物线焦点坐标的求法! 直线方程 的点斜式以及三角形的面积公式! 由于本题中没有明确)# (! 因此)的值为75! 而不是5! 例$!)# ( ( -,天津高考* 设双曲线$ # ) #- # + #!) )#( +#(* 的虚轴长为# 焦距为 槡 # $ 则双曲线的渐近线方程 为)!* :#7槡#$;#7#$ #7槡 # #$ =#7 ! #$ 解 析 由题意知!#+#!#*# 槡 # $! 则+#!*#槡$!)# 槡#! 双曲线的渐近线方程为#7槡 # #$! !答案! 命题立意! 本题考查双曲线的基本性质! 解题时要注意 双曲线与椭圆中) +*之间关系的区别! 例%!)# ( ( -,浙江高考* 已知椭圆$ # ) #% # + #!) )#+# (* 的左焦点为B 右顶点为4 点5在椭圆上 且5 BD$轴 直线4 5交轴于 点=!若H 4 =# H = 5 则 椭 圆 的 离 心 率 是)!* : 槡$ #!; 槡# #! ! $!= ! # 图#.+.% 解 析 如图# .+.%! 由 于5 BD$ 轴! 故$ 5#-*!5#+ # ) !设=%(!E #*=+ 解 析 双曲线$ # ) #- # + #!的渐近线方程为#7 + )$! /#$ #%!与渐近线相切! 故$#%!D+ )$#(只有一个实 根!0 + # ) #-%)(!0* #- ) # ) # #%!0 * # ) #*!0G#槡 *! 答案! 命题立意! 本题考查双曲线离心率的求法 对双曲线渐 近线方程的理解以及直线与抛物线位置关系的判断!本题求 解的关键是利用直线与抛物线相切! 得到消元后的二次方程 的判别式等于(! 由此得到)! +之间的关系式! 例-!)# ( ( -, 北京高考* 椭圆$ # - % # # #!的焦点 为 B!B# 点=在椭圆上!若.= B!.#% 则.= B#.#! 6B!= B#的大小为! 解 析/.= B!.%.= B#.#)#+! 0.= B#.#+,.= B! .#!在5B!= B#中! 2 3 / 6B!= B# .= B! # . % .= B#. #- . B!B#. # # . = B!.,.= B#. # ! + 6 % , # 5 # . % . # #-! # ! 0 6B!= B#! # ( 9 ! !答案! #! # ( 9 命题立意! 本题主要考查椭圆的定义和三角形中的余弦 定理! 例.!)# ( ( -,四川高考* 已知双曲线$ # # - # + #!) +#(* 的左! 右焦点分别为B!B# 其一条渐 近 线 方 程 为#$ 点=) 槡$(* 在该双曲线上 则= B H !,= B H #)!* : -! #; -#(* 依 题 意得 ) # * %#% %*#! ( * ) # ) * + 解得 )#% *#5 # ) * + ! 所以+ #*#-)#% 5 故所 求双曲线方程为) $-#* # ! + - # % 5#! ! 4!) 本小题满分! (分* 抛物线 # & $ ) &#(* 过其焦 点且倾斜角为% * 9的直线交抛物线于4!5两点 且 4 5#5 试求抛物线的方程! 解法! 由已知准线为$#-& # 焦点B & # )* ( 则直线4 5% #$- ! #& 由 #$- ! #& # & $ ) * + 消去 得$ #-$ & $ % ! %& #( 圆锥曲线与方程第$章 % ! 教!学 札记! 设4) $!* !5)$#* 则$!%$#$&! 4 5#4 B%5 B#$!%& #% $#%& # $!%$#%&# %&# 5 ! 0�抛物线方程为 #% $! 解法$! 抛物线方程为 # & $ ) &#(* 直线4 5的倾 斜角为)#! % !由弦长公式得 #& / 0 1 # )#4 5#5 / 0 1 # )# 槡 # ) * # # # ! # 0#&#%! 0抛物线方程为 #% $! ! 5!) 本小题满分! (分* 已知2%#3 $-#3与双曲线 $# $ - #!的右支相交于4! 5两点 问% 以4 5为直径的 圆与双曲线的右准线2#的位置关系是相交! 相离还 是相切( 并证明你的结论! 解! 以4 5为直径的圆和右准线2#相交! 证明% 动直线2% #3)$-#* 恒过点)#(* 而这一点 恰为双曲线的右焦点B# 所以4 5为过右焦点的弦! 图#.+.+ 如图#.+.+所示 取4 5中点 为8 作4 4!5 5!88!分 别垂直于2 #并交2#于点4! 5!8! 由双曲线的第二定义得 4 B# 4 4!# 5 B# 5 5!# G! 04 B#G 4 4!5 B#G 5 5! /4 4!5!5为梯形 且88!E4 4! 088!# ! # )4 4!%5 5!*! 圆心8到直线2#的距离#88!#! # )4 4!%5 5!* # ! # ! G4 B #% ! G5 B )* # ! #G 4 5! /G#!0 ! #G 4 5(4 5 # 即(4 5 # ! 0以4 5为直径的圆和右准线2#相交! ! -!) 本小题满分! #分* 已知双曲线$ #- # # #! 过点 4)!* 能否作直线, 使,与已知曲线交于I!I# 两点 且4是线段I!I#的中点 这样的直线,如果 存在 求出它的方程+ 如果不存在 请说明理由! 解! 假设存在 由题意知I!I#所在的直线的斜率存 在!设I!)$! !* !I#)$#* 代入双曲线方程得 $ # !- # ! #)! ! ! ! ! $ # #- # # #)! ) * + !-得)$!%$#* )$!-$#*# ! # ) !%#* )!-#* /4)!* 为I!I#的中点 且$!&$#0$!%$# #!%#! 03# !-# $!-$#! 0直线I!I#的方程为- ! ) #)$- !* 即# #$- ! ! 由 #$-!