湖北荆门外高数学一轮检测第8章平面解析几何4855pdf

第八章平面解析几何第八章平面解析几何 课时作业课时作业 48直线的倾斜角与斜率、直线方程直线的倾斜角与斜率、直线方程 一、选择题 1直线 xtan 3y20 的倾斜角是( ) A. 3 B. 6 C.2 3 D 3 解析： 由已知可得 tantan 3 3， 因0， )， 所以 2 3 ， 故选 C. 答案：C 2已知 A(3,4)，B(1,0)，则过 AB 的中点且倾斜角为 120的直 线方程是() A. 3xy2 30B. 3xy12 30 C. 3xy2 30D. 3x3y6 30 解析：由题意可知 A、B 两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的 斜率 ktan120 3 直线方程为 y2 3(x1)，即3xy2 30. 答案：C 3直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的 值是() A1B1 C2 或1D2 或 1 解析：由题意，知 a0，令 x0，得 y2a；令 y0，得 x a2 a ，故 2aa2 a ，解得 a2 或 a1. 答案：D 4如图所示，直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则() Ak1k2k3 Bk3k1k2 Ck3k2k1 Dk1k30 且 a1)，当 x1，方程 y ax1 a表示的直线是( ) 解析：由已知得，01)，则直线 MN 的方程为(4x04)(x6)(x0 6)(y4)0.令 y0 得 x 5x0 x01，所以 S 1 2| 5x0 x014x 0|10 x2 0 x01 10x0112 x01 10(x01) 1 x01 210 2x01 1 x012 40.当且仅当 x01 1 x01即 x 02 时取等号，所以当 N 为(2,8)时， 三角形面积 S 最小 课时作业课时作业 49直线的交点与距离公式直线的交点与距离公式 一、选择题 1已知直线 l1：x(a2)y20，l2：(a2)xay10，则 “a1”是“l1l2的”() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：l1l2的充要条件为(a2)a(a2)0 解得 a1 或 a2，故“a1”是 l1l2的充分不必要条件， 故选 A. 答案：A 2已知直线 l1：y2x3，直线 l2与 l1关于直线 yx 对称， 则直线 l2的斜率为() A.1 2 B1 2 C2D2 解析：l2，l1关于 yx 对称， l2的方程为x2y3.即 y1 2x 3 2. l2的斜率为1 2. 答案：A 3P 点在直线 3xy50 上，且 P 到直线 xy10 的距离 为 2，则 P 点坐标为() A(1,2)B(2,1) C(1,2)或(2，1)D(2,1)或(1,2) 解析：设 P(x,53x)，则 d|x53x1| 1212 2，|4x6|2,4x6 2，x1 或 x2，P(1,2)或(2，1) 答案：C 4直线 x2y10 关于直线 yx1 对称的直线方程是() A2xy20B3xy30 C2xy20Dx2y10 解析：设所求直线上任一点的坐标为(x1，y1)，它关于 yx1 对 称点的坐标为(x0，y0)，则 y1y0 x1x01 y1y0 2 x1x0 2 1 ，得对称点的坐标为 (y11，x11)，且点(y11，x11)在直线 x2y10 上，所以 y1 12(x11)10，化简得 2x1y120，故选 A. 答案：A 5 已知平面内两点 A(1,2)， B(3,1)到直线 l 的距离分别是 2， 5 2，则满足条件的直线 l 的条数为() A1B2 C3D4 解析： 由题知满足题意的直线 l 在线段 AB 两侧各有 1 条， 又因为 |AB| 5，所以还有 1 条为过线段 AB 上的一点且与 AB 垂直的直线， 故共 3 条 答案：C 6已知点 A(0,2)，B(2,0)若点 C 在函数 yx2的图象上，则使 得ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为() A4B3 C2D1 解析：设点 C(t，t2)，直线 AB 的方程是 xy20，|AB|2 2， 且 SABC2. 则ABC 中 AB 边上的高 h 满足方程1 22 2h2， 即 h 2. 