山东数学备选题

山东省2008年高考数学备选题设集合A=1, 0, 1，集合B=0, 1, 2, 3，定义AB=(x, y)| xAB, yAB，则AB中元素个数是（）A.7B.10C.25D.52【标准答案】解：AB= 0, 1，AB 1, 0, 1, 2, 3，x有2种取法, y有5种取法由乘法原理得25=10，故选B。设全集UR，集合，则等于（）A2 BC| ，或3D或【标准答案】已知 ，且非p是非q的充分条件，则a的取值范围为（ ） A. -1a0. x=. x2，x2+15，y=log5(x2+1)1.函数f (x)=log5(x2+1), x2, +的反函数是g (x)=（ x1）。 故选D.解法二： x2，x2+15，原函数y=log5(x2+1)1.由原函数和反函数中x， y的对应关系知反函数中的x1，排除A、 C，而B中 y=2, 排除B. 故选D. 解法三：原函数f (x)=log5(x2+1)经过点(2，1)，反函数y=g (x)经过点(1，2)，以 (1，2)点代入排除A、 B，又原函数中y1，从而反函数中x1，排除 C，故选D. 若函数y=log2|ax1|的图象的对称轴为x=2，则非零实数a的值是（）A.2B.2C.D. 【标准答案】解：y=log2|ax1|=log2(|a|x|)=log2|x|+ log2|a|，y=log2|ax1|的图象可由y=log2|x|平移得到，而y=log2|x|的图象的对称轴为x=0， y=log2|ax1|的图象的对称轴为x=，如图. oxyx=0oxyx=2，得a=. 故选C.已知函数的图象如图所示,那么 ( )A. B C. D. 【标准答案】，由函数图象的走向可知，单调性是先增后减再增，因此导函数的值应该是随由小到大，先正后负再为正，因此，从函数图象可以确定函数有两个极值点，易知方程有相异的两个实数根且负根的绝对值大，由根与系数的关系可判定，故选B.说明：本题难度较大，综合性强，如何从图中得出极点及单调性的特点是解决本题的关键，同时又要运用二次函数的性质解题，对一元二次方程根与系数的关系也进行了考查.由单调性开口方向,由极值点得方程的根,由方程的根再判定字母的取值,从中也体现出对学生的思维品质有较高的要求已知函数则的值为（ ）A10 B-10 C-20 D20【标准答案】，.故选C说明：解答本题要深刻理解导数的定义,掌握概念形式,看似求极限,实则求导数,如何在极限与导数之间建立起联系是解决本题的关键，导数是特殊情况下的极限，这一基本常识容易被学生忽略，从中也体现出对学生基本素质的考查.已知是定义（-3,3）在上的偶函数，当0x3时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 （ ）A. B.C. D.【标准答案】答案：A.由已知在图像我们可以得到在（3，3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到答案某中学生为了能观看2008年奥运会，从2001年起，每年2月1日到银行将自己积攒的零用钱存入元定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回钱的总数（元）为 （ ）A B C D 【标准答案】D。预测试题11等差数列an的前n项和为Sn，若S17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（ ） Aa2 + a15Ba2a15Ca2 + a9 +a16Da2a9a16【标准答案】 =为一确定常数， + 为一确定常数，又+ = + = 2，+ 及为一确定常数，故选C。说明：本题是一道基础题，若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用等差数列的性质+ =+ ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单。记二项式（1+2x）n展开式的各项系数和为an，其二项式系数和为bn，则等于（ ） A1B1C0D不存在【标准答案】由题意得，于是，。选B。给定（），定义使乘积为整数的（）叫做理想数，则区间内的所有理想数的和为 ( ) A B C D【标准答案】选B 。，=，在区间的有，其和为。已知双曲线E的离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，抛物线C以F2为顶点，F1为焦点,点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF2|c|PF1|8a2，则e的值为 ( )A.B. 3C. D. xyOPlR【标准答案】解析:如右图所示,设点P的坐标为(x0,y0),由抛物线以F2为顶点,F1为焦点,可得其准线的方程为x3c, 根据抛物线的定义可得|PF1|PR|3cx0,又由点P为双曲线上的点,根据双曲线的第二定义可得e, 即得|PF2|ex0a, 由已知a|PF2|c|PF1|8a2，可得a23c28a2,即e23,由e1可得e, 故应选A.