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第二讲 三角变换与解三角形一、三角变换与求值例1、 分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少； （3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现： （1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有、2、2，（需要把2化为，2化为）； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。 解法一： 解法二：（从“名”入手，异名化同名） 解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 注在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。二、正弦定理、余弦定理的运用例2、已知ABC的三个内角A、BC成等差数列，其外接圆半径为1，且有。（1）求A、BC的大小；（2）求ABC的的面积。解析：A+B+C=180且2B=A+C，B=60，A+C=120，C=120A。，=， 又0A180，A=60或A=105，当A=60时，B=60，C=60，当A=105时，B=60，C=15，点评：要善于借助三角形内的部分变形条件，同时兼顾三角形的面积公式求得结果。例3、在ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和ABC的面积.解法一：sinA+cosA=cos（A45）=，cos（A45）=.又0A180，A45=60，A=105.tanA=tan（45+60）=2.sinA=sin105=sin（45+60）=sin45cos60+cos45sin60=.SABC=ACABsinA=23=（+）.解法二：sinA+cosA=，（sinA+cosA）2=.2sinAcosA=.0A180，sinA0，cosA0.90A180.（sinAcosA）2=12sinAcosA=，sinAcosA=.+得sinA=.得cosA=.tanA=2.（以下同解法一）三、 解三角形应用举例例4、如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）（1）试将AGM、AGN的面积表示为a的函数（分别记为S1与S2）；（2）求y的最大值与最小值。解析：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG，MAG，由正弦定理得，则S1GMGAsina。同理可求得S2。（2）y72（3cot
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