江苏数学一轮第五章第32课正弦定理与余弦定理的综合应用自主学习pdf

第第32课课 正弦定理与余弦定理的综合应用 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课对应学生用书第68-70页) 自主学习 回归教材 自主学习 回归教材 1. 测量问题的有关名词 (1) 仰角和俯角:是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目 标视线在水平视线上方时叫作仰角,目标视线在水平视线下方时叫作俯角. (2) 方向角:是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30,南偏西 45. (3) 方位角:是指北方向顺时针转到目标方向线的角. (4) 坡角:是指坡面与水平面所成的角. (5) 坡比:是指坡面的铅直高度与水平宽度之比. 2. 求解三角形实际问题的基本步骤 (1) 分析:理解题意,弄清已知和未知,画出示意图; (2) 建模:根据条件和目标,构建三角形,建立一个解三角形的数学模型; (3) 求解:利用正弦定理和余弦定理解三角形,求数学模型的解; (4) 检验:检验上述所求的角是否符合实际意义,从而得到实际问题的解. 1. (必修5P16练习1改编)在ABC中,若sin Asin Bsin C=7813,则cos C= . 答案答案- 1 2 解析解析由正弦定理知abc=7813,再由余弦定理知cos C= 222 78 -13 2 7 8 =- 1 2 . 2. (必修5P24复习题1改编)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若 a 2-b2=3 bc,sinC=2 3 sinB,则A= . 答案答案6 解 析 解 析 由 sinC=2 3 sinB 得 c=2 3 b, 代 入 a 2-b2=3 bc 得 a 2-b2=6b2, 所 以 a 2=7b2,a=7 b,所以cosA= 222 -a 2 bc bc = 3 2 ,所以A=6 . 3. (必修5P24复习题2改编)在ABC中,若a-b=ccosB-ccosA,则ABC的形状 为 . 答案答案等腰或直角三角形 解析解析方法一:因为a-b=ccosB-ccosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以 sin(B+C)-sin(A+C)=sinCcosB-sinCcosA,所以 sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA,所以 cosC (sinB-sinA)=0,所以cosC=0或sinB=sinA,所以C=90或B=A,所以ABC为等腰 或直角三角形. 方 法 二 : 因 为 a-b=ccosB-ccosA, 所 以 a-b=c 222 - 2 ac b ac -c 222 - 2 bc a bc , 所 以 (a-b)(a 2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2,所以ABC为等腰或直角三角形. 4. (必修5P17习题6改编)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A+csin C- 2 asin C=bsin B,那么B= . 答案答案45 解析解析由正弦定理得a 2+c2- 2 ac=b 2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,故cos B= 2 2 ,因此B=45. 5. (必修5P24复习题7改编)如图,已知A为定角,点P,Q分别在A的两边上,PQ为定 长,则APB的面积最大值为 . (第5题) 答案答案 2 4(1-) a sin cos 解析 解析设A=,PQ=a,AP=x,AQ=y,其中,a为定值,由余弦定理得a 2=x2+y2-2xycos 2xy-2xycos=2xy(1-cos),因