由点到直线的距离公式得 2|tt 22| 2 . t2t22 或者 t2t22， 这两个方程各自有两个不相等 的实数根，故这样的点 C 有 4 个 答案：A 二、填空题 7过两直线 7x5y240 与 xy0 的交点，且与点 P(5,1)的 距离为 10的直线的方程为_ 解析：设所求的直线方程为 7x5y24(xy)0，即(7)x (5)y240. |75524| 7252 10，解得11. 故所求直线方程为 3xy40. 答案：3xy40 8已知实数 x、y 满足 2xy50，那么 x2y2的最小值为 _ 解析： x2y2表示点(x， y)到原点的距离 根据数形结合得 x2y2 的最小值为原点到直线 2xy50 的距离，即 d 5 5 5. 答案： 5 9已知1 a 1 b1(a0，b0)，点(0，b)到直线 x2ya0 的距离 的最小值为_ 解析： 点(0， b)到直线 x2ya0 的距离 da2b 5 1 5(a2b)( 1 a 1 b) 1 5(3 2b a a b) 1 5(32 2) 3 52 10 5 . 当 a22b2且 abab，即 a1 2，b2 2 2 时取等号 答案：3 52 10 5 三、解答题 10已知直线 l1：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk 1 20，分别求满足下列条件的 k 的值： (1)l1，l2，l3相交于一点； (2)l1，l2，l3围成三角形 解：(1)直线 l1，l2的方程联立得 2x3y80， xy10， 解得 x1， y2， 即直线 l1，l2的交点为 P(1，2) 又点 P 在直线 l3上， 所以12kk1 20，解得 k 1 2. (2)由(1)知 k1 2. 当直线 l3与 l1，l2均相交时，有 2k30， k10， 解得 k3 2且 k1， 综上可得 k1 2，且 k 3 2，且 k1. 11光线从 A(4，2)点射出，到直线 yx 上的 B 点后被直线 yx 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(1,6)，求 BC 所在的直线方程 解： 作出草图，如图所示，设 A 关于直线 yx 的对称点为 A，D 关 于 y 轴的对称点为 D，则易得 A(2，4)，D(1,6)由入射角 等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与 C. 故 BC 所在的直线方程为y6 64 x1 12，即 10 x3y80. 1若动点 A、B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上 移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为() A3 2B2 2 C3 3D4 2 解析：依题意知 AB 的中点 M 的集合为与直线 l1：xy70 和 l2：xy50 距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原 点到该直线的距离，设点 M 所在直线的方程为 xym0，根据平 行线间的距离公式得|m7| 2 |m5| 2 |m7|m5|m6，即 x y60，根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值 为|6| 2 3 2. 答案：A 2已知 00， 32a0， 解之得 a3 或 1a0，即 a2. 因为圆关于直线 yx2b 对称，所以圆心在直线 yx2b 上， 即312b，解得 b2，所以 ab0)，则圆心(2,2)到直线 xy10 的距离为 r，得 r3 2 2 ，故 圆 C 的方程为(x2)2(y2)29 2. 答案：(x2)2(y2)29 2 8圆 C1的方程为(x3)2y2 4 25，圆 C 2的方程为(x3cos)2 (ysin)2 1 25(R)，过 C 2上任意一点 P 作圆 C1的两条切线 PM、 PN，切点分别为 M、N，则MPN 的最大值为_ 解析：圆 C2的圆心的轨迹方程是(x3)2y21，当MPN 取最 大值时，P 点与圆 C1的圆心之间的距离最小，此时 dmin4 5，r 12 5， 所以MPN 的最大值为 3. 答案： 3 9已知直线2axby1(a，b 是实数)与圆 O：x2y21(O 是 坐标原点)相交于 A，B 两点，且AOB 是直角三角形，点 P(a，b)是 以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意一点，则圆 M 的面积的最小值为 _ 解析：因为直线与圆 O 相交所得AOB 是直角三角形，可知 AOB90，所以圆心 O 到直线的距离为 1 2a2b2 2 2 ，所以 a21 1 2b 20， 即 2b 2.