江苏数学一轮第五章第31课余弦定理与解三角形要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 余弦定理的简单运用 余弦定理的简单运用 在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且 cosB cosC=-2 b ac . (1) 求角B的大小; (2) 若b= 13,a+c=4,求ABC的面积. 思维引导思维引导由 cosB cosC=-2 b ac 及余弦定理将条件转化为边的关系求解. 解答解答(1) 由余弦定理知cosB= 222 - 2 ac b ac , cosC= 222 - 2 ab c ab . 将上式代入 cosB cosC=-2 b ac , 得 222 - 2 ac b ac 222 2 - ab abc =-2 b ac , 整理得a 2+c2-b2=-ac. 所以cosB= 222 - 2 ac b ac = - 2 ac ac=- 1 2 . 因为B为三角形的内角,所以B= 2 3 . (2) 将b= 13,a+c=4,B= 2 3 代入b 2=a2+c2-2accosB, 得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB, 所以13=16-2ac 1 1- 2 ,所以ac=3. 所以SABC= 1 2 acsinB= 3 3 4 . 精要点评精要点评(1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅 速解答本题的关键.(2) 熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用. (2014 安 徽 卷 ) 在 ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c, 且 a 2=b2+c2+3 ab. (1) 求A; (2) 设a= 3 ,S为ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时角B的大 小. 解答解答(1) 由余弦定理得cosA= 222 - 2 bc a ac =- 3 2 bc bc =- 3 2 . 又因为0A,所以A= 5 6 . (2) 由 (1) 得 sinA= 1 2 . 又 由 正 弦 定 理 及 a= 3 , 得 S= 1 2 bcsinA= 1 2 asinB sinA asinC=3sinBsinC. 因此S+3cos Bcos C=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C), 所以,当B=C时,S+3cosBcosC取得最大值3,此时B=12 . 利用余弦定理判断三角形的形状 利用余弦定理判断三角形的形状 在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinAsinB= 3 4 ,试判断ABC的形 状. 思维引导思维引导已知条件等式中既有边又有角,因此考虑将边与角的混合关系转化 为只含有边或者只含有角的关系,再作判断. 解答解答由(a+b+c)(a+b-c)=3ab(a+b) 2-c2=3aba2+b2-c2=ab, 所以 cosC= 222 - 2 ab c ab = 1 2 . 因为0C180,所以C=60,A+B=120, 所以cos(A+B)=- 1 2 ,即cosAcosB-sinAsinB=- 1 2 , 又sinAsinB= 3 4 , 所以cosAcosB= 1 4 , +得cos(A-B)=1. 因为-c,所以a=3,c=2. (2) 在ABC中,sinB= 2 1-cos B= 2 1 1- 3 = 2 2 3 . 由正弦定理得sinC= c b sinB= 2 3 2 2 3 = 4 2 9 . 因为a=bc,所以C为锐角, 因此cosC= 2 1-sin C = 2 4 2 1- 9 = 7 9 . 所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= 1 3 7 9 + 2 2 3 4 2 9 = 23 27 . (2014陕西卷)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1) 若a,b,c成等差数列,求证:sinA+sinC=2sin(A+C); (2) 若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值. 解答解答(1) 因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. 因为sinB=sin-(A+C)=sin(A+C), 所以sinA+sinC=2sin(A+C). (2) 因为a,b,c成等比数列,所以b 2=ac. 由余弦定理得 cosB= 222 - 2 ac b ac = 22- 2 ac ac ac 2- 2 ac ac ac = 1 2 , 当且仅当a=c时等号成立, 所以cosB的最小值为 1 2 . 已知ABC的周长为4( 2 +1),且sin B+sin C= 2 sin A. (1) 求a的值; (2) 若SABC=3sin A,求角A的余弦值. 规范答题规范答题(1) 根据正弦定理可将sin B+sin C= 2 sin A化为b+c= 2 a.(3分) 联立方程组 4( 21), 2 , abc bca 解得a=4.(6分) (2) 因为SABC=3sin A, 所以 1 2 bcsin A=3sin A,则bc=6.(10分) 又由(1)可知b+c=4 2 , 所以cos A= 222 - 2 bc a bc = 22 () -2- 2 b cbc a bc = 1 3 .(13分) 因此,角A的余弦值是 1 3 .(14分) 1. 已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若a 2+ab+b2-c2=0,则角C的大小 是 . 答案答案 2 3 2. (2014天津卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知 b-c= 1 4 a,2sinB=3sinC,那么cosA的值为 . 答案答案- 1 4 解 析 解 析 因 为 2sinB=3sinC, 所 以 2b=3c. 又 b-c= 4 a , 所 以 a=2c,b= 3 2 c, 所 以 cosA= 222 - 2 bc a bc = 222 9 -4 4 3 2 2 ccc c c =- 1 4 . 3. 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a 2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,则b= . 答案答案4 解析解析在ABC中,因为sin Acos C=3cos Asin C,则由正弦定理及余弦定理得 a 222 - 2 ab c ab =3 222 - 2 bc a bc c,化简得2(a 2-c2)=b2.又由a2-c2=2b,得4b=b2,解得b=4或 b=0(舍去). 4. (2014全国卷)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且 (2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为 . 答案答案 3 解析解析根据正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b 2+c2-a2=bc,根据余弦定理 得cosA