江苏数学一轮第三章第18课利用导数研究函数的单调性要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性 求下列函数的单调区间: (1) y=x 3- 1 2x2-2x+5; (2) y=2x 2-lnx. 思维引导思维引导多项式的单调区间由多项式的导数的正负决定. 解答解答(1) y=3x 2-x-2=(3x+2)(x-1). 令y0,得x 2 - ,- 3 (1,+). 令y0,得x 2 -,1 3 . 所以函数的单调增区间为 2 - ,- 3 ,(1,+), 单调减区间为 2 -,1 3 . (2) 因为y=4x- 1 x= 2 4-1x x ,定义域为(0,+), 令y0,得x 1 , 2 . 所以函数的单调增区间为 1 , 2 ,单调减区间为 1 0, 2 . (1) 函数f(x)=x 3-4x2+5x+2的单调减区间是 . (2) (2014孝感模拟)函数y=(3-x 2)ex的单调增区间是 . 答案答案(1) 5 1, 3 (2) (-3,1) 解析解析(1) f(x)=3x 2-8x+5,令f(x)0,得1x0,得-30,解得0x2,此时函数f(x)的单调增区间为(0,2). 当a0,解得 x2,此时函数f(x)的单调增区间为(- ,0),(2,+). 结合函数的单调性求参数 结合函数的单调性求参数 (2014武汉模拟)已知函数f(x)= 2- -1 x x +aln(x-1)(aR R).若f(x)在2,+) 上是增函数,求实数a的取值范围. 思维引导思维引导首先求出函数的导数,然后根据f(x)0(f(x)0)在区间I上恒 成立,求出实数a的取值范围. 解答解答由f(x)=-1+ 1 -1x +aln(x-1), 得f(x)=- 2 1 ( -1)x + -1 a x . 因为f(x)在2,+)上是增函数, 所以f(x)0在2,+)上恒成立, 即a 1 -1x 在2,+)上恒成立,所以a 1 -1 max x . x2,所以01, 所以0 1 x1,故k的取值范围是1,+). 函数单调性的应用 函数单调性的应用 已知函数f(x)=x 3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR R). (1) 若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值; (2) 若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围. 思维引导思维引导由图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,可以列出两个等式,求 出a,b的值. 解答解答(1) 由题意得f(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2). 又 (0)0, (0)- (2)-3, fb fa a 解得 -3, 0 a b 或 1, 0. a b (2) 由f(x)=0,得x1=a,x2=- 2 3 a . 又因为f(x)在(-1,1)上不单调, 所以 -11, 2 - 3 a a a 或 2 -1-1, 3 2 -, 3 a a a 解得-5a- 1 2或- 1 2a1. 故a的取值范围是 1 -5,- 2 1 -,1 2 . 精要点评精要点评导函数f(x)在(a,b)上单调递增(递减)的充要条件是:对任意x (a,b),都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a,b)上的任意子区间上都不恒为零,利 用此充要条件可以方便解决如本题中的“已知函数的单调性,反过来确定函数解析式 中的参数的值域问题”. 设函数f(x)= 1 3x3+mx2+nx. (1) 如果函数g(x)=f(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求函数f(x)的解析式; (2) 如果m+n10(m,nN N * *),函数f(x)的单调减区间的长度是正整数,试求m和n 的值.(注:区间(a,b)的长度为b-a) 解答解答(1) 已知f(x)= 1 3x3+mx2+nx, 则f(x)=x 2+2mx+n.(1分) 又g(x)=f(x)-2x-3=x 2+(2m-2)x+n-3在x=-2处取极值, 所以g(-2)=2m-6=0,解得m=3.(3分) 又g(x)在x=-2处取最小值-5, 则g(-2)=(-2) 2+(-2)4+n-3=-5,解得n=2.(5分) 所以f(x)= 1 3x3+3x2+2x. (6分) (2) 要使f(x)= 1 3x3+mx2+nx单调递减,则f(x)=x2+2mx+n0,故函数的单 调增区间为(-,-1),(11,+). 2. 函数f(x)=x 3-6x+5,x0,2的单调减区间为 . 答案答案0, 2) 解析解析f(x)=3x 2-6,x0,2,令f(x)0,得0x0,得0xe,此时函数f(x)单调递增; 令f(x)