设圆 M 的半径为 r， 则 r|PM| a2b12 1 2b 22b2 2 2 (2b)，又 2b 2，所以 21|PM| 2 1，所以圆 M 的面积的最小值为(32 2). 答案：(32 2) 三、解答题 10 已知ABC 的顶点坐标分别为 A(1,5)， B(2， 1)， C(4,3)， M 是 BC 的中点 (1)求 AB 边所在直线的方程 (2)求以线段 AM 为直径的圆的方程 解：(1)因为 A(1,5)，B(2，1)，所以由两点式得 AB 的方程 为 y5 15 x1 21，整理得 y6x11. (2)因为 M 是 BC 的中点，所以 M 24 2 ，13 2，即 M(1,1)， 所以|AM| 1125122 5， 所以圆的半径为 5. 所以 AM 的中点为 11 2 ，51 2，即中点为(0,3)， 所以以线段 AM 为直径的圆的方程为 x2(y3)25. 11在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x 3y4 相 切 (1)求圆 O 的方程； (2)圆 O 与 x 轴相交于 A， B 两点， 圆内的动点 P 使|PA|， |PO|， |PB| 成等比数列，求PA PB的取值范围 解：(1)依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x 3y4 的 距离，即 r |4| 132，所以圆 O 的方程为 x 2y24. (2)由(1)知 A(2,0)，B(2,0) 设 P(x，y)，则由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得， x22y2 x22y2x2y2，即 x2y22. PA PB(2x，y)(2x，y) x24y22(y21)， 由于点 P 在圆 O 内，故 x2y20，所以 k2. 答案：C 2已知直线 l：xy60 和M：x2y22x2y20，点 A 在直线 l 上， 若直线 AC 与M 至少有一个公共点 C， 且MAC30， 则点 A 的横坐标的取值范围是() A(0,5)B1,5 C1,3D(0,3 解析： 如图所示，设点 A 的坐标为(x0,6x0)，圆心 M 到直线 AC 的距离 为 d，则 d|AM|sin30.因为直线 AC 与M 有交点，所以 d |AM|sin302(x01)2(5x0)2161x05. 答案：B 3(2014湖北卷)已知圆 O：x2y21 和点 A(2,0)，若定点 B(b,0)(b2)和常数满足： 对圆 O 上任意一点 M， 都有|MB|MA|， 则 (1)b_； (2)_. 解析：因为对圆 O 上任意一点 M，都有|MB|MA|，所以可取圆 上点(1,0)，(1,0)，满足 |b1|， |b1|3， 解得 b 1 2或 b2(舍去)，b 1 2， 1 2，故答案为(1) 1 2，(2) 1 2. 答案：(1)1 2 (2)1 2 4在以 O 为原点的直角坐标系中，点 A(4，3)为OAB 的直角 顶点，已知|AB|2|OA|，且点 B 的纵坐标大于 0. (1)求AB 的坐标； (2)求圆 x26xy22y0 关于直线 OB 对称的圆的方程 解：(1)设AB (x，y)，由|AB|2|OA|，ABOA 0， 得 x2y2100， 4x3y0， 解得 x6， y8 或 x6， y8. 若AB (6，8)，则 yB11 与 yB0 矛盾 所以 x6， y8 舍去即AB (6,8) (2)圆 x26xy22y0，即(x3)2(y1)2( 10)2，其圆心为 C(3，1)，半径 r 10， OB OA AB (4，3)(6,8)(10,5)， 直线 OB 的方程为 y1 2x. 设圆心 C(3，1)关于直线 y1 2x 的对称点的坐标为(a，b)，则 b1 a32， b1 2 1 2 a3 2 ， 解得 a1， b3， 所求的圆的方程为(x1)2(y3)210. 课时作业课时作业 51直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2(y3)21 的内公切线有且仅 有() A1 条B2 条 C3 条D4 条 解析：圆心距为 3，半径之和为 2，故两圆外离，内公切线条数为 2. 答案：B 2已知直线 axbyc0 与圆 O：x2y21 相交于 A，B 两点， 且|AB| 3，则OA OB 的值是() A1 2 B.1 2 C3 4 D.3 4 解析：在OAB 中，由|OA|OB|1，|AB| 3，可得AOB 120，所以OA OB 11cos1201 2. 