江苏数学一轮第二章第13课幂函数、函数与方程要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 幂函数的图象与性质 幂函数的图象与性质 (2014上海卷)若f(x)= 2 3 x - 1 2 x ,则满足f(x)0的x取值范围是 . 答案答案(0,1) 解析解析根据幂函数的性质,由于 1 2 2 3,所以当0x 1 2 x , 因此f(x)的解集为(0,1). (2014临沂模拟)若幂函数f(x)=x 的图象过点(2,4),则函数f(x)的单调增 区间是 . 答案答案0,+) 解析解析因为函数过点(2,4),所以4=2 ,=2,故函数解析式为y=x2,单调增区间 为0,+). 求函数的零点 求函数的零点 (2014湖北卷)已知f(x)是定义在R R上的奇函数,当x0时,f(x)=x 2-3x,那 么函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为 . 答案答案-2- 7 ,1,3 解 析 解 析 因 为 f(x) 是 定 义 在 R R 上 的 奇 函 数 , 当 x 0 时 ,f(x)=x 2-3x, 所 以 f(x)= 2 2 x -3x,x0, -x -3x,x0, 故 g(x)= 2 2 x -4x3,x0, -x -4x3,x0. 由 2 x0, x -4x30, 解 得 x=1 或 3. 由 2 x0, -x -4x30, 解 得 x=-2- 7 . 所 以 函 数 g(x)=f(x)-x+3 的 零 点 的 集 合 为 -2- 7 ,1,3. 根据表格中的数据,可以判定方程e x-x-2=0的一个零点所在的区间为 (k,k+1)(kN N),则k的值为 . x -1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.727.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 思维引导思维引导根据零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一 条连续的曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间a,b内有零点. 答案答案1 解析解析设由f(x)=e x-x-2,由表格可知f(1)0,所以k的值为1. 函数零点的应用 函数零点的应用 若函数y=ax 2-x-1只有一个零点,求实数a的取值范围. 思维引导思维引导由分类讨论思想,分a=0和a0两种情况,分别对应一次函数、二次 函数加以判断. 解答解答若a=0,则f(x)=-x-1,显然函数f(x)=-x-1只有一个零点-1; 若a0,则y=ax 2-x-1是二次函数,若函数只有一个零点,即方程ax2-x-1=0仅有 一个实根,故=1+4a=0,得a=- 1 4. 综上所述,当a=0或a=- 1 4时,函数y=ax2-x-1只有一个零点. (2014阜宁模拟)设函数y=x 3与y= x-2 1 2 的图象的交点为(x0,y0),且x0 (m,m+1),mZ Z,则m= . 答案答案1 解析解析令f(x)=x 3- x-2 1 2 ,易知函数y=x 3在R R上单调递增,y= x-2 1 2 在R上单调递 减,所以y=- x-2 1 2 在R R上单调递增,所以f(x)在R R上单调递增.又函数y=x 3与y= x-2 1 2 的 图 象 的 交 点 为 (x0,y0), 所 以 f(x0)=0, 即 x0为 f(x) 的 零 点 . 又 f(1)=1- 1-2 1 2 =-10,f(x)在R上单调递增,所以x0(1,2),所以 m=1. 函数与方程的关系 函数与方程的关系 已知关于x的一元二次方程(x-1)(3-x)=a-x(aR R),请你不用方程的判别式 而利用函数的图象讨论方程的根的情况. 思维引导思维引导方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,据此,方程f(x)=g(x)的根就 是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标. 解答解答原方程可化为-x 2+5x-3=a.作出函数f(x)=-x2+5x-3的图象,再作出函数 g(x)=a的图象(如图所示).由图象可知: 当a= 13 4 时,方程有两个相等的实数根; 当a 13 4 时,方程没有实数根. (例5) 精要点评精要点评将方程问题转化为函数问题,利用数形结合的思想求解. 设函数f(x)= 2 xbxc,x0, 2,x0. 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程y=x 的解的个数. 解答解答 f(-4)f(0), f(-2)-2 16-4bcc, 4-2bc-2 b4, c2. 所以f(x)= 2 x4x2,x0, 2,x0. 这个函数的图象如图所示. (变式) 可知直线y=x与f(x)的图象有3个交点,所以关于x的方程y=x的解的个数为3. 已知函数f(x)=ax 2+4x+b(a0 的解集为 (x1,x2),且方程f(x)=x的两实根为,. (1) 若|-|=1,求a,b之间的函数关系式; (2) 若12,求证:(x1+1)(x2+1)0,+=- 3 a,= b a. 所以|-|= 2 () -4 =1,所以 2 9 a - 4b a =1. 所以a 2+4ab=9,所以a,b的函数关系式为a2+4ab=9.(6分) (2) 令g(x)=ax 2+3x+b,又a0,12, 所以 g(1)0, g(2)0, 即 g(1)ab30, g(2)4ab60. 又x1,x2是方程ax 2+4x+b=0的两个根, 所以x1+x2=- 4 a,x1x2= b a, 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= b a- 4 a+1= b-4 a +1. (10分) 由线性约束条件 ab30, 4ab60, a0, 画图可知, b-4 a 的取值范围为(-4,6), (12分) 所以-3 b-4 a +16+1=7,所以(x1+1)(x2+1)7. (14分) 1. 对于函数y=x 2,y= 1 2 x ,有下列说法: 两个函数都是幂函数; 两个函数在(0,+)上都单调递增; 它们的图象关于直线y=x对称; 两个函数都是偶函数. 其中正确的说法有 .(填序号) 答案答案 解析解析根据幂函数的图象和性质. 2. 已知幂函数f(x)=kx 的图象过点 12 , 22 ,那么k+= . 答案答案 3 2 解析解析由函数f(x)=kx 为幂函数,得k=1.又其图象过点 12 , 22 ,所以= 1 2.所以 k+= 3 2. 3. 在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间是 .(填序号) 1 0, 4 ; 1 1 , 4 2 ; 5 3 , 2 4 ; 3 ,1 4 . 答案答案 解析解析因为f(0)=-20,f 1 4 = 1 4 e -20,所以f(x)=0的零点在区间 1 1 , 4 2 内. 4. (2014 温州十校联考)设f(x)=lnx+x-2,若函数f(x)的零点所在的区间是(k,k+1), 则k的值为 . (第