说明：本题难度中等偏难，且很有新意，一般地说，学生在处理圆锥曲线问题时，习惯于单一的思维，当需要同时考虑两条(或两条以上)圆锥曲线性质的综合应用时，往往有些不知所措，从中也体现出对学生的思维品质有较高的要求。 在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（ ）A B C D【标准答案】设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为，圆柱的体积为V= (0hC. = D. =【标准答案】ABCO作出图形， 如图，数量积的意义是实数作差比大小，-=，由直角三角形C中为直角，则0，故；同理 -=0，则。故,应选A。说明：向量的数量积为实数可转化为实数大小的问题，作差借助减法的运算又化归数量积判断，借助几何条件判断数量积符号，充分显示了数量积的本质属性，为向量和实数的相互转化提供了方法和依据。23. 已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为L，若在L上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是 （ ）A B C D 【标准答案】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM的垂直平分线经过点F，则利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距离），则有 2，选A。说明：离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建。利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。24A1B1D1ABC1EMFCD. 在棱长为1的正方体ABCD-ABCD的底面ABCD内取一点E,使AE与AB、AD所成的角都是60,则线段AE的长为（ ） A. B. C. D.【标准答案】由EAB=EAD，则E点必在A1C上，且E 在面A1C上的射影在AC上为F， 如图， cosFAM=， cosBAE=cos60=， cosFAE= cosAEA= =,则AEA=45， AEA为等腰直角三角形，故AE=。25. 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量描述一次该项试验的成功次数，则等于 （ ） A0 B C D 【标准答案】1-=2，即=26. 若展开式中含项的系数为560，则n等于( ) A. 4 B. 6 C. 7D. 10【标准答案】的展开式通项为：， n3r =2，2n-r(1)rCnr=60，分别以A,B,C,D答案代入检验可得n=7满足，故选C。27. 2008年北京奥运会足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次。 A.53 B.52 C.51 D.50【标准答案】六个小组每小组4个队, 进行单循环赛的比赛场次一共有6,16个队进行淘汰赛比赛场次一共有确定冠亚军一共需比赛场次,故选C. 28. 已知a、b、c是两两异面的三条直线，它们有同一公垂线d，若a、b、c两两所成的角均为，则的值为 （ ） A. B. C. D.无法确定【标准答案】由于a、b、c有同一公垂线d，作一平面，使得d，则a、b、c可平移至交于一点且在内，由于它们所成的角相等，在同一平面内为120o，注意异面直线所成角的范围，所以=。故应选B.说明：本题利用异面直线所成角的定义，将直线进行平移，达到空间问题平面化的目的，解题时注意所求角的范围是。29. 等腰直角三角板的直角顶点与桌面接触，两直角边都与桌面成角，则三角板所在平面与桌面所成锐二面角为（ ）A B C D AA【标准答案】答案选B。此题关键是抓住二面角求法的第一步：找出题干里的二面角的平面角所在，也就是我们要灵活的把三角板与桌面的交线转移到与之平行的三角板的斜边上。 30. 值域为2,5,10，其对应关系为的函数的个数 （ ）A . 1 B. 27 C. 39 D. 8【标准答案】解析：分别由解得由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：取三个元素：有C21种取四个元素:先从三组中选取一组再从剩下的两组中选两个元素，故共有种；取五个元素：6种；取六个元素：1种。由分类计数原理，共有8126127种。说明：本题难度并不大，但很有创意，已知定义域求值域或知值域求解集的试题很常见，但知值域求函数的个数的题还不多见。在四个元素的选取中常出现的错误是先从三组中每组取一个再从剩下的三个元素中取一个故共有种误选C。另外，对函数的概念理解不清，也容易误选A或D 。非选择题1. 如果随机变量N (),且P（）=0.4，则P（）= 【标准答案】解析：如果随机变量N (),且P（）=0.4， P（）=， P（）=。2. 