江苏数学一轮第十一章第63课圆锥曲线的综合应用要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线 如图,已知椭圆C: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 3 2 ,点A是椭圆上任意一点,AF1F2的周长为4+2 3. (例1) (1) 求椭圆C的方程; (2) 过点Q(-4,0)任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记MQ =QN ,若在线段MN 上取一点R,使得MR =-RN ,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定 直线的方程. 思维引导思维引导(1) 根据条件求出基本量“a,b”,从而得出椭圆C的方程;(2) 根据 MQ =QN 和MR =-RN ,将用点M,N的坐标表示,然后解出点R的坐标,从而得 出该直线的方程. 解答解答(1) 因为AF1F2的周长为4+2 3, 所以2a+2c=4+2 3,即a+c=2+3. 又e= c a= 3 2 ,解得a=2,c= 3,b2=a2-c2=1, 所以椭圆C的方程为 2 4 x +y 2=1. (2) 由题意知,直线l的斜率必存在,设其方程为y=k(x+4), 设点M(x1,y1),点N(x2,y2). 由 2 2 1, 4 (4), x y yk x 得(1+4k 2)x2+32k2x+64k2-4=0, 则x1+x2= 2 2 -32 14 k k ,x1x2= 2 2 64-4 1 4 k k . 由MQ =QN ,得(-4-x1,-y1)=(x2+4,y2), 所以-4-x1=(x2+4),=- 1 2 4 4 x x . 设点R的坐标为(x0,y0),由MR =-RN , 得(x0-x1,y0-y1)=-(x2-x0,y2-y0), 所以x0-x1=-(x2-x0), 解得x0= 12 - 1- xx = 1 12 2 1 2 4 4 4 1 4 x xx x x x = 1212 12 24() ()8 x xxx xx , 而2x1x2+4(x1+x2)=2 2 2 64-4 1 4 k k +4 2 2 -32 14 k k =- 2 8 14k , (x1+x2)+8=- 2 2 32 14 k k +8= 2 8 14k , 所以x0= 2 2 8 -1 4 8 14 k k =-1, 故点R在定直线x=-1上. (2014 北京东城区模拟)已知椭圆 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0)上的点到其两焦点 距离之和为4,且过点(0,1). (1) 求椭圆的方程; (2) 设O为坐标原点,斜率为k的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),若 12 2 x x a + 12 2 y y b =0,求AOB的面积. 解答解答(1) 依题意有a=2,b=1. 故椭圆的方程为 2 4 x +y 2=1. (2) 由(1)知焦点坐标为( 3,0),因为直线AB过右焦点(3,0), 设直线AB的方程为y=k(x- 3). 联立方程组 2 2 1, 4 ( - 3), x y yk x 消去y并整理得(4k 2+1)x2-8 3k2x+12k2-4=0. (*) 故x1+x2= 2 2 8 3 41 k k ,x1x2= 2 2 12-4 41 k k , y1y2=k(x1- 3)k(x2-3)= 2 2 - 41 k k . 又 12 2 x x a + 12 2 y y b =0,即 12 4 x x +y1y2=0, 所以 2 2 3-1 41 k k + 2 2 - 41 k k =0,可得k 2= 1 2,即k= 2 2 . 方程(*)可化为3x 2-4 3x+2=0, 由AB= 2 1 k |x1-x2|,可得AB=2, 故原点O到直线AB的距离d= 2 | 3 | 1 k k =1. 所以SAOB= 1 2ABd=1. 圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线的综合问题 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0)的左、 右顶点分别 为点A,B,离心率为 1 2,右准线为l:x=4,M为椭圆上不同于A,B的一点,直线AM与直线l 交于点P. (1) 求椭圆C的方程; (2) 若AM =MP ,判断点B是否在以PM为直径的圆上,并说明理由; (3) 连接PB并延长,交椭圆C于点N,若直线MN垂直于x轴,求点M的坐标. (例2) 思维引导思维引导(1) 直接根据题意,可得基本量,写出椭圆的方程;(2) 将几何问题 代数化,转化为判断向量的数量积是否为0,体现了解析几何的基本思想;(3) 直线与 椭圆的位置关系,利用方程解决. 解答解答(1) 由 2 1 , 2 4, c a a c 解得 2, 1, a c 所以b 2=3. 所以椭圆的方程为 2 4 x + 2 3 y =1. (2) 因为AM =MP ,所以xM=1. 代入椭圆,得yM= 3 2,即M 3 1, 2 . 所以直线AM的方程为y= 1 2(x+2),得点P(4,3). 所以BM = 3 -1, 2 ,BP =(2,3). 因为BM BP = 5 20,所以点B不在以PM为直径的圆上. (3) 因为MN垂直于x轴,故由椭圆对称性可设M(x1,y1),N(x1,-y1). 直线AM的方程为y= 1 1 2 y x (x+2),所以yP= 1 1 6 2 y x , 直线BN的方程为y= 1 1 - -2 y x (x-2),所以yP= 1 1 -2 -2 y x , 所以 1 1 6 2 y x = 1 1 -2 -2 y x . 因为y10,所以 1 6 2x =- 1 2 -2x ,解得x1=1. 