答案：A 3(2014安徽卷)过点 P( 3，1)的直线 l 与圆 x2y21 有公 共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是() A(0， 6 B(0， 3 C0， 6 D0， 3 解析：设斜率为 k，则直线 l 的方程为 y1k(x 3)，即 kxy 3k10，由题可得| 3k1| k21 1，解得 0k 3.设倾斜角为， 则 0tan 3，得 0 3. 答案：D 4若直线 xy20 与圆 C：(x3)2(y3)24 相交于 A，B 两点，则CA CB的值为( ) A1B0 C1D6 解析：由题意可知，圆心 C(3,3)到直线 AB：xy20 的距离为 d|332| 1212 2.又因为 sinBACd r 2 2 ，所以BAC45，又因 为 CACB，所以BCA90.故CA CB0. 答案：B 5若圆(xa)2(yb)2b21 始终平分圆(x1)2(y1)24 的周长，则 a，b 满足的关系是() Aa22a2b30Ba2b22a2b50 Ca22a2b50Da22a2b50 解析：两圆的公共弦必过(x1)2(y1)24 的圆心，两圆相减 得相交弦的方程为2(a1)x2(b1)ya210， 将圆心坐标(1， 1)代入可得 a22a2b50. 答案：C 6已知直线 xyk0(k0)与圆 x2y24 交于不同的两点 A， B， O 是坐标原点， 且有|OA OB | 3 3 |AB |， 那么 k 的取值范围是( ) A( 3，)B 2，) C 2，2 2)D 3，2 2) 解析： 当|OA OB | 3 3 |AB |时，O，A，B 三点为等腰三角形的三个顶点， 其中 OAOB，AOB120，从而圆心 O 到直线 xyk0(k0) 的距离为 1，此时 k 2；当 k 2时|OA OB | 3 3 |AB |，又直线与圆 x2y24 存在两交点，故 k0)的公共弦长为2 3， 则 a_. 解析：方程 x2y22ay60 与 x2y24 相减得 2ay2，则 y 1 a.由已知条件 2 2 321 a，即 a1. 答案：1 9两圆相交于两点(1,3)和(m，1)，两圆圆心都在直线 xyc 0 上，且 m，c 均为实数，则 mc_. 解析：根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，1)的中点 1m 2 ，1 在直线 xyc0 上，并且过两点的直线与 xyc0 垂 直，故有 1m 2 1c0， 31 1m 11， m5，c2，mc3. 答案：3 三、解答题 10已知点 P(0,5)及圆 C：x2y24x12y240. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l 的方程； (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程 解： (1)如图所示 ，|AB|4 3，将圆 C 方程化为标准方程为(x2)2 (y6)216， 圆 C 的圆心坐标为(2,6)， 半径 r4， 设 D 是线段 AB 的中点， 则 CDAB， |AD|2 3，|AC|4. C 点坐标为(2,6) 在 RtACD 中，可得|CD|2. 设所求直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y5kx，即 kxy50. 由点 C 到直线 AB 的距离公式：|2k65| k212 2， 得 k3 4. 故直线 l 的方程为 3x4y200. 又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x0. 所求直线 l 的方程为 x0 或 3x4y200. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x，y)， 即 CDPD，即CD PD 0， (x2，y6)(x，y5)0， 化简得所求轨迹方程为 x2y22x11y300. 11在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：2xy40， 设圆 C 的半径为 1，圆心在直线 l 上 (1)若圆心 C 也在直线 2x3y0 上， 过点 A 作圆 C 的切线， 求切 线的方程 (2)若圆 C 与圆 D：x2y22y30 有公共点，求圆心 C 的横坐 标 a 的取值范围 解：(1)由 2xy40， 2x3y0 得圆心 C(3,2)， 又因为圆的半径为 1， 所以圆 C 的方程为(x3)2(y2)21， 设过点 A 的切线方程为 ykx3， 圆心到直线的距离为|3k32| 1k2 1， 解得 k0 或 k3 4. 