江苏数学一轮第七章第44课直接证明与间接证明要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 综合法 综合法 若正数a,b,c满足a 2+2ab+4bc+2ca=16,求证:a+b+c4. 思维引导思维引导从平方关系入手,然后再把条件中的数值代入化简. 证明证明因为a 2+2ab+4bc+2ca=16, 所以(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=b2+c2-2bc+16=(b-c)2+1616,当且仅当 b=c时等号成立. 又a,b,c均为正数, 所以a+b+c4. 精要点评精要点评利用综合法证明的前提是结合分析法进行探求解题思路.但是,一 定要注意表达条理清晰. (2014 西 安模 拟)若 cosxcosy+sinx siny= 1 2 ,sin2x+sin2y= 2 3 , 求 证:sin(x+y)= 2 3. 证明证明因为cosxcosy+sinxsiny= 1 2, 所以cos(x-y)= 1 2. 因为sin2x+sin2y= 2 3,所以 2sin(x+y)cos(x-y)= 2 3, 所以2sin(x+y) 1 2= 2 3,所以sin(x+y)= 2 3. 分析法 分析法 已知ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证:Bb2. 又三边长a,b,c的倒数成等差数列,即 2 b= 1 a+ 1 cb= 2ac ac , 只需证a 2+c2 2 2ac ac , 即(a 2+c2)(a+c)2(2ac)2. 又a 2+c22ac, 只需证(a+c) 22ac,即证a2+c20. 而上式显然成立,所以B0,求证: 2 2 1 a a - 2a+ 1 a-2. 证明证明要证 2 2 1 a a - 2a+ 1 a-2, 只要证 2 2 1 a a +2a+ 1 a+2, 因为a0,故只要证 2 2 2 1 2a a 2 1 2a a , 即证a 2+ 2 1 a +4 2 2 1 a a +4a 2+2+ 2 1 a +2 1 2 a a +2, 从而只要证2 2 2 1 a a 1 2 a a , 只要证4 2 2 1 a a 2 2 2 1 2a a ,即证a2+ 2 1 a 2, 而该不等式显然成立,故原不等式成立. 反证法 反证法 (2014北京顺义区模拟)求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶 数. 证明证明假设这个数是奇数,可以设为2k+1,kZ Z, 则有(2k+1) 2=4k2+4k+1, 而4k 2+4k+1(kZ Z)不是偶数,这与原命题的条件矛盾. 故原命题成立. (2014江苏模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2. (1) 求数列an的通项公式; (2) 求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列. 解答解答(1) 当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1. 又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2, 两式相减得an+1= 1 2an, 所以an是首项为1、公比为 1 2的等比数列, 所以an= -1 1 2n . (2) 假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(pqr,且p,q,r N N * *),则2 1 2q = 1 2p + 1 2r , 所以2 - 2r q= - 2r p+1. 又因为pq0,求证:3a 3+2b33a2b+2ab2. 证明证明3a 3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b). 因为ab0,所以a-b0,3a 2-2b20. 从而(3a 2-2b2)(a-b)0,即3a3+2b33a2b+2ab2. 4. (2014北京顺义区模拟)设an是公比为q的等比数列,Sn为它的前n项和,求证: 数列Sn不是等比数列. 证明证明假设Sn是等比数列,则 2 2 S =S1S3, 即 2 1 a (1+q) 2=a 1a1(1+q+q 2). 因为a10,所以(1+q) 2=1+q+