江苏启东数学大一轮讲义五立体几何第1讲空间几何体pdf

91 专题五 立体几何 专题五 立体几何 第第 1 讲 空间几何体讲 空间几何体 总序总序 12 考情解读 (1)考查空间几何体表面积、体积的计算(2)考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问 题 热点一 几何体的表面积和体积 例 1 (1)如右图，已知正四棱锥 SABCD 所有棱长都为 1，点 E 是侧棱 SC 上一动点，过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分记 SEx(0x1)，截面下面部分的体积为 V(x)，则函数 yV(x)的 图象大致为_ (2)如图，斜三棱柱 ABCABC中，底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b， 侧棱 AA与底面相邻两边 AB 与 AC 都成 45 角，求此斜三棱柱的表面积 思维启迪 (1)利用 V(x)解析式观察对照；(2)作辅助线 (1)答案 解析 当 0x1 2时， 过 E 点的截面为五边形 EFGHI(如图 1 所示)，连结 FI， 图 1 图 2 由 SC 与该截面垂直知，SCEF，SCEI. EFEISEtan 60 3x，SI2SE2x，IHFGBI12x，FIGH 2AH2 2x， 五边形 EFGHI 的面积 SFGGH1 2FI EF21 2FI 22 2x3 2x2， V(x)VCEFGHI2VIBHC1 3(2 2x3 2x 2) CE21 3 1 2 1 (12x) 2 2 (12x) 2x3 2x2 2 6 ， 其图象不可能是一条线段，不对 92 当1 2x1 时，过 E 点的截面为三角形，如图 2，设此三角形为EFG， 则 EGEFECtan 60 3(1x)，CGCF2CE2(1x)， 三棱锥 EFGC 底面 FGC 上的高 h 2 2 (1x)，V(x)1 3 1 2CG CF h 2 3 (1x)3， V(x) 2(1x)2，又显然 V(x) 2(1x)2在区间(1 2，1)上单调递增，V(x)2cAD，B、C 都在以 AD 的中点 O 为中心， 以 A、D 为焦点的两个椭圆上， B、C 两点在椭圆两短轴端点时，到 AD 距离最大，均为 a2c2， 此时BOC 为等腰三角形，且 ADOC，ADOB，AD平面 OBC. 取 BC 的中点 E，显然 OEBC， OEmax a2c21， (SBOC)max1 2 2 a 2c21 a2c21. VDABCVDOBCVAOBC1 3 OD SOBC 1 3 OA SOBC 1 3(ODOA)SOBC 1 3 2c a 2c212 3c a 2c21. 真题感悟 1(2013 课标全国)已知正四棱锥 OABCD 的体积为3 2 2 ，底面边长为 3，则以 O 为球心，OA 为半径 的球的表面积为_ 答案 24 解析 设正四棱锥的高为 h， 则1 3 ( 3) 2h3 2 2 ， 解得高 h3 2 2 .则底面正方形的对角线长为 2 95 3 6，所以 OA 3 2 2 2 6 2 2 6，所以球的表面积为 4( 6)224. 2(2014 江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2.若它们的侧面积相等，且S 1 S2 9 4，则 V1 V2的值是_ 答案 3 2 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1，r2和 h1，h2，由 S1 S2 9 4，得 r21 r22 9 4，则 r1 r2 3 2. 由圆柱的侧面积相等，得 2r1h12r2h2，即 r1h1r2h2，所以V 1 V2 r21h1 r22h2 r1 r2 3 2. 押题精练 1如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC 5，AA13，M 为线段 BB1 上的一动点，则当 AMMC1最小时，AMC1的面积为_ 答案 3 解析 将直三棱柱沿侧棱 A1A 剪开，得平面图形如 图所示，AC1为定长， 当 A，M，C1共线时 AMMC1最短， 此时 AM 2，MC12 2.又在原图形中 AC1 14， 易知AMC1120 ，SAMC11 2 2 2 2 sin 120 3. 2在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ABD 的面积分别为 2 2 ， 3 2 ， 6 2 ，则三棱锥 ABCD 的外接球体积为_ 答案 6 解析 如图，以 AB，AC，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体， 则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球， 三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长 据题意 AB AC 2， AC AD 3， AB AD 6， 解得 AB 2， AC1， AD 3， 长方体的体对角线长为 AB2AC2AD2 6，三棱锥外接球的半径为 6 2 . 三棱锥外接球的体积为 V4 3( 6 2 )3 6. 一、填空题 1如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，O 为底面正方形 ABCD 的中心，则 96 三棱锥 B1BCO 的体积 VB1BCO_. 答案 2 3 解析 VB1BCO 1 3SBCO h 1 3 1 2 2 2 2 2 3. 