故所求切线方程为 y3 或 3x4y120. (2)因为圆心在直线 2xy40 上， 设圆 C 的方程为(xa)2y2(a2)21， 圆 D：x2y22y30，即 x2(y1)24， 因为圆 C 与圆 D 有公共点， 则|21|CD|21，即 1 a22a323， 所以 5a212a0，得 0a12 5 . 1动圆 C 经过点 F(1,0)，并且与直线 x1 相切，若动圆 C 与 直线 yx2 21 总有公共点，则圆 C 的面积() A有最大值 8B有最小值 2 C有最小值 3D有最小值 4 解析：设圆心为 C(a，b)，半径为 r，r|CF|a1|，即(a1)2 b2(a1)2，即 a1 4b 2，圆心为 1 4b 2，b ，r1 4b 21，圆心到直 线yx2 21的距离为d| b2 4 b2 21| 2 b 2 4 1， b2(2 2 3)或 b2，当 b2 时，rmin1 4412，S minr24. 答案：D 2(2014江西卷)在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴 上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为() A.4 5 B.3 4 C(62 5)D.5 4 解析：AOB90，点 O 在圆 C 上 设直线 2xy40 与圆 C 相切于点 D， 则点 C 与点 O 间的距离 等于它到直线 2xy40 的距离， 点 C 在以 O 为焦点，以直线 2xy40 为准线的抛物线上， 当且仅当 O，C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|. 又|OD|2004| 5 4 5， 圆 C 的最小半径为 2 5， 圆 C 面积的最小值为 2 5 24 5. 答案：A 3在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(3,0)在圆 C：x2y22mx 4ym2280 内，动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A，B 两点，若 ABC 的面积的最大值为 16，则实数 m 的取值范围为_ 解析：由题意得圆心 C(m,2)，半径 r4 2.因为点 P(3,0)在圆 C： x2y22mx4ym2280 内，所以 3206m0m2280，解 得 32 710m，即 m6，且( m2)2( 10m)222，解得 m 8. 答案：D 3椭圆x 2 9 y2 4k1 的离心率为 4 5，则 k 的值为( ) A21B21 C19 25或 21 D.19 25或 21 解析：若 a29，b24k，则 c 5k， 由c a 4 5，即 5k 3 4 5，解得 k 19 25； 由 a24k，b29，则 c k5， 由c a 4 5，即 k5 4k 4 5，解得 k21. 答案：C 4已知椭圆：x 2 4 y 2 b21(00)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1的中点在 y 轴上，若PF1F230，则椭圆 的离心率为() A.1 6 B.1 3 C. 3 6 D. 3 3 解析： 设 PF1的中点为 M，连接 PF2，由于 O 为 F1F2的中点，则 OM 为 PF1F2的中位线，所以 OMPF2，所以PF2F1MOF190. 由于PF1F230，所以 PF12PF2， 由勾股定理得 F1F2 PF21PF22 3PF2， 由椭圆定义得 2aPF1PF23PF2a3PF2 2 ， 2cF1F2 3PF2 c 3PF2 2 ， 所以椭圆的离心率为 ec a 3PF2 2 2 3PF2 3 3 . 答案：D 6已知 F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆x 2 a2 y2 b21 的两个焦点，P 为椭 圆上一点且PF1 PF2 c2，则此椭圆离心率的取值范围是() A. 3 3 ，1 B. 1 3， 1 2 C. 3 3 ， 2 2D. 0， 2 2 解析：设 P(m，n)，PF1 PF2 (cm，n)(cm，n)m2 c2n2c2，2c2m2n2， 把 P(m，n)代入椭圆x 2 a2 y2 b21 得 b 2m2a2n2a2b2， 把代入得 m2a 2b22a2c2 b2a2 0，a2b22a2c2， b22c2，a23c2，ec a 3 3 . 又 m2a 2b22a2c2 b2a2 a2，a22c2，ec a 2 2 . 