江苏歌风中学如皋办学高三数学复习解析几何第二讲圆的方程

专题 解析几何：第二讲 圆的方程活动一：基础检测1方程x2y24mx2y5m0表示圆时，m的取值范围为_2圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是_3点P(2，1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是_4已知点(0,0)在圆：x2y2axay2a2a10外，则a的取值范围是_5过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则APB的外接圆方程为_6、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系中，以点（1,0）为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_。7、（2014年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为 8、（2015届南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系中，已知：，为与x负半轴的交点，过A作的弦AB，记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为 。活动二：探究点一求圆的方程例1已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为_变式1根据下列条件，求圆的方程(1)与圆O：x2y24相外切于点P(1，)，且半径为4的圆的方程；(2)圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程变式2（南京市2014届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，求圆M的方程。探究点二圆的几何性质的应用例2已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径变式迁移2（2015届江苏苏州高三9月调研）已知圆与直线相交于两点则当的面积最大时求此时实数的值。探究点三与圆有关的最值问题例3已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值变式迁移3如果实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求的最大值与最小值活动三：自主检测一、填空题(每小题6分，共48分)1(2011重庆改编)在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_3圆x2y22x4y10关于直线2axby20 (a、bR)对称，则ab的取值范围是_4(2011苏州模拟)已知点P(2,1)在圆C：x2y2ax2yb0上，点P关于直线xy10的对称点也在圆C上，则实数a，b的值分别为_和_5已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值为_6(2010天津)已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_7（2014江苏百校联考一）已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是 8（无锡市2015届高三上学期期末）已知点位圆外一点，圆上存在点使得，则实数的取值范围是 二、解答题(共42分)9(14分) 已知一个圆经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.，求圆的方程10(14分)(2011南京模拟)已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上(1)求xy的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值11(2010苏锡常镇一模)已知圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，且CP的斜率为1.(1)试求圆C的方程；(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1交圆C于E，F两点，l2交圆C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值12、（2013年江苏高考）本小题满分14分。如图，在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆心在上。（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。xyAlO13、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三第一次调研考试）在平面直角坐标系中，已知点，若,分别为线段,上的动点，且满足(1) 若，求直线的方程；(2)证明：的外接圆恒过定点（异于原点）OABDCxy（第17题）第二讲 圆的方程答案基础检测1m12.x2(y2)213.xy304(，1)(，)5(x2)2(y1)256、7、8、2课堂活动区例1审题视点 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径解析法一设圆心坐标为(a，a)，则，即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，故圆的方程为(x1)2(y1)22.法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d2；圆心是直线xy0与这两条平行线交点的中点，直线xy0与直线xy0的交点坐标是(0,0)、与直线xy40的交点坐标是(2，2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，1)，所求的圆的方程是(x1)2(y1)22.答案(x1)2(y1)22变式1解(1)设所求圆的圆心Q的坐标为(a，b)，圆Q的方程为(xa)2(yb)242，又OQ6，联立方程，解得a3，b3，所以所求圆的方程为(x3)2(y3)216.(2)如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，所以AOB120，而圆心(0,0)到直线3x4y150的距离d3，在AOB中，可求得OA6.所以所求圆的方程为x2y236.变式2、(x1)2y21例2解题导引(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算(2)本题利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值解方法一将x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1y24，y1y2.OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.96(y1y2)5y1y20，96450，m3，此时136340，圆心坐标为，半径r.方法二如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，kO1M2.又圆心坐标为，O1M的方程为y32，即y2x4.由方程组解得M的坐标为(1,2)则以PQ为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上(01)2(02)2r2，即r25，MQ2r2.在RtO1MQ中，O1M2MQ2O1Q2.2(32)25.m3.半径为，圆心为.变式迁移2例3解题导引与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题解(1)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.变式迁移3解(1)设P(x，y)，则P点的轨迹就是已知圆C：(x3)2(y3)26.而的几何意义就是直线OP的斜率，设k，则直线OP的方程为ykx.当直线OP与圆相切时，斜率取最值因为点C到直线ykx的距离d，所以当，即k32时，直线OP与圆相切即的最大值为32，最小值为32.课后练习区110解析圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知最长弦|AC|2，最短弦BD恰以E(0,1)为中心，设点F为其圆心，坐标为(1,3)故EF，BD22，S四边形ABCDACBD10.2(2，)3.403解析圆的方程可化为2(y1)21b，由题知圆心在直线xy10上，110，a0，又点(2,1)在圆上，所以b3.53解析lAB：xy20，圆心(1,0)到lAB的距离d，AB边上的高的最小值为1.又AB2.Smin23.6(x1)2y22解析直线xy10与x轴的交点为(1,0)，即圆C的圆心坐标为(1,0)又圆C与直线xy30相切，圆C的半径为r.圆C的方程为(x1)2y22.789解设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得(8分)又令y0，得x2DxF0，由|x1x2|6有D24F36.由解得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.(14分)10解(1)设txy，则yxt，t可视为直线yxt的纵截距，所以xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1，所以xy的最大值为1，最小值为1.(5分)(2)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线方程为ykx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2，所以的最大值为2，最小值为2.(10分)(3)，即，其最值可视为点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又因为圆心到定点(1,2)的距离为，所以的最大值为1，最小值为1.(14分)11解(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，则C点的坐标为，且PC的斜率为1，所以1.因为圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，所以联立，解得所以圆C的方程为x2y2x5y60即22.(2)圆心C的坐标为，圆心到l1，l2的距离设为d1，d2，则ddOC2，又2d，2d，两式相加，得EF2GH2742EFGH.所以SEFGH，即(S四边形EGFH)max.12、（1）解：由得圆心C为（3,2），圆的半径为圆的方程为：显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即或者所求圆C的切线方程为：或者即或者（2）解：圆的圆心在在直线上，所以，设圆心