江苏数学一轮第七章第40课等比数列要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 等比数列的基本量运算 等比数列的基本量运算 例1 在等比数列an中,a1+a3=10,a4+a6= 5 4,求an. 思维引导思维引导由a1+a3=10,a4+a6= 5 4的比得q= 1 2,再代入a1+a3=10,得a1=8,从而求出 数列an的通项公式. 解答解答设等比数列an的公比是q, 由a1+a3=10,a4+a6= 5 4, 得a4+a6=(a1+a3)q 3=10q3= 5 4, 解得q= 1 2,代入a1+a3=10中, 得a1+a1q 2= 5 4a1=10,得a1=8, 所以an=a1q n-1= -4 1 2 n . 精要点评精要点评此题主要考查等比数列的通项公式.求等比数列的通项就是要求基 本量a1和q,要注意q=1的情况. 【题组强化重点突破】 【题组强化重点突破】 1. 等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项为 . 答案答案-24 解析解析易求得x=-3. 2.(2014江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值 是 . 答案答案4 解析解析设等比数列an的公比为q,由a8=a6+2a4,得q 4-q2-2=0,解得q2=2,所以 a6=a2q 4=4. 3.(2014全国卷)在等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前8项和等 于 . 答案答案4 解析解析设等比数列an的公比为q,则q= 5 4 a a = 5 2,所以a1= 4 3 a q =2 3 5 2 = 16 125,所以lg a1=lg 16 125.因为an为等比数列,所以lg an-lg an-1=lg-1 n n a a =lg 5 2(n2),所以lg an 为等差数列,所以所求和为8lg 16 125+ 8 7 2 lg 5 2=8(4lg 2-3lg 5)+28(lg 5-lg 2)=4lg 2+4lg 5=4. 4. 已 知 等 比 数 列 an 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a1, 1 2 a3,2a2成 等 差 数 列 , 那 么 910 78 aa aa = . 答案答案3+2 2 解析解析依题意可得2 3 1 2 a =a1+2a2,即a3=a1+2a2,则有a1q2=a1+2a1q,可得q2=1+2q,解 得q=1+ 2或1-2(舍去),所以 910 78 aa aa = 89 11 67 11 a qa q a qa q = 23 1 qq q =q 2=3+2 2. 5. 已知在等差数列an中,a3+a1=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列an的首项、公 差及前n项和. 解答解答设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn. 由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d) 2=(a 1+d)(a1+8d). 所以a1+d=4,d(d-3a1)=0, 解得a1=4,d=0或a1=1,d=3, 即当数列an的首项为4,公差为0时,数列an的前n项和为Sn=4n.当首项为1,公差为 3时,数列an的前n项和为Sn= 2 3- 2 n n . 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 例2 设数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN N * *),若b n=an+1-2an,求bn. 思维引导思维引导由Sn+2=4an+1+2,an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),得an+2-2an+1=2(an+1-2an),所以 bn+1=2bn,再求出首项b1=30,判定bn是公比为2的等比数列. 解答解答因为a1=1,Sn+1=4an+2(nN N * *), 所以Sn+2=4an+1+2, 则an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an), 所以an+2-2an+1=2(an+1-2an), 即bn+1=2bn, 所以bn是公比为2的等比数列,且b1=a2-2a1. 因为a1=1,a2+a1=S2,即a2+a1=4a1+2, 所以a2=3a1+2=5,所以b1=5-2=3. 所以bn=32 n-1. 精要点评精要点评判断一个数列是不是等比数列,根据定义,看前一项与后一项的比 是不是同一个常数,同时还要求b10. 等比数列的求和问题 等比数列的求和问题 例3 已知公比不为1的等比数列an的首项a1= 1 2 ,前n项和为Sn,且 a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列. (1)求等比数列an的通项公式及前n项和Sn; (2)对nN N * *,在a n与an+1之间插入3 n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n 个数的和为bn,求数列bn的前n项和Tn. 思维引导思维引导(1)由等比数列的通项公式可求得数列an的通项公式.