已知集合为，它的所有的三个元素的子集的和是，则 。【标准答案】解：因为包含了任意一个元素的三元素集合共个，所以在中，每个元素都出现了次，所以，所以。3. 已知实数、满足，则3的最大值是 .【标准答案】oxyP(2, 1)4x+y-9=0x- y -1=0l:x-3y=0123l1作出不等式组表示的平面区域如图：作直线l: x3y=0, 平移直线l，当直线l经过4x+y9=0与xy1=0的交点P(2, 1)时，目标函数z=x3y取得最大值z=231=1,x3y的最大值为1.说明：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分在确定可行域时，一定要准确描述二元一次不等式所表示的平面区域（包括边界问题），即保证可行域的准确性. 4.给出下列命题中 向量满足，则的夹角为； 0，是的夹角为锐角的充要条件； 将函数y =的图象按向量=(1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =； 若，则为等腰三角形；以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）【标准答案】利用向量的有关概念，逐个进行判断切入，对于 取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确；对取特值夹角为直角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为0，是的夹角为锐角的必要条件；对于，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，结论正确；对于；向量的数量积满足分配率运算，结论正确；5. 对于三次函数。定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称。己知，请回答下列问题：（1）求函数的“拐点”的坐标（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）【标准答案】（1）依题意，得： ， 。2分 由 ，即。，又 ， 的“拐点”坐标是。4分 （2）由(1)知“拐点”坐标是。 而= =，由定义(2)知：关于点对称。8分一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。10分（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）都可以给分（3）或写出一个具体的函数,如或。12分说明：本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的预测性，而且设问的方式具有较大的开放性，情景新颖.解题的关键是：深刻理解函数“拐点”的定义和函数图像的对称中心的意义。其本质是：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且任何一个三次函数的拐点就是它的对称中心，即。6. 已知函数f (x)=x3+ ax2bx (a, bR) .(1)若y=f (x)图象上的点(1，)处的切线斜率为4，求y=f (x)的极大值；(2)若y=f (x)在区间1，2上是单调减函数，求a + b的最小值.【标准答案】解：(1)f (x)=x2+2axb , 由题意可知：f (1)=4且f (1)= , 解得：3分 f (x)=x3x23x。f (x)=x22x3=（x+1）（x3）.令f (x)=0，得x1=1，x2=3，由此可知：x(,1)1(1, 3)3(3, +)f (x)+00+f (x)f (x)极大5/3f (x) 极小Oxy12 当x=1时, f (x)取极大值. 6分(2) y=f (x)在区间1，2上是单调减函数，f (x)=x2+2axb0在区间1，2上恒成立.根据二次函数图象可知f (1)0且f (2)0，即：oabP(, 2)4a-b+4=02a+b-1=0z=a+b-224也即9分作出不等式组表示的平面区域如图：当直线z=a+b经过交点P(, 2)时，z=a+b取得最小值z=+2=,z=a+b取得最小值为12分7.已知 函数f(x)=的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。（1）求m , n的值；（2）试用单调性的定义证明：f (x) 在区间-2, 2 上是单调函数；（3）当-2x2 时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。【标准答案】(1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x) f(x)在-2,2上是减函数。（3）由（2）知f(x)在-2,2上是减函数，则-2时,故-2不等式f(x)恒成立，8.已知A、B、C是直线l上的三点，向量，。满足：y2f /(1)ln(x1)0.