江苏数学一轮第十一章第61课双曲线要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 求双曲线的方程 求双曲线的方程 已知双曲线C: 2 2 x a - 2 2 y b =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3, 直线y=2与双曲线C的两个交点间的距离为 6 ,求双曲线C的方程. 思维引导思维引导在双曲线中有c 2=a2+b2, c a=3,再将y=2代入双曲线方程得到 2 2 1 2 a = 6 ,从而求出双曲线C的方程. 解答解答由题设知 c a=3,即 22 2 ab a =9,故b 2=8a2, 所以双曲线C的方程可化为8x 2-y2=8a2. 将y=2代入上式,并求得x= 2 1 2 a . 由题设知2 2 1 2 a = 6 ,解得a 2=1. 所以a=1,b=2 2. 故双曲线C的方程为x 2- 2 8 y =1. 精要点评精要点评也可以将点 6 ,2 2 代入双曲线方程,再根据c2=a2+b2=3求出双曲线C 的方程. 已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(- 5,0),点P在双曲线上,且线段 PF1的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 . 答案答案x 2- 2 4 y =1 解析解析由题意可知c= 5,F1F2=25,线段PF1的中点坐标为(0,2),设右焦点为F2, 则有PF2x轴,且PF2=4,点P在双曲线右支上,所以PF1= 22 (2 5)4 =6,所以 PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,b 2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为x2- 2 4 y =1. 双曲线的性质 双曲线的性质 (2014北京卷)设双曲线C经过点(2,2),且与 2 4 y -x 2=1具有相同的渐近线, 则双曲线C的方程为 ,渐近线的方程为 . 答案答案 2 3 x - 2 12 y =1 y=2x 解析解析因为双曲线 2 4 y -x 2=1的渐近线方程为y=2x,所以双曲线C的渐近线方程 为y=2x,故可设双曲线C的方程为 2 4 y -x 2=m(m0),将点(2,2)代入,得m=-3,故双曲 线C的方程为 2 3 x - 2 12 y =1. (2014 浙江卷)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1(ab0)的两条渐 近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足PA=PB,则该双曲线的离心率是 . 答案答案 5 2 解析解析由题意知双曲线的两条渐近线方程分别为y= b ax和y=- b ax,与直线 x-3y+m=0联立,解得A - , -3-3 ambm a b a b ,B - , 33 ambm ab ab .设AB的中点为Q,则 Q 22 2222 3 , 9-9- a mb m b ab a .因为PA=PB,Q为AB的中点,所以PQAB,即kPQkAB=-1,所以kPQ=-3, 即 2 22 2 22 3 9- - 9- b m b a a m m b a =-3,解得a 2=4b2,所以该双曲线的离心率e= 2 2 1 b a = 5 2 . 双曲线定义的应用 双曲线定义的应用 (2014增城调研)求与圆x 2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都相外切的圆的圆心的 轨迹. 解答解答圆x 2+y2=1的圆心为O 1(0,0),半径为r1=1,圆x 2+y2-8x+12=0的标准方程为 (x-4) 2+y2=4,圆心为O 2(4,0),半径为r2=2,设动圆P与这两个圆都外切,其半径为R,则 PO1=R+r1=R+1,PO2=R+r2=R+2,所以PO2-PO1=(R+2)-(R+1)=10),曲线C 2是以直线2x- 3y=0与 2x+ 3y=0为渐近线,且以(0,7 )为一个焦点的双曲线. (1) 求双曲线C2的标准方程; (2) 若抛物线C1与双曲线C2在第一象限内有两个交点A和B,求p的取值范围,并求 FA FB 的最大值. 思维引导思维引导(1) 设双曲线为C1: 2 4 y - 2 3 x =(0),由其焦点可求的值;(2) 将 抛物线C1与双曲线C2联立方程,消去y得关于x的一元二次方程,该方程有两个不相等 的正实数根,得p的范围,再将FA FB 转化为关于p的函数,求其最值. 解答解答(1) 依题意,设双曲线的标准方程为 2 4 y - 2 3 x =(0),即 2 4 y - 2 3 x =1,其 焦点为(0, 7 ),则 7 = 43 ,得=1, 所以双曲线C2的方程为 2 4 y - 2 3 x =1. (2) 将y 2=2px(p0)代入 2 4 y - 2 3 x =1中并整理,得2x 2-3px+6=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x10,x20,y10,y20, 则 2 12 12 (-3 ) -4 2 60, 3 0, 2 3, p p xx x x 解得p 4 3 3 . 故p的取值范围为 4 3 , 3 . 又F ,0 2 p , 所以 FA FB = 12 - 22 pp xx +y1y2=x1x2-2 p (x1+x2)+ 2 4 p +2p 12 x x =- 1 2p2+2 3p+3=- 1 2(p -2 3)2+99, 当且仅当p=2 3时,FA FB 取得最大值9. 1. 已知双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1(a0,b0)的一条渐近线经过点(1,2),那么该双曲线的离 心率为 . 答案答案 5 解析 解析因为双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1(a0,b0)的一条渐近线方程为y= b ax,经过点(1,2),所 以b=2a,又c 2=a2+b2=5a2,e= c a= 5. 2. (2014揭阳模拟)若双曲线 2 2 x a - 2 2 y b =1的离心率为 3,则其渐近线的斜率 为 . 答案答案 2 解析解析双曲线的离心率e= c a= 2 2 1 b a = 3,所以 b a=2,因为其渐近线方程为y= b ax,所以其斜率为2. 3. (2014池州一中)若双曲线 2 2 x a - 2 3 y =1(a0)的离心率为2,则a= . 答案答案1 解析解析由 2 2 x a - 2 3 y =1,知b= 3,而e= c a= 2 3a a =2,解得a=1. 4. 已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,曲线C与直线x=-1交于A,B两 点,AB= 3,那么曲线C的实轴长为 . 答案答案1 解析解析设等轴双曲线