(2)由等差 数列的前n项和公式可得,插入的3 n个数的和为b n= 1 2 nn aa 3 n,由(1)可求得b n的表达 式,再根据等比数列的前n项和公式即可得到结论. 解答解答(1)设等比数列an的公比为q,因为a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列, 所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5, 即2a6-3a5+a4=0,所以2q 2-3q+1=0,因为q1,所以q= 1 2, 所以等比数列an的通项公式为an= 1 2n . Sn= 11 1- 22 1 1- 2 n =1- 1 2 n . (2)bn= 1 2 nn aa 3 n= 3 3 4 2 n , Tn= 1 33 - 3 2 2 3 4 1- 2 n = 93 -1 42 n . 精要点评精要点评本题主要考查等比数列前n项和公式的运用,同时考查构造新数列 求通项、求和的方法. 变式 已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x 2+2x的图象上,其中n=1,2,3,. (1)求证:数列lg(1+an)是等比数列; (2)设Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an),求Tn及数列an的通项公式. 解答解答(1)由已知得an+1= 2 n a +2an, 所以an+1+1=(an+1) 2. 因为a1=2,所以an+11,两边取对数得lg(1+an+1)=2lg(1+an),即 1 (1) (1) n n lga lga =2, 所以lg(1+an)是公比为2的等比数列. (2)由(1)知lg(1+an)=2 n-1lg(1+a 1)=2 n-1lg 3=lg -1 2 3 n , 所以1+an= -1 2 3 n ,所以an= -1 2 3 n -1, 所以Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)= 2-1 1 2 2?2 3 n = 2 -1 3 n . 等差数列、等比数列的综合问题 等差数列、等比数列的综合问题 例4 在数列an中,奇数项a1,a3,a5,成等差数列a2n-1(nN N * *),偶数项 a2,a4,a6,成等比数列a2n(nN N * *),且a 1=1,a2=2,a2,a3,a4,a5成等差数列,数列an的 前n项和为Sn. (1)求通项an; (2)求Sn. 思维引导思维引导(1)分奇偶讨论,分别求出奇数项a2n-1=2n-1,和偶数项a2n=2 n,再写出 通项an= 2 , 2 ,. n n n n 为奇数 为偶数 (2)分别求出当n为偶数时Sn= 2 4 n + 1 2 2 n -2,及当n为奇数时 Sn=Sn-1+an= 2 ( -1) 4 n + 1 2 2 n -2+n= 1 2 2 n + 2 2 -7 4 nn ,再用分段函数形式表示结果. 解答解答(1)设等差数列a2n-1(nN N * *)的公差为d,等比数列a 2n(nN N * *)的公比为 q,则a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d, 因为a2,a3,a4,a5成等差数列, 所以2(1+d)=2+2q,4q=(1+d)+(1+2d),解得q=d=2. 于是a2n-1=2n-1,a2n=2 n, 即an= 2 , 2 ,. n n n n 为奇数 为偶数 (2)当n为偶数时,奇数项的和为 1 ( -1) 2 n 2 n = 2 4 n , 偶数项的和为 2 2(1-2 ) 1-2 n = 1 2 2 n -2, 故Sn= 2 4 n + 1 2 2 n -2. 当n为奇数时, Sn=Sn-1+an= 2 ( -1) 4 n + 1 2 2 n -2+n= 1 2 2 n + 2 2 -7 4 nn . 综上,Sn= 12 2 2 1 2 2 -7 2, 4 2-2,. 4 n n nn n n n 为奇数 为偶数 精要点评精要点评要注意当n为奇数时,an是奇数项数列的第 1 2 n 项,当n为偶数时,an 是偶数项数列的第2 n 项. 1. 若等比数列an满足a2a4= 1 2,则a1 2 3 a a5= . 答案答案 1 4 2.在正项等比数列an中,a3a11=16,则log2a2+log2a12= . 答案答案4 解 析 解 析 因 为 等 比 数 列 an 中 ,a3a11=16, 所 以 a2a12=a3a11=16, 所 以 log2a2+log2a12=log2(a2a12)=log216=4. 3.在等比数列an中,若S5=4,S10=12,则S15=牋 牋 . 答案答案28 解析解析由等比数列的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,S5=4,S10-S5=8,所以 S15-S10=16,则S15=28. 4.在数列an中,若a1=1,an+1=3an+2,则an=牋 牋 . 答案答案23 n-1-1 解析解析由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),即 1 1 1 n n a a =3,所以an+1是首项为2、公比为3 的等比数列,所以an+1=23 n-1,则a n=23 n-1-1. 5.若等差数列an和等比数列bn的首项均为1,且公差d0,公比q1,则集合 n|an=bn,nN N * *中的元素个数最多是 . 答案答案2 解析解析当an=bn时,1+(n-1)d=q n-1,设y=qx-1-(x-1)d-1,则y=qx-1ln q-d,令y=0,得 x0=1+log