江苏启东数学大一轮讲义三三角函数与平面向量第1讲三角函数的图像与性质pdf

43 专题三 三角函数与平面向量 专题三 三角函数与平面向量 第第 1 讲 三角函数的图象与性质讲 三角函数的图象与性质 总序总序 6 考情解读 (1)以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性(2)考查三角函数式的化 简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系 例1 (1)点P从(1,0)出发， 沿单位圆x2y21逆时针方向运动2 3 弧长到达Q点， 则Q点的坐标为_ (2)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点 P(4,3)，则 cos( 2)sin() cos(11 2 )sin(9 2 ) 的值为_ 答案 (1)(1 2， 3 2 ) (2)3 4 解析 (1)设 Q 点的坐标为(x，y)，则 xcos2 3 1 2，ysin 2 3 3 2 .所以 Q 点的坐标为(1 2， 3 2 ) (2)原式sin sin sin cos tan .根据三角函数的定义，得 tan y x 3 4，所以原式 3 4. (1)如图， 以 Ox 为始边作角 (00，| 2)的部分图象如图所示， 44 则将 yf(x)的图象向右平移 6个单位长度后，得到的图象解析式为_ (2)若函数 ycos 2x 3sin 2xa 在0， 2上有两个不同的零点， 则实数 a 的取值 范围为_ 答案 (1)ysin(2x 6) (2)(2，1 解析 (1)由图知，A1， 3T 4 11 12 6，故 T 2 ， 所以 2，又函数图象过点( 6，1)，代入解析式中，得 sin( 3)1，又| 2，故 6. 则 f(x)sin(2x 6)向右平移 6后，得到 ysin2(x 6) 6)sin(2x 6) (2)由题意可知 y2sin(2x 6)a，该函数在0， 2上有两个不同的零点， 即 ya， y2sin(2x 6)在0， 2上有两个不同的交点 结合函数的图象可知 1a0，| 2)与坐标轴的三 个交点 P、Q、R 满足 P(2,0)，PQR 4，M 为 QR 的中点，PM2 5，则 A 的值 为_ (2)若将函数 ytan(x 4)(0)的图象向右平移 6个单位长度后， 与函数 ytan(x 6)的图象重合，则 的最小正值为_ 答案 (1)16 3 3 (2)1 2 解析 (1)由题意设 Q(a,0)，R(0，a)(a0)则 M( a 2， a 2)，由两点间距离公式得， PM (2a 2) 2(a 2) 22 5，解得 a8，由此得，T 2826，即 T12，故 6， 由 P(2,0)得 3， 代入 f(x)Asin(x)得， f(x)Asin( 6x 3)， 从而 f(0)Asin( 3)8， 得 A 16 3 3. (2)ytan(x 4)的图象向右平移 6，得到 ytan(x 4 6 )的图象，与 ytan(x 6)重合， 得 4 6 k 6，故 6k 1 2，kZ，所以 的最小正值为 1 2. 热点三 三角函数的性质 例 3 设函数 f(x)2cos2xsin 2xa(aR) (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当 x0， 6时，f(x)的最大值为 2，求 a 的值，并求出 yf(x)(xR)的对称轴方程 解 (1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xa 2sin(2x 4)1a， 45 则 f(x)的最小正周期 T2 2 ，且当 2k 22x 42k 2(kZ)时 f(x)单调递增， 即 k3 8xk 8(kZ)所以k 3 8 ，k 8(kZ)为 f(x)的单调递增区间 (2)当 x0， 6时 42x 4 7 12，当 2x 4 2，即 x 8时，sin(2x 4)1. 所以 f(x)max 21a2a1 2. 由 2x 4k 2，得 x k 2 8(kZ)，故 yf(x)的对称轴方程为 x k 2 8，kZ. 已知函数 f(x)2sin xcos x2 3sin2x 3(0)的最小正周期为 . (1)求函数 f(x)的单调增区间； (2)将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 yg(x)的图象； 若 yg(x)在0，b(b0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值 解 (1)由题意得 f(x)2sin xcos x2 3sin2x 3sin 2x 3cos 2x2sin(2x 3)， 由周期为 ，得 1，得 f(x)2sin(2x 3)，函数的单调增区间为 2k 22x 32k 2，kZ， 整理得 k 12xk 5 12，kZ，所以函数 f(x)的单调增区间是k 12，k 5 12，kZ. (2)将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到 y2sin 2x1 的图象， 所以 g(x)2sin 2x1，令 g(x)0，得 xk7 12或 xk 11 12 (kZ)，所以在0，上恰好有两个零点， 若 yg(x)在0，b上有 10 个零点， 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，即 b 的最小值为 411 12 59 12 . 真题感悟 1(2014 辽宁改编)将函数 y3sin(2x 3)的图象向右平移 2个单位长度，所得图象对应的函数的单调增区 间为_ 答案 k 12，k 7 12，kZ 解析 y3sin(2x 3)的图象向右平移 2个单位长度得到 y3sin2(x 2) 33sin(2x 2 3) 令 2k 22x 2 32k 2，kZ，得 k 12xk 7 12，kZ， 则 y3sin(2x2 3)的单调增区间为k 12，k 7 12，kZ. 2(2014 北京)设函数 f(x)Asin(x)(A， 是常数，A0，0)若 f(x)在区间 6， 2 上具有单调性， 46 且 f 2 f 2 3 f 6 ，则 f(x)的最小正周期为_ 答案 解析 f(x)在 6， 2 上具有单调性，T 2 2 6，T 2 3 .f 2 f 2 3 ， f(x)的一条对称轴为 x 2 2 3 2 7 12.