综上，此椭圆离心率的取值范围是 3 3 ， 2 2 ，故选 C. 答案：C 二、填空题 7若方程 x2 |a|1 y2 a31 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是_ 解析：因为方程 x2 |a|1 y2 a31 表示焦点在 x 轴上的椭圆，所以 |a|1a30，解得30)的左、右焦点分别为 F 1，F2，焦距 为 2c.若直线 y 3(xc)与椭圆的一个交点 M 满足MF1F22 MF2F1，则该椭圆的离心率等于_ 解析： 如图，MF1F2中， MF1F260，MF2F130，F1MF290， 又|F1F2|2c， |MF1|c，|MF2| 3c， 2a|MF1|MF2|c 3c， 得 ec a 2 31 31. 答案： 31 9已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 .过右焦点 F 且斜 率为 k(k0)的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点若AF 3FB，则 k _. 解析：根据已知c a 3 2 ，可得 a24 3c 2，则 b21 3c 2，故椭圆方程为 3x2 4c2 3y2 c2 1，即 3x212y24c20.设直线的方程为 xmyc，代入 椭圆方程得(3m212)y26mcyc20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据 AF 3FB，得(cx1，y1)3(x2c，y2)，由此得y13y2，根据韦 达定理 y1y2 2cm m24，y 1y2 c2 3m24，把y 13y2代入得，y2 cm m24，3y 2 2 c2 3m24，故 9m 2m24，故 m21 2，从而 k 22， k 2.又 k0，故 k 2. 答案： 2 三、解答题 10已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，点 P 5 5 a， 2 2 a 在椭圆上 (1)求椭圆的离心率； (2)设 A 为椭圆的左顶点， O 为坐标原点， 若点 Q 在椭圆上且满足 |AQ|AO|，求直线 OQ 的斜率 解：(1)因为点 P 5 5 a， 2 2 a 在椭圆上， 故 a2 5a2 a2 2b21，可得 b2 a2 5 8. 于是 e2a 2b2 a2 1b 2 a2 3 8， 所以椭圆的离心率 e 6 4 . (2)设直线 OQ 的斜率为 k， 则其方程为 ykx.设点 Q 的坐标为(x0， y0)由条件得 y0kx0. x20 a2 y20 b21. 消去 y0并整理得 x20 a2b2 k2a2b2. 由|AQ|AO|，A(a,0)及 y0kx0得， (x0a)2k2x20a2，整理得(1k2)x202ax00. 而 x00，故 x0 2a 1k2. 代入， 整理得(1k2)24k2a 2 b24.由(1)知 a2 b2 8 5， 故(1k 2)232 5 k2 4， 即 5k422k2150，可得 k25. 所以直线 OQ 的斜率 k 5. 11(2014北京卷)已知椭圆 C：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值 解：(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 2 1. 所以 a24，b22，所以 c2a2b22. 因此 a2，c 2. 故椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 . (2)设点 A，B 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x00. 因为 OAOB，所以OA OB 0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0 . 又 x202y204， 所以|AB|2(x0t)2(y02)2 x02y0 x0 2(y02)2x2 0y204y 2 0 x20 4 x204x 2 0 2 24x 2 0 x20 4 x 2 0 2 8 x204(00)的左、右焦点，P 为直 线 x3a 2 上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率 为() A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.4 5 解析： 令 c a2b2.