江苏数学一轮第十二章第67课几何概型要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 测度为长度的几何概型 测度为长度的几何概型 利用计算机产生01之间的均匀随机数a,则事件“3a-10”发生的概率 为 . 答案答案 2 3 解析 解析因为3a-10,所以a 1 3.因为a是产生01之间的均匀随机数,所以a 1 ,1 3 ,所以“3a-10”的概率P= 1 1- 3 1 = 2 3. (2014广州十校联考)在区间-5,5内随机地取出一个数a,使得1 x|2x 2+ax-a20的概率为 . 答案答案 3 10 解析 解析由1x|2x 2+ax-a20,得a2-a-20,解得-1a2,所以所求概率为 3 10. (2014眉山模拟)在节日里,某家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的 第一次闪亮相互独立,若接通电后的每秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4s 内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1s的概 率是 . (变式2) 答案答案 7 16 解析 解析设这两串彩灯在第一次闪亮时的时间分别为x,y,则 04, 04, | - |1, x y x y 作出这三 个不等式组表示的区域如图所示,由几何概型的概率公式得P= 16-9 16 = 7 16. 测度为面积的几何概型 测度为面积的几何概型 (2014辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 . (例2) 答案答案4 解析 解析由已知得,以AB为直径的半圆的面积为 1 212=2 .又长方形ABCD的面 积为2,故质点落在以AB为直径的半圆内的概率是P= 2 2 =4 . 记集合A=(x,y)|x 2+y216和集合B=(x,y)|x+y-40,x0,y0表示的 平面区域分别为1,2,若在区域1内任取一点M(x,y),则点M落在区域2的概率 为 . 答案答案 1 2 解析 解析区域1为圆心在原点、半径为4的圆,区域2为等腰直角三角形,两腰长 为4,所以P= 2 1 S S = 8 16 = 1 2 . (2014 北京海淀区模拟)在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M, 用随机模拟方法来估计不规则图形的面积.若在正方形ABCD中随机产生了10000个点, 落在不规则图形M内的点数恰有2000个,则在这次模拟中,不规则图形M的面积的估计 值为 . 答案答案 4 5 解析 解析设不规则图形M的面积的估计值为S,由几何概型概率公式可得 2 2 S = 2000 10000,解得S= 4 5. 在区间1,5和2,4内分别取一个数,记为a,b,则方程 2 2 x a + 2 2 y b =1表示焦 点在x轴上且离心率小于 3 2 的椭圆的概率为 . 答案答案 15 32 (例3) 解析解析因为方程 2 2 x a + 2 2 y b =1表示焦点在x轴上且离心率小于 3 2 的椭圆,所以有 22 22 , -3 , 2 ab ca b e aa 即 22 22 , 4, ab ab 化简得 , 2 . ab ab 又a1,5,b2,4,画出满足 不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为 15 4 ,故 P=2 4 S 阴影 = 15 32. 精要点评精要点评应用几何概型求概率的步骤:(1) 把每一次试验当作一个事件,看事 件是否是等可能的且事件的个数是否是无限个,若是则考虑用几何概型;(2) 将试验 构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图形,并加以度量;(3) 应用几何概型 的概率公式求概率.对于生活中的几何概型问题:(1) 要注意实际问题中的等可能性 的判断;(2) 将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概 型的求解问题,构造出随机事件对应的几何图形,利用几何图形的度量来求随机事件 的概率,根据实际问题的具体情况,合理设置参数,建立适当的坐标系,在此基础上将 试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点,便可构造出度量区域. 在圆(x-2) 2+(y-2)2=4内任取一点,则该点恰好在区域 2 -50, -230, 3 xy xy x 内的概 率为 . 答案答案 1 2 解析 解析作出可行域如图中ABC及其内部所示,其中A(1,2),B(3,3),C(3,1),因 为ABC位于圆(x-2) 2+(y-2)2=4的内部,所以在圆(x-2)2+(y-2)2=4内任取一点,则该 点恰好在区域 2 -50, -230, 3 xy xy x 内的概率P= ABC S S = 2 1 2 2 2 2 = 1 2 . (变式1) 在长为10cm的线段AB上任取一点C,并以线段AC为边作正方形,这个正方形 的面积介于25cm 2与49cm2之间的概率为 . 答案答案 1 5 解析 解析由以线段AC为边的正方形的面积介于25cm 2与49cm2之间,知满足条件的 点C对应的线段长2cm,而线段AB总长为10cm,故正方形的面积介于25cm 2与49cm2之间 的概率P= 2 10= 1 5. 如图,设M为线段AB的中点,在线段AB上任取一点C,求AC,CB,AM三条线段能构成 三角形的概率. (范题赏析) 规范解答规范解答 记“能构成三角形”为事件A.设线段AB的长为a,线段AC的长为x,则问 题中的几何区域D是0,a.(4分) 线段AC,CB,AM能构成三角形的条件是 , , , ACAMCB AMCBAC ACCBAM 即 - , 2 -, 2 a x