（1）求函数yf(x)的表达式；（2）若x0，证明：f(x)；（3）若不等式x2f(x2)m22bm3时，x1，1及b1，1都恒成立，求实数m的取值范围【标准答案】(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三点共线即y2f /(1)ln(x1)1yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1) 4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数故g(x)g(0)0 即f(x) 。 12分（3）原不等式等价于x2f(x2)m22bm3。令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x 当x1，1时，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，则解得m3或m3 。 12分9.已知集合其中为正常数（I）设，求的取值范围（II）求证：当时不等式对任意恒成立；（III）求使不等式对任意恒成立的的范围【标准答案】（I），当且仅当时等号成立，故的取值范围为（3分）（II） 变形，得. （5分）由，又，在上是增函数，所以即当时不等式成立 （9分）（III）令，则，即求使对恒成立的的范围（10分）由（II）知，要使对任意恒成立，必有，因此，函数在上递减，在上递增， 要使函数在上恒有，必有，即，解得（14分）说明：二元不等式求最值这是考试大纲的要求，不等式恒成立变形转化为函数值之间的关系，变形换元化归基本的初等函数的复合函数，构造函数的单调性解决，这是函数的一个重要应用，考查了正比例和反比例函数的性质，最后一问的恒成立问题换元后，分离参数化归对号函数单调性解决值域，再构建不等式解参数范围，这是高考命题的热点。10. 已知是数列的前项和，(1)分别计算的值；(2)证明：当1时，并指出等号成立条件；(3)利用（2）的结论，找出一个适当的N，使得2008；(4)是否存在关于正整数的函数，使得对于大于1的正整数都成立？证明你的结论。【标准答案】(1)， ， 。 2分(2)当1时，(共2n1项)2n1，当且仅当1时，等号成立。 4分(3)由于1，当1时，于是，要使得ST2008，只需2007。将按照第一组21项，第二组22项，第组项的方式分组，6分由(2)可知，每一组的和不小于，且只有1时等于，将这样的分组连续取22007组，加上a1，共有24015项，这24015项之和一定大于120072008，故只需取24015,就能使得2008； 8分(注：只要取出的不小于24015，并说出相应理由，都给满分)(4)设这样的存在，2时，有1，3时，有，猜测 (2).下面用数学归纳法证明：2,3时，上面已证，猜测正确；设 (2)时，即成立则即时，猜测也正确。综上所述，存在，使得对于大于1的正整数都成立。 12分11. 已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，数列中，点在直线上。求和的值；求数列的通项和； 设，求数列的前n项和。【标准答案】（1）是与2的等差中项，。 1分 3分（2） 。 a12，。 6分。 8分（3） 10分。因此：， 12分即：，。 14分12.在ABC中角A、B、C的对边分别为设向量(1) 求的取值范围;（2）若试确定实数的取值范围.【标准答案】解：因为所以，-1分由正弦定理，得，即-2分又所以即.-3分(1)= -4分因此的取值范围是-6分 (2)若则,由正弦定理，得-8分 设=,则, 所以-10分即所以实数的取值范围为.-12分13. 已知曲线；（1）由曲线上任一点向轴作垂线，垂足为，点分所成的比为。问：点的轨迹可能是圆吗？请说明理由；（2）如果直线的斜率为，且过点，直线交曲线于，两点，又，求曲线的方程。【标准答案】（1），。 3分。 6分（2）、， 。， 。 10分 、， 。，。 14 分14.C11B1A1AAAA1CBAD正三棱柱-的底面边长为4，侧棱长为4，为 A1的中点，（1）求与所成的角；（2）求二面角的大小；（3）求三棱锥的体积。【标准答案】作CEAB，AEBC，CE与AE交于E，则DCE是AB与CD所成角，AA1平面ABC，ACD和AED都是直角三角形，由勾股定理可求得CD=ED=，C1B1A1CBADEFOMM1H由余弦定理可求得cosECD=，则ECD=arccos 。 (4分)（2）面ACC1A1面ABC，交线为AC，作BFAC于F，则BF面ACC1A1。作FOCD于O，连BO，由三垂线定理知，BOCD，则BOF是二面角B-CD-A的平面角。由COFCAD可求得OF=。正三角形ABC中，BF=，在BFO中，可求得tanBOF=，BOF=arctan 。 (8分) （3）可证B1C1平面BCD，取B1C1中点M1，则C1 、M1与平面BCD距离相等，取BC中点M，连AM、M1M、M1 A1，可证面AMM1A1面BCD，作M1HMD于H，则M1H面BCD，可求得DMA=，M1MD=，M1H=4si