所以点M的坐标为 3 1, 2 . 精要点评精要点评熟练掌握椭圆的几何性质,并能将几何问题代数化,运用代数方法 解决几何,渗透“以数助形”的思想. 已知椭圆M的对称轴为坐标轴,离心率为 2 2 ,且抛物线y 2=4 2x的焦点是椭 圆M的一个焦点. (1) 求椭圆M的方程; (2) 设直线l与椭圆M相交于A,B两点,以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,其 中点P在椭圆M上,点O为坐标原点,求点O到直线l的距离的最小值. 解答解答(1) 由题意知抛物线的焦点为( 2,0), 设椭圆的方程为 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0),则c= 2. 由e= 2 2 ,得a=2,b 2=2, 所以椭圆M的方程为 2 4 x + 2 2 y =1. (2) 当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m, 联立方程组 22 , 1, 42 ykxm xy 消去y,得(1+2k 2)x2+4kmx+2m2-4=0, =16k 2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m2)0. 设A,B,P三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),则 x0=x1+x2=- 2 4 12 km k ,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m= 2 2 12 m k , 由于点P在椭圆M上,所以 2 0 4 x + 2 0 2 y =1. 从而 22 22 4 (12) k m k + 2 22 2 (12) m k =1,化简得2m 2=1+2k2,经检验满足式. 又点O到直线l的距离为 d= 2 | | 1 m k = 2 2 1 2 1 k k = 2 1 1- 2(1)k 1 1- 2 = 2 2 ,当且仅当k=0时等号成立. 当直线l斜率不存在时,由对称性知,点P一定在x轴上, 从而点P的坐标为(-2,0)或(2,0),直线l的方程为x=1, 所以点O到直线l的距离为1. 综上,点O到直线l的距离最小值为 2 2 . 圆锥曲线的实际应用 圆锥曲线的实际应用 某中心接到其正西、正东、正南方向的三个观测点A,B,C的报告:正西、正 南两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点早4 s.已 知各观测点到该中心的距离都是1 020 m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音 的速度为340 m/s,相关各点均在同一个平面上) 思维引导思维引导这是一个有关双曲线的定义,直线与双曲线位置关系的应用问题. 解答解答如图,以接报中心为原点O,正东,正北方向分别为x轴,y轴正方向建立平 面直角坐标系,则点A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,-1 020). (例3) 设P(x,y)为巨响发生点, 则PA-PB=1 360,AB=2 040. 由双曲线的定义可知,点P在以A,B为焦点的双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1上.又PA=PC,所以 点P在AC的中垂线y=x上.依题意,a=680,c=1 020,所以b 2=c2-a2=53402,故双曲线的 方程为 2 2 680 x - 2 2 5 340 y =1.把y=x代入,得x=680 5. 因为PAPB,所以x=y=680 5,即P(6805,6805),故PO=68010 .故巨响发生 在接报中心的北偏东45、距中心680 10 m处. 精要点评精要点评本题是双曲线的方程性质在实际问题中的应用,利用两个不同的观 测点测得同一声巨响的时间差,可以确定巨响发生位置所在的双曲线的方程. 已 知 过 抛 物 线 y 2=2px(p0) 的 焦 点 , 斜 率 为 2 2 的 直 线 交 抛 物 线 于 A(x1,y2),B(x2,y2)(x10,b0)的左焦点F为圆x 2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到 点F的距离最小值为 2-1,那么该椭圆的方程为 . 答案答案 2 2 x +y 2=1 解析解析因为圆x 2+y2+2x=0的圆心为(-1,0),半径r=1,所以椭圆的半焦距c=1.又椭圆 上的点到点F的距离的最小值为 2-1,所以a-c=2-1,即a=2,故所求椭圆的方程 为 2 2 x +y 2=1. 2. 已知双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1(a0,b0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,那么该双曲 线的离心率为 . 答案答案 5 解析 解析双曲线的渐近线为y= b ax,直线x+2y-1=0的斜率为- 1 2.因为y= b ax与直线 x+2y-1=0垂直,所以 b a 1 - 2 =-1,即b=2a.所以c2=a2+b2=5a2,即e2=5,e=5. 3. (2014山东卷)已知ab0,椭圆C1的方程为 2 2 x a + 2 2 y b =1,双曲线C2的方程为 2 2 x a - 2 2 y b =1.若椭圆C1与双曲线C2的离心率之积为 3 2 ,则双曲线C2的渐近线方程 为 . 答案答案x 2y=0 解析解析由题意得 2 1- b a 2 1 b a = 3 2 ,所以 b a= 1 2 ,双曲线的渐近线方程为y= 1 2 x,即x 2y=0. 4. 已知抛物线x 2=2py(p0)与圆x2+y2=1有公共的切线y=x+b,那么p= . 答案