如图，据题意，|F2P|F1F2|，F1PF230， F1F2P120， PF2x60， |F2P|2 3a 2 c 3a2c. |F1F2|2c，3a2c2c， 3a4c，c a 3 4， 即椭圆的离心率为3 4. 答案：C 2已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)与圆 C 2：x2y2b2，若在椭 圆 C1上存在点 P，使得由点 P 所作的圆 C2的两条切线互相垂直，则 椭圆 C1的离心率的取值范围是() A. 1 2，1B. 2 2 ， 3 2 C. 2 2 ，1 D. 3 2 ，1 解析：椭圆上长轴端点向圆外引两条切线 PA，PB，则两切 线形成的角APB 最小，若椭圆 C1上存在点 P 使切线互相垂直， 则只需APB90，即APO45. sinb asin45 2 2 ，解得 a22c2， e21 2，即 e 2 2 ，而 0e0)的左右焦点为 F 1， F2，过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于_ 解析：由题可知直线 AB 方程为 xc，则 A(c，b 2 a )，B(c，b 2 a )， |AB|2b 2 a . ABx 轴，ODx 轴，ABOD，又 O 为 F1F2中点，D 为 F1B 中点，又 ADF1B，|AF1|AB|， 则cc2b 2 a 22b 2 a ，整理得 4a2c2b44b4. 2ac 3b2 3(a2c2) 3c22ac 3a20 3e22e 30 ( 3e1)(e 3)0，解得 e 3 3 . 答案： 3 3 4.(2014江苏卷) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别是椭圆x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0，b)，连接 BF2并延长交 椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为(4 3， 1 3)，且 BF 2 2，求椭圆的方程； (2)若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值 解：(1)由题意，F2(c,0)，B(0，b)，|BF2| b2c2a 2，又 C(4 3， 1 3)， 4 3 2 2 1 3 2 b2 1， 解得 b1，椭圆方程为x 2 2 y21. (2)直线 BF2方程为x c y b1，与椭圆方程 x2 a2 y2 b21 联立方程组， 解得 A 点坐标为( 2a2c a2c2， b3 a2c2)，则 C 点坐标为( 2a2c a2c2， b3 a2c2)， kF1C b3 a2c2 2a2c a2c2c b3 3a2cc3，又 k ABb c，由 F 1CAB 得 b3 3a2cc3( b c)1，即 b 43a2c2c4，(a2c2)23a2c2c4，化简得 ec a 5 5 . 课时作业课时作业 53双曲线双曲线 一、选择题 1已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近 线上，则 C 的方程为() A. x2 20 y2 5 1B.x 2 5 y2 201 C.x 2 80 y2 201 D. x2 20 y2 801 解析：因为双曲线的焦距为 10，所以 c5. 又因为 P(2,1)在渐近线上，且渐近线方程为 yb ax， 所以 12b a ，即 a2b. 又因为 c2a2b25b225，所以 b25，a220. 即双曲线方程为x 2 20 y2 5 1. 答案：A 2(2014新课标全国卷)已知双曲线x 2 a2 y2 3 1(a0)的离心率为 2，则 a() A2B. 6 2 C. 5 2 D1 解析：由题知 a23 a2 2，解得 a1. 答案：D 3 (2014天津卷)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的一条渐近线平 行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的 方程为() A.x 2 5 y2 201 B. x2 20 y2 5 1 C.3x 2 25 3y 2 1001 D. 3x2 100 3y2 25 1 解析：渐近线平行于 l，则b a2，又焦点为(5,0)，则 c5，可 得 c2a2b25a225，得 a25，b24a220，选 A. 