湖南衡阳第一中学高二下学期期试数学文

第 1 页(共 3 页) a 衡阳市第一中学衡阳市第一中学 2019 年高二（下）期中考试年高二（下）期中考试 文科数学文科数学参考答案参考答案 一、选择题 1D 2C 3C 4C 5A 6A 7B 8C 9A 10D 11C 12B 二、填空题 131 4 14 2 55 5 15 2 16 3 8 三、解答题 17解：(1)设数列an的公差为 d，由 a12 和 a2，a3，a41 成等比数列，得 (22d)2(2d)(33d)， 解得 d2 或 d1. 当 d1 时，a30 与 a2，a3，a41 成等比数列矛盾，舍去 所以 d2， 所以 ana1(n1)d22(n1)2n，即数列an的通项公式为 an2n. (2)bn 1 n (an2) 1 n(2n2) 1 2n(n1) 1 2( 1 n 1 n1)， Snb1b2bn1 2(1 1 2)( 1 2 1 3)( 1 n 1 n1) 1 2(1 1 n1) n 2(n1). 18解：(1) 1 50(2.5 7+7.5 28+12.5 9+17.5 5+22.5 1)9， 所以，这 50 名学生本周使用手机的平均时间长为 9 小时 （2）时间长为0，5）的有 7 人，记为 A、B、C、D、E、F、G， 其中女生记为 A、B、C、D， 从这 7 名学生中随机抽取两名的基本事件有： A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C， B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F， C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G共 21 个 设事件 M 表示恰有一位女生符合要求的事件有： A，E，A，F，A，G，B，E，B，F，B，G，C，E， C，F，C，G，D，E，D，F，D，G共 12 个 所以恰有一个女生的概率为 P(M)12 21 4 7 （3） 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 15 5 20 男生 20 10 30 总计 35 15 50 K250(15 105 20) 2 15 35 20 30 0.3972.072，（11 分） 不能在犯错概率不超过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系 第 2 页(共 3 页) a 19(1)证明 连接 AC，在直角梯形 ABCD 中， AC AD2DC22 2， BC ABCD2AD22 2， 所以 AC2BC2AB2， 即 ACBC. 又 PC平面 ABCD，BC平面 ABCD， 所以 PCBC，又 ACPCC，AC，PC平面 PAC， 故 BC平面 PAC. (2)解 N 为 PB 的中点，连接 MN，CN. 因为 M 为 PA 的中点，N 为 PB 的中点， 所以 MNAB，且 MN1 2AB2. 又因为 ABCD，所以 MNCD，所以 M，N，C，D 四点共面， 所以 N 为过 C，D，M 三点的平面与线段 PB 的交点 因为 BC平面 PAC，N 为 PB 的中点， 所以点 N 到平面 PAC 的距离 d1 2BC 2. 又 SACM1 2SACP 1 2 1 2ACPC 2， 所以 V三棱锥NACM1 3 2 2 2 3. 由题意可知，在 RtPCA 中， PA AC2PC22 3，CM 3， 在 RtPCB 中，PB BC2PC22 3， CN 3，所以 SCMN1 22 2 2. 设三棱锥 ACMN 的高为 h， V三棱锥NACMV三棱锥ACMN1 3 2h 2 3， 解得 h 2，故三棱锥 ACMN 的高为 2. 20 第 3 页(共 3 页) a 21解析：(1)当 a1 时，f(x)x2ln xx21，f(x)2xln x3x. 则曲线 f(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 f(1)3. 又 f(1)0，所以切线方程为 3xy30. (2)f(x)2xln x(12a)xx(2ln x12a)，其中 x1. 当 a1 2时，因为 x1，所以 f(x)0. 所以函数 f(x)在1，)上单调递增故 f(x)f(1)0. 当 a1 2时，令 f(x)0，得 xe a1 2. 若 x1，ea 1 2)，则