江苏数学一轮第三章第20课导数的综合应用要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的性质 (2014重庆卷)已知函数f(x)=ae 2x-be-2x-cx(a,b,cR R)的导函数f(x)为偶 函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c. (1) 确定a,b的值; (2) 若c=3,判断f(x)的单调性. 思维引导思维引导(1) 由f(x)为偶函数和曲线在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c列 方程,求出a,b的值;(2) 通过求导,判断f(x)的单调性. 解答解答(1) f(x)=2ae 2x+2be-2x-c, 由f(x)为偶函数,知f(-x)=f(x), 即2(a-b)(e 2x+e-2x)=0, 因为e 2x+e-2x0,所以a=b. 又f(0)=2a+2b-c=4-c,即a+b=2. 联立解得a=1,b=1. (2) 当c=3时,f(x)=e 2x-e-2x-3x, f(x)=2e 2x+2e-2x-32 2-2 22 xx ee -3=10. 故f(x)在R上为增函数. 精要点评精要点评含有参数的导数试题,主要考查两个方面:一是根据给出的某些条 件,求出这些参数值,基本思想方法是方程的思想;二是确定参数的范围(或取值)使 得函数具有某种性质,基本解题思想是函数思想,分类讨论思想. (2014梁丰高级中学)已知函数f(x)=- 1 4x4+ 2 3x3+ax2-2x-2在区间-1,1上 单调递减,在区间1,2上单调递增. (1) 求实数a的值; (2) 若关于x的方程f(x)=m有三个不同的实数解,求实数m的取值范围. 解答解答(1) f(x)=-x 3+2x2+2ax-2. 由题意得f(1)=0,则a= 1 2,经检验符合题意. (变式) (2) 由(1)知f(x)=-(x-1)(x+1)(x-2), 易知函数f(x)在(-,-1),(1,2)上单调递增,在(-1,1),(2,+)上单调递减, 所以函数f(x)的极大值为f(-1)=- 5 12, 极小值为f(1)=- 37 12,f(2)=- 8 3, f(x)=m有三个不同的实数解等价于函数y=f(x)与y=m有3个交点, 结合图象可知m 378 -,- 123 . 利用导数研究实际生活中的优化问题 利用导数研究实际生活中的优化问题 (2014淄博期末)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正 方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个四棱柱形状的包装盒,其中E,F是AB上被 切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm. (1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm 2)最大,试问:x应取何值? (2) 某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大,试问:x应取何值?并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值. (例2) 解答解答设包装盒的高为hcm,底面边长为acm, 由已知得a= 2x,h= 60-2 2 x = 2(30-x),0x30. (1) S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15) 2+1800, 所以当x=15时,S取得最大值. (2) V=a 2h=-2 2x3+602x2,00,可得r0,V(r)单调递增; 当r(5,5 3)时,V(r)0,V(r)单调递减. 由此可知,V(r)在r=5处取最大值,此时h=8, 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. (2014萧县模拟)已知a是实数,函数f(x)=x 2(x-a). (1) 若f(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2) 求f(x)在区间0,2上的最大值. 规范解答规范解答(1) f(x)=3x 2-2ax, 由f(1)=3,得a=0, 从而可得曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为3x-y-2=0.(4分) (2) 令f(x)=0,得x1=0,x2= 2 3 a . 当 2 3 a 0,即a0时,f(x)在0,2上单调递增, f(x)max=f(2)=8-4a.(7分) 当 2 3 a 2,即a3时,f(x)在0,2上单调递减, f(x)max=f(0)=0.(10分) 当0 2 3 a 2,即0a3时,f(x)在 2 0, 3 a 上单调递减,在 2 ,2 3 a 上单调递增,函数 f(x)(0x2)的最大值只可能在x=0或x=2处取到, 因为f(0)=0,f(2)=8-4a, 令f(2)f(0),得a2, 所以f(x)max= 8-4 ,02, 0,23. aa a 综上,f(x)max= 8-4 ,2, 0,2. a a a (14分) 1. 设aR R,函数f(x)=ax 3-3x2.若x=2是函数y=f(x)的极值点,则实数a的值 为 . 答案答案1 解析解析f(x)=3ax 2-6x=3x(ax-2).因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f(2)=0,即 6(2a-2)=0,所以a=1.经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点. 2. 曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 . 答案答案y=4x-3 3. 已知函数y=f(x)及其导函数y=f(x)的图象如图所示,那么曲线y=f(x)在点P处的 切线方程是 . (第3题) 答案答案x-y-2=0 解析解析根据导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率等于f(2) =1. 又过点P(2,0),所以切线方程为x-y-2=0. 4. 将一块20 cm32 cm的矩形铁片的四个角各减去一个相同的正方形,再将四边折 起,制成一个无盖的长方体盒子,则该盒子的体积的最大值为 cm 3. 答案答案1 152 解析解析设长方体的高为x,则体积V=x(20-2x)