答案：A 4已知双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，双曲线的一个焦点 到一条渐近线的距离为 5 3 c(其中 c 为双曲线的半焦距长)， 则该双曲线 的离心率为() A.3 2 B. 5 2 C.3 5 2 D.5 2 解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为 yb ax， 即 bxay0.则焦点到渐近线的距离为 |bc| b2a2 5 3 c，即 b 5 3 c，从 而 b25 9c 2c2a2，所以4 9c 2a2，即 e29 4，所以离心率 e 3 2. 答案：A 5 (2014新课标全国卷)已知 F 为双曲线 C： x2my23m(m0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为() A. 3B3 C. 3mD3m 解析：由题意，可得双曲线 C 为 x2 3m y2 3 1，则双曲线的半焦距 c 3m3.不妨取右焦点( 3m3，0)，其渐近线方程为 y 1 m x， 即 x my0.所以由点到直线的距离公式得 d 3m3 1m 3.故选 A. 答案：A 6已知双曲线x 2 a2 y2 b21 与直线 y2x 有交点，则双曲线离心率 的取值范围为() A(1， 5)B(1， 5 C( 5，)D 5，) 解析：双曲线的一条渐近线方程为 yb ax， 则由题意得b a2. ec a 1 b a 2 14 5. 答案：C 二、填空题 7(2014北京卷)设双曲线 C 经过点(2,2)，且与y 2 4 x21 具有相 同渐近线，则 C 的方程为_；渐近线方程为_ 解析：双曲线y 2 4 x21 的渐近线为 y2x，故 C 的渐近线为 y 2x，设 C：y 2 4 x2m，并将点(2,2)代入 C 的方程，解得 m3， 故 C 的方程为y 2 4 x23，即x 2 3 y2 121. 答案：x 2 3 y 2 121 y2x 8已知双曲线 x2y21，点 F1，F2为其两个焦点，点 P 为双曲 线上一点，若 PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_ 解析： 不妨设点 P 在双曲线的右支上且 F1， F2分别为左、 右焦点， 因为 PF1PF2，所以(2 2)2|PF1|2|PF2|2， 又因为|PF1|PF2|2， 所以(|PF1|PF2|)24，可得 2|PF1|PF2|4， 则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，所以|PF1| |PF2|2 3. 答案：2 3 9(2014浙江卷)设直线 x3ym0(m0)与双曲线x 2 a2 y2 b2 1(a0， b0)的两条渐近线分别交于点 A， B.若点 P(m,0)满足|PA|PB|， 则该双曲线的离心率是_ 解析： 由双曲线的方程可知， 它的渐近线方程为 yb ax 和 y b ax， 分别与 x3ym0 联立， 解得 A am a3b， bm a3b ， B am a3b， bm a3b， 由|PA|PB|得， AB中点Q的坐标为Q am a3b am a3b 2 ， bm a3b bm a3b 2 ， 由 PQ 与已知直线垂直，解得 2a28b28(c2a2)，即c 2 a2 5 4，故 e c a 5 2 . 答案： 5 2 三、解答题 10双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l1，l2，经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1，l2于 A，B 两点已 知|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且BF 与FA同向 (1)求双曲线的离心率 (2)设直线 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 解：(1)设|OA|md，|AB|m，|OB|md， 由勾股定理可得(md)2m2(md)2， 得 d1 4m，tanAOF b a， tanAOBtan2AOFAB OA 4 3， 由倍角公式，得 2b a 1 b a 2 4 3，解得 b a 1 2， 则离心率 e 5 2 . (2)不妨设过 F 与 l1垂直的直线方程为 ya b(xc)，与双曲线方 程x 2 a2 y2 b21 联立，将 a2b，c 5b 代入，化简有 15 4b2x 28 5 b x21 0， 41 a b 2|x1x2| 1 a b 2 x1x224x1x2， 将数值代入，有 45 32 5b 15 24