又f 2 f 6 ， f(x)的一个对称中心的横坐标为 2 6 2 3. 1 4T 7 12 3 4，T. 押题精练 1已知函数 f(x)sin xcos x，g(x)sin xcos x，有下列四个命题： 将 f(x)的图象向右平移 2个单位长度可得到 g(x)的图象；yf(x)g(x)是偶函数； f(x)与 g(x)均在区间 4， 4 上单调递增； yfx gx的最小正周期为 2. 其中真命题的个数是_ 答案 3 解析 f(x) 2sin(x 4)，g(x)sin xcos x 2sin(x 4)，显然正确； 函数 yf(x)g(x)sin2xcos2xcos 2x，其为偶函数，故正确； 由 0x 4 2及 2x 40，都可得 4x 4， 所以由图象可判断函数 f(x) 2sin(x 4)和函数 g(x) 2sin(x 4)在 4， 4上都为增函数，故正确； 函数 yfx gx sin xcos x sin xcos x 1tan x tan x1tan(x 4)，由周期性定义可判断其周期为 ，故不正确 2已知函数 f(x)sin x cos x 3cos2x 3 2 (0)，直线 xx1，xx2是 yf(x)图象的任意两条对称 轴，且|x1x2|的最小值为 4. (1)求 f(x)的表达式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 8个单位长度后， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍， 纵坐标 不变，得到函数 yg(x)的图象，若关于 x 的方程 g(x)k0 在区间0， 2上有且只有一个实数解，求实数 k 的取值范围 解 (1)f(x)1 2sin 2x 3 1cos 2x 2 3 2 1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin(2x 3)， 由题意知，最小正周期 T2 4 2， T 2 2 2，所以 2，所以 f(x)sin 4x 3 . (2)将 f(x)的图象向右平移 8个单位长度后，得到 ysin(4x 6)的图象， 47 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， 得到 ysin(2x 6)的图象所以 g(x)sin(2x 6)令 2x 6t，因为 0x 2， 所以 6t 5 6 . g(x)k0 在区间0， 2上有且只有一个实数解， 即函数 g(t)sin t 与 yk 在区间 6， 5 6 上有且只有一个交点如图， 由正弦函数的图象可知1 2k 1 2或k1. 所以 1 20 且|0，| 2)在一个周期内的图象如图所示，M，N 分别是这段图象的最高 点与最低点，且OM ON 0，则 A _. 48 答案 7 6 解析 由题中图象知T 4 3 12，所以 T，所以 2. 则 M 12，A ，N 7 12，A ，由OM ON 0，得7 2 122A 2，所以 A 7 12 ，所以 A 7 6 . 5已知函数 f(x)sin(2x)，其中|，若 f(x)|f( 6)|对 xR 恒成立，且 f( 2)f( 5)；f(x)是奇函数；f(x)的单调递增区间是k 3，k 6(kZ) 答案 解析 由 f(x)|f( 6)|恒成立知 x 6是函数的对称轴，即 2 6 2k，kZ， 所以 6k，kZ，又 f( 2)f()，所以 sin()0,00,0 2)一个周期内的图象上的五个点，A( 6，0)， 由题意得 T4 ( 12 6)，所以 2，因为 A( 6，0)，所以 f( 6)sin( 3)0,00，|0)和 g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若 x0， 2，则 f(x) 的取值范围是_ 答案 3 2，3 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故 2， 所以 f(x)3sin(2x 6)，那么当 x0， 2时， 62x 6 5 6 ， 所以1 2sin(2x 6)1，故 f(x) 3 2，3 10给出命题：函数 y2sin( 3x)cos( 6x)(xR)的最小值等于1；函数 ysin xcos x 是最小正 周期为 2 的奇函数；函数 ysin(x 4)在区间0， 2上单调递增的；若 sin 20，cos sin 0，则 一定为第二象限角则真命题的序号是_ 答案 解析 对于，函数 y2sin( 3x)cos( 6x)sin( 3x)，所以其最小值为1； 对于，函数 ysin xcos x1 2sin 2x 是奇函数，但其最小正周期为 1； 对于，函数 ysin(x 4)在区间0， 4上单调递增，在区间 4， 2上单调递减； 对于，由 sin 20， cos sin 0，x(，)，0)在 x 12时取得最大值 4. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的解析式； (3)若 f(2 3 12) 12 5 ，求 sin . 解 (1)f(x)的最小正周期 T2 3 . (2)由函数的最大值为 4，可得 A4.所以 f(x)4sin(3x) 当 x 12时，4sin(3 12)4，所以 sin( 4)1，所以 2k 4，kZ，因为 0，所以 4. 所以 f(x)的解析式是 f(x)4sin(3x 4) 50 (3)因为 f(2 3 12) 12 5 ， 故 sin(2 4 4) 3 5.所以 cos 2 3 5， 即 12sin 23 5， 故 sin 21 5.所以 sin 5 5 . 12设函数 f(x)sin2x2 3sin x cos xcos2x(xR)的图象关于直线 x 对称，其中 ， 为常 数，且 (1 2，1) (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 yf(x)的图象经过点( 4，0)，求函数 f(x)在 x0， 2上的值域 解 (1)因为 f(x)sin2x2 3sin x cos xcos2