昆十中云天化中学“全程、高效”备考联盟摸底考试理数

理科数学参考答案第 1 页（共 5 页） 昆 十 中 云天化中学 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C A D D C C D B D A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 2 ( 2 2 ， 8 3 (1)， 三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分12分） 解： （）根据题意得 22 11 (1)25 nnn aaa ， 1 2 nn aa ， 1 2 nn aad ， 1 1a ，2d ， 21 n an （5分） （） 2 1 1(1)2 2 n Snn nn，则 2 1 (1) n Sn ， +1 2211 2 (1)1 n nn b n nnnS S ， 123 111111 2 12231 nn Taaaa nn 12 2 1 11 n nn （12分） 18.（本小题满分12分） 解： （）填表如下： 不合格 合格 优秀 合计 男 4 10 36 50 女 6 16 28 50 合计 10 26 64 100 22 2 ()100(14282236)25 2.706 ()()()()366450509 n adbc K ab cd ac bd ， 有90%的把握认为成绩优秀与性别有关 （6分） 2019 届“全程、高效”备考联盟摸底考试 理科数学参考答案第 2 页（共 5 页） （）由题意知 3 3 4 XB ， 故 03 0 3 311 (0)C 4464 P X ， 12 1 3 319 (1)C 4464 P X ， 21 2 3 3127 (2)C 4464 P X ， 30 3 3 3127 (3)C 4464 P X ， X 的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 1 64 9 64 27 64 27 64 192727939 ()0123()3 64646464444 E XE X 或 （12分） 19.（本小题满分12分） （）证明：如图，由题意得 DFAB， DFAB， 又90DAB ，所以ABFD是矩形，从而ABBF 异面直线PA与BC所成的角为90，所以PABC 因为PAAB，AB与BC相交，所以PA平面ABCD， 所以平面PAD平面ABCD， 又ABAD，平面PAD 平面ABCDAD， 所以AB平面PAD，所以ABPD 在PDC中，因为E，F分别为PC，CD的中点，所以EFPD，所以ABEF 因为EFBFF，所以AB平面BEF 因为AB在平面PAB内，所以平面PAB平面BEF （6分） （）解：如图，以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系， 则(1 0 0)B， ，(0 2 0)D， ，(0 0)Pk， ，(2 2 0)C， ， 所以1 1 2 k E ，所以( 1 2 0)BD ， ，0 1 2 k BE ， 设平面CDB的法向量为 1 (0 0 1)n ， ， ，平面EBD的法向量为 2 ()nxyz ， ， 可得 2 (22)nkk ， ， 理科数学参考答案第 3 页（共 5 页） 设二面角EBDC的平面角为，直线BC与平面BDE的夹角为， 则 12 22 22 cos|cos| 2 44 nn kk ，所以 2 5 5 k 2 5 (2 15) 2 n ，而(1 2 0)BC ， ， 2 2 |2 2 sin 5| | nBC nBC ， 所以直线BC与平面BDE所成角的正弦值为 2 2 5 （12分） 20.（本小题满分12分） 解： （） 2 PC的垂直平分线交 1 PC于点Q， 2 |PQQC， 211112 |4 |2QCQCQCPQPCC C， 动点Q的轨迹是以点 1 C， 2 C为焦点的椭圆 设这个椭圆的标准方程是 22 22 1 xy ab ， 24a ，22c ， 2 3b ， 椭圆的标准方程是 22 1 43 xy （5分） （）由（）知椭圆的方程为C： 22 1 43 xy ，设 11 ()A xy， 22 ()B xy， 由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：1xmy， 代入椭圆的方程中，整理得 22 (34)690mymy，显然0 由韦达定理有 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 假设存在点M，使OMOAOB 成立， 则其充要条件为点M的坐标为 1212 ()xxyy， 点M在椭圆上，即 22 1212 ()() 1 43 xxyy ， 整理得 2222 11221212 34346812xyxyx xy y 又A，B在椭圆上，即 22 11 3412xy， 22 22 3412xy，故 1212 3460 x xy y， 将 2 12121212 (1)(1)()1x xmymym y ym yy及代入，解得 2 0m ， 12 0yy， 12 2xx，即(2 0)M， l：1x （12分） 理科数学参考答案第 4 页（共 5 页） 21.（本小题满分12分） （）解：( )f x的定义域为(0)， 2 ( ) xa fx x ， 当0a 时， 2 ( )0 xa fx x 恒成立，故( )f x在(0)，上为增函数； 当0a 时， 2 ()() ( ) xaxaxa fx xx ， 故( )f x在(0)a，上为减函数，在()a ，上为增函数 （5分） （）证明：当1a 时， 2 1 ( )ln 2 f xxx， 2 1 ( )e2 2 x g xx， 令( )( )( )eln2 x h xf xg xx，故 1 ( )e0 x h x x ，得 1 ex x ， 容易知道该方程有唯一解，不妨设为 0 x，则 0 x满足 0 0 1 ex x ， 当x变化时，( )g x和( )g x变化情况如下表： x 0 (0)x， 0 x 0 ()x， ( )h x 0 + ( )h x 递减 递增 0 min000 0 1 ( )()eln22 x h xh xxx x ， 因为 0 0 x ，且 0 1x ，所以 min ( )2 120h x， 因此不等式得证 （12分） 22 （本小题满分10分） 【选修44：坐标系与参数方程】 解： （）曲线C的直角坐标方程为 2 4yx 直线l的普通方程为210 xy （5分） （）直线l的参数方程为 2 1 5 1 1 5 xt yt ， ， （t为参数） ， 联立直线l的参数方程与曲线C的方程，可得 2 12 14 1 55 tt ， 整理得 2 6 5150tt， 1 2 | |15PAPBt t （10分） 理科数学参考答案第 5 页（共 5 页） 23 （本小题满分10分） 【选修45：不等式选讲】 （）解：由( )3f x，可得当2018x时，403723x，解得2017x； 当20182019x时，13，显然不成立； 当2019x时，240373x ，解得2020 x， 综上，( )3f x 的解集为 |20172020x xx或 （5分） （）证明：( )|2018|2019|1f xxx ，所以1m 即1yz， 方法1：由均值不等式公式 2