2把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 14，母线长是 10 cm，则圆锥的母线长为 _cm. 答案 40 3 解析 作出圆锥的轴截面如图， 设 SAy， OAx， 利用平行线截线段成比例， 得 SASAOAOA，即(y10)yx4x，解得 y40 3 .所以圆锥的母线长为40 3 . 3如图，用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是_ 答案 3 3 解析 卷出的圆锥筒的母线是原半圆的半径，圆锥筒的底面周长是原半圆的弧长，所以可求 得圆锥底面的半径为 1，高为 3，则其容积大小为 3 3 . 4如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，一质点自点 A 出 发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为_cm. 答案 13 解析 将三棱柱沿侧棱 AA1展开得如下平面(两周)： 因为正三棱柱底面边长为 2 cm，高为 5 cm，所以 AA15 cm，AA12 cm，由勾股定理可得 A1A13 cm， 即最短路线为 13 cm. 5我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池 盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 _寸 (注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸) 答案 3 解析 天池盆中水的形状是以上底半径 10 寸，下底半径 6 寸，高 9 寸的圆台， 平均降雨量 1 3910 210662 142 3. 6正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球 的表面积为_ 答案 81 4 解析 如图，设球心为 O，半径为 r， 则 RtAOF中，(4r)2( 2)2r2，解得 r9 4， 97 该球的表面积为 4r24 (9 4) 281 4 . 7如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1的中点， 设三棱锥 FADE 的体积为 V1， 三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2， 则 V1V2_. 答案 124 解析 V11 2VA1ADE 1 8VA1ABC 1 24V2，V1V2124. 8如图，侧棱长为 2 3的正三棱锥 VABC 中，AVBBVCCVA40 ，过 A 作截面AEF，则截面AEF 的周长的最小值为_ 答案 6 解析 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 VABC 展开在一个平面内，如图 则 AA即为截面AEF 周长的最小值，且AVA3 40 120 . 在VAA中，由余弦定理可得 AA6，故答案为 6. 9如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_ 答案 1 6 解析 VD1EDFVFDD1E 1 3SD1DE AB 1 3 1 2 1 1 1 1 6. 10已知矩形 ABCD 的面积为 8，当矩形周长最小时，沿对角线 AC 把ACD 折起， 则三棱锥 DABC 的外接球的表面积等于_ 答案 16 解析 设矩形的两邻边长度分别为 a，b，则 ab8，此时 2a2b4 ab8 2， 当且仅当 ab2 2时等号成立，此时四边形 ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等， 均为 2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，这个球的表面积是 4 2216. 二、解答题 11如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，DAB90 ，ADBC，AD侧面 PAB， PAB 是等边三角形，DAAB2，BC1 2AD，E 是线段 AB 的中点 (1)求证：PECD； (2)求四棱锥 PABCD 的体积 (1)证明 因为 AD侧面 PAB，PE平面 PAB，所以 ADPE. 又因为PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点，所以 PEAB. 因为 ADABA，所以 PE平面 ABCD.又 CD平面 ABCD，所以 PECD. (2)解 由(1)知 PE平面 ABCD，所以 PE 是四棱锥 PABCD 的高 由 DAAB2，BC1 2AD，可得 BC1.因为PAB 是等边三角形，所以可求得 PE 3. 所以 VPABCD1 3S 四边形ABCD PE1 3 1 2 (12) 2 3 3. 98 12如图，在 RtABC 中，ABBC4，点 E 在线段 AB 上过点 E 作 EFBC 交 AC 于点 F，将AEF 沿 EF 折起到PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得PEB30 . (1)求证：EFPB； (2)试问： 当点 E 在何处时， 四棱锥 PEFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥 PEFCB 的体积 (1)证明 EFBC 且 BCAB，EFAB，即 EFBE，EFPE.又 BEPEE， EF平面 PBE，又 PB平面 PBE，EFPB. (2)解 设 BEx，