湖北华师一附中高中数学《2.2.2平面与平面平行的判定及其性质》教案pdf新人教A必修2

高中数学教案（新课标）第二章 空间点,线,面的位置关系（2.2 第 2 课时） 第二章 空间点,线,面的位置关系（2.2 第 2 课时）1 课课题题：2.22.22.22.2直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 教学内容：教学内容：2.2.2平面与平面平行的判定 教学目的：教学目的：理解和掌握平面与平面平行的判定定理. 教学重点：教学重点：平面与平面平行的判定定理的应用. 教学难点：教学难点：平面与平面平行的判定定理的应用. 教学过程：教学过程： 一、课前复习一、课前复习 两个平面的位置关系: 两个平面平行: 如果两个平面没有公共点， 我们就说这两个平面互相平行 平面和平行， 记作/。 两个平面相交:如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交 二、讲解新课二、讲解新课 提出问题提出问题 引入新课引入新课 知识点知识点 1 1 1 1平行平面的判定定理平行平面的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行 推理模式： ：a，b，abP=，/a，/b/ 证：证：这个定理从正面证(用定义)比较困难,所以考虑用反证法. 假设c=，a，/a，/ac，同理/bc即在平面内过 点P有两条直线与c平行，与公理 4 矛盾，假设不成立，/ 推论推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互 相平行 推理模式：, /, /abP ababP abaa bb= 三、典例解析三、典例解析 例例 1 1 1 1已知 a、b 是异面直线，a,a,b,b。求证：. 证：证：过 a 作任一平面和平面交于 a,aaa. 又 a,a。a且 a与 b 相交，b，b. . 方法二：设 c 是异面直线 a、b 的公垂线，则过 a、c 可以确定一个平面，设a。 ，aa。ca,ca又cb,a,b 相交，c，同理可证：c。 例例 2 2 2 2如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F 分别是棱 A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的 中点，求证：平面 AMN平面 EFBD。 解解：如图所示：连接 MN。M、N 是 A1B1、C1D1的中点，四边形 A1B1C1D1为 正方形，四边形 AMFD 是平行四边形，AMDF。DF平面 EFDB，AM平 面 EFDB，AM平面 EFDB。同理，AN平面 EFDB。又 AM、AN平面 AMN， AMAN=A，平面 AMN平面 EFDB。 例例 3 3 3 3已知正方体 ABCDA1B1C1D1，求证： (1) 平面 AB1D1平面 C1BD；(2) 对角线 A1C 被平面 AB1D1和平面 C1BD 三等分. 证：证：(1)连 AC，BDAC，AC 是 A1C 在底面上的射影，由三条垂线定理得 A1CBD，同理可证 A1CBC1. A1C平面 C1BD，同理也能证得 A1C平面 AB1D1.平面 AB1D1平面 C1BD. c P b a 高中数学教案（新课标）第二章 空间点,线,面的位置关系（2.2 第 2 课时） 第二章 空间点,线,面的位置关系（2.2 第 2 课时）2 (2) 设A1到平面AB1D1的距离为h， 正方体的棱长为a， 则有： 3 1 h 4 3 (2a)2 3 1 a 2 1 a2.h 3 3 a. 同理 C 到平面 C1BD 的距离也为 3 3 a，而 A1C3a.故 A1C 被两平行平面三等分. 例例 4 4 4 4在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点， (1) 求证：平面AMN平面EFDB； (2) 问平面AMN到平面EFDB的距离是多少？ 证：证：(1) 连结MF，M、F是A1B1、C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，MFA1D1， 且MFA1D1，又A1D1AD，且A1D1AD。MFA1D1，且MFA1D1，四边形AMFD是平行四边 形。AMDF，DF平面EFDB，AM平面EFDB。AM平面EFDB 同理，AN平面EFDB，又AM、AN平面AMN，AMANA，平面AMN平面EFDB (2) 设棱BB1与CC1的中点为Q和P，连结A1Q，A1P。PQBC，BC平面ABB1A1。PQ平 面ABB1A1. M为A1B1的中点，AMA1Q，A1PAM，同理A1PAN，又AM、AN平面AMN， AMANA。A1P平面AMN，由(1)知，平面AMN平面EFDB，A1P平面EFDB。 设A1P与这两个平行平面分别相交于O1和O2，则O1O2的长度为两个平行平面之间的距离。 