江苏数学一轮第四章第27课三角函数的图象和性质要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 三角函数的定义域与值域问题 三角函数的定义域与值域问题 (1) 求下列函数的定义域: f(x)=lg(sinx-cosx); f(x)= 21cosx tanx . (2) 求下列函数的值域: y= -2 -1 sinx sinx ; y= -1 sinxcosx sinx cosx (0x0, 解得x 5 2,2 44 kk (kZ Z). 由题意知 210, 0, cosx tanx 解得xx|2k- 2 3 x2k+ 2 3 ,且xk,xk+2 ,kZ Z. (2) 因为y= -2 -1 sinx sinx =1- 1 -1sinx , 所以当sinx=-1时,ymin=1+ 1 2= 3 2, 所以值域为 3 , 2 . 令t=sinx-cosx,则t= 2sin - 4 x , 由于0x,所以-4 x-4 3 4 , 所以-1t 2. sinxcosx= 2 1- 2 t , 由于0x,所以-4 x-4 0)的函数的单调区间,基本思路是把 x+看作一个整体;三角函数的对称轴、对称中心往往不止一个. (2014苏州期末)若函数f(x)=sin(x+) 0 2 的图象关于直线x=6 对称,则= . 答案答案3 解析 解析因为f(x)=sin(x+)关于直线x=6 对称,所以f 6 =sin 6 =1或-1, 所以=3 +k(kZ Z),又02 ,所以=3 . 三角函数性质的综合应用 三角函数性质的综合应用 (2014福建卷)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)- 1 2. (1) 若02 ,且sin= 2 2 ,求f()的值; (2) 求函数f(x)的最小正周期及单调增区间. 思维引导思维引导(1) 根据sin求出cos,即可求出f()的值;(2) 先将函数转化 为f(x)=Asin(x+)的形式,然后再求出周期和单调区间. 解答解答方法一:(1) 因为02 ,sin= 2 2 , 所以cos= 2 2 , 所以f()= 2 2 22 22 - 1 2= 1 2. (2) 因为f(x)=sinxcosx+cos 2x- 1 2 = 1 2sin2x+ 12 2 cos x - 1 2 = 1 2sin2x+ 1 2cos2x = 2 2 sin 2 4 x , 所以T= 2 2 =. 由2k-2 2x+4 2k+2 ,kZ Z, 得k- 3 8 . xk+8 ,kZ Z. 所以f(x)的单调增区间为 3 -, 88 kk ,kZ Z. 方法二:f(x)=sinxcosx+cos 2x- 1 2 = 1 2sin2x+ 12 2 cos x - 1 2 = 1 2sin2x+ 1 2cos2x = 2 2 sin 2 4 x . (1) 因为02 ,sin= 2 2 ,所以=4 , 从而f()= 2 2 sin 2 4 = 2 2 sin 3 4 = 1 2. (2) T= 2 2 =. 由-2 2x+4 2k+2 ,kZ Z,得k- 3 8 xk+8 ,kZ Z. 所以f(x)的单调增区间为 3 -, 88 kk ,kZ Z. 精要点评精要点评一般地,此类问题需要把较为复杂的三角函数形式都化为 f(x)=Asin(x+)+C的形式,然后再求周期、 最值或是单调区间等.其中周期T= 2 | | , 单调区间与相应正弦(或余弦、 正切)函数的性质有关,求最值时可借助三角函数的图 象. 【题组强化重点突破】 【题组强化重点突破】 1. (2014 南通期末)将函数f(x)=sin(2x+)(0)的图象上所有点向右平移6 个单位长度后得到的图象关于原点对称,则= . 答案答案3 解析 解析函数f(x)=sin(2x+)的图象上所有点向右平移6 个单位长度后得到函数 g(x)=sin 2 - 3 x 的图象,由题意得g(0)=0,所以-3 =k,即=k+3 (kZ Z), 又因为00)和g(x)=2cos(2x+ )(0)的图象的对称轴完全相同,那么g 3 的值是 . 答案答案-2 解 析 解 析 由 两 函 数 的 图 象 的 对 称 轴 完 全 相 同 知 周 期 必 须 相 同 , 所 以 =2,f(x)=3sin 2 - 6 x 图象的一条对称轴为x=3 ,所以cos 2 3 =1(00)的最小正周期为2,所以 2 2 =2, = 2 ,所以f(x)=2sin（x- 4 ）,由2k- 2 x- 4 2k+ 2 ,得2k- 1 4x 2k+ 3 4 (kZ).当k=0时,- 1 4 x 3 4 ,即函数f(x)在-1,1上的单调增区间为 1 3 -, 4 4 . 4. 设函数f(x)= 2 2 cos 2 4 x +sin2x. (1) 求函数f(x)的最小正周期; (2) 设函数g(x)对任意的xR R,有g 2 x =g(x),且当x 0, 2 时,g(x)= 1 2-f(x), 求函数g(x)在-,0上的解析式. 解答解答f(x)= 2 2 cos 2 4 x +sin2x = 1 2cos2x- 1 2sin2x+ 1 2(1-cos2x) = 1 2- 1 2sin2x. (1) 函数f(x)的最小正周期T= 2 2 =. (2) 当x 0, 2 时,g(x)= 1 2-f(x)= 1 2sin2x. 当x -,0 2 时,x+2 0, 2 ,g(x)=g 2 x = 1 2sin 2 2 x =- 1 2sin2x. 当x - ,- 2 时,x+ 0, 2 , g(x)=g(x+)= 1 2sin2(x+)= 1 2sin2x. 综上,g(x)= 1 -2 ,-0, 22 1 2 ,-. 22 sin xx sin xx 已知函数f(x)=2cos2 x （ 3cos2 x -sin2 x ）. (1) 设 -, 2 2 ,且f()=3+1,求的值; (2) 在ABC中,AB=1,f(C)= 3+1,且ABC的面积为 3 2 ,求sin A+sin B的值. 规 范 答 题 规 范 答 题 (1) f(x)=2 3 cos 2 2 x -2sin 2 x cos 2 x = 3 (1+cos x)-sin x=2cos 6 x +3. (3分) 由2cos 6 x +3=3+1,得cos 6 x = 1 2. (5分) 于是x+6 =2k3 (kZ Z),因为x -, 2 2 , 所以x=-2 或6 . (7分) (2) 因为C(0,),由(1)知C=6 . (9分) 在ABC中,设角A,B的对边分别是a,b. 因为ABC的面积为 3 2 ,所以 3 2 = 1 2absin6 , 于是ab=2 3. 由余弦定理,得1=a 2+b2-2abcos 6 =a 2+b2-6, 所以a 2+b2=7. 由可得 2, 3 a b 或 3, 2. a b 于是a+b=2+ 3. (12分) 由正弦定理,得 a sinA = sinB b = 1 sinC = 1 2, 所以sin A+sin B= 1 2(a+b)=1+ 3 2 . (14分) 1. 函数y=|sin x|的单调增区间为 . 答案答案 , 2 kk (kZ Z) 解析解析作出y=|sin x|的图象,由图象可知,单调增区间为 , 2 kk (kZ Z). 2. 函数y=2sin 2x-3sin 2x的最大值是 . 答案答案 10 +1 解析解析y=1-cos 2x-3sin 2x=- 10 sin(2x+)+1,所以函数