连结A1C1与NM、EF分别相交于点A2、A3；连结AC与BD相交于A4，则四边形AA2A3A4是平行四 边形。 在 RtAA1A2中，AA11，A1A2 4 2 ，AA2 4 23 ； 在平行四边形AA2A3A4中，O1O2AA2AA1AA4，AA4 2 2 。O1O2 3 2 四、课堂练习四、课堂练习 1 1 1 1在棱长为 2 cm 的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点为P，问过点A1作与截面PBC1平行的截 面也是三角形吗？并求截面的面积 解解： 取AB的中点M，C1D1的中点N， 连结A1M、A1N、CM、CN。A1NPC1MC，A1NPC1MC， 四边形A1MCN是平行四边形。A1NPC1，A1N平面PBC1，A1N平面PBC1。同理，A1M平 面PBC1。平面A1MCN平面PBC1。而过A1点有且只有一个平面与平面PBC1平行过A1作与截 面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN，而不是三角形 A1D1NA1AM，A1NA1M。平行四边形A1MCN是菱形，对角线NM22cm，对角线 A1C23cm, MCNA S 1 2 1 MNA1C 2 1 222326(cm2)。 2 2 2 2已知：如图，异面直线 AB、CD 和平面、分别交于 A、B、C、D 四点，E、F、G、H 分别 是 AB、BC、CD、DA 的中点，求证： (1) E、F、G、H 共面；(2) 面 EFGH平面. 证：证：(1) E、H 分别是 AB、DA 的中点，EH 2 1 BD.同理 FG 2 1 BD. FGEH.四边形 EFGH 是平行四边形，即 E、F、H、G 共面. (2) 平面 ABD 和平面有一个公共点 A，设两平面交于过点 A 的直线 AD， ， ADBD.又BDEH， EHBDAD.EH平面， EH平面。 同理 EF平面， EF 平面. 平面 EFHG平面平面. 五、备选习题五、备选习题 1 1 1 1夹在两个平行平面间的两条平行线段相等 高中数学教案（新课标）第二章 空间点,线,面的位置关系（2.2 第 2 课时） 第二章 空间点,线,面的位置关系（2.2 第 2 课时）3 已知：/，,AB CD是夹在两个平行平面, 间的平行线段，求证：ABCD= 证：证：/ABCD，,AB CD确定平面AC，平面ACAD=，平面ACBC=， /ADBC，四边形ABCD是平行四边形ABCD= 2 2 2 2已知直线a、b异面,平面过a且平行于b,平面过b且平行于a,求证: 证证: : : : 过a作平面,使a=，a,a,a=,aa， 又a ,a,a且b，又a、b异面,a与b必相交,. 3 3 3 3 若/，/，则/ 证：证：在平面内取两条相交直线,a b，分别过,a b作平面, ，使它们分别 与平面交于两相交直线,a b，/，/, /aa bb，又/， 同理在平面内存在两相交直线,ab，使得/,/aabb，/, /aabb，/ 4 4 4 4点P是ABC所在平面外的一点，A1、B1、C1分别是PBC、PCA、PAB的重心. (1) 求证：平面ABC平面A1B1C1；(2) 求A1B1AB 证证：(1) 连结PA1、PB1、PC1并延长，分别交BC、AC、AB于点N、Q、MA1、B1、C1是重心。 M、N、Q分别是AB、BC、CA的中点PC1PMPA1PNPB1PQ23 在PMN中， 3 2 11 = PN PA PM PC 。C1A1MN，M、N是ABC的边AB、BC的中点。MNAC。 A1C1AC。A1C1平面ABC。同理A1B1平面ABC，平面A1B1C1平面ABC (2) 由(1)可知 3 2 11 = QN BA ， AB QN 2 1 。 3 1 11 = AB BA 。 5 5 5 5如图，已知直线 a平面；求证：过 a 有且只有一个平面平行于. 证：证：(1) 存在性：设过 a 的平面与交于 a，a，aa.在上，设直线 baA,在 a 上取点 A，A 与 b确定平面。在上过 A 作 bb.则 a、b 是相交直线(若重合，则显然 ba，矛盾).a,b 确定 平面，则. (2) 唯一性：设过 a 还有一个平面，与有公共点 A，与相交于过 A 的直线 b，又a， b，bb,bb,而 b与 b 都过点 A，故重合，故与重合. 6 6 6 6 正四棱锥 SABCD 的底面积长为 a， 侧棱长为 2a， 点 P、 Q 分别在 BD 和 SC 上， 并且 BPPD12， PQ平面 SAD，求线段 PQ 的长. 解：解：作 PMAD 交 CD 于 M 连 QM，PM平面 SAD，PQ平面 SAD. 平面PQM平面SAD， 而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM， SD.QMSD. BCa,SD2a. PD BP 2 1 . BC MP BD PD 3 2 ,MP 3 2 a, SD MQ CD MC BD BP 3 1 .MQ 3 1 SD 3 2