湖南长郡中学高三第六次月考数学理

理科数学试题参考答案? 长郡版? ? 长郡中学? ? ? ?届高三月考试卷? 六? 数学? 理科? 参考答案 一? 选择题 题?号 ? ? ? ? 答?案 ? ? ? ? ? 解析?集合? ? ? ? ? ? ? ? ? 集合? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故选? ? ? ? ? 解析?槡 ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? 故?的虚部为 槡? ? ? ? ? 故选? ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ?阴影部分的面积为? ? ? ? ? ? ?向正方形? ? ? ?中随机投掷? ? ? ?个点? 则落入阴影部分的点的个数的估计值是? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 设自上而下各节的容积分别为? ? ? 公差为? ?上面?节的容积共?升? 下面?节的容积共?升? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?自上而下取第?节? 则这?节的容积之和为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 几何体为正四面体? ? ? ? ? 解析? 由题意知? 此人从小区?前往小区? 的所有最短路径为? ? ? 共?条?记? 此人经过市中心? 为事件? 则?包含的基本事件为? ? ? 共?个? 所以? ? ? ? 即他经过市中心? 的概率为? ? ? ? ? ? 解析? 由题意知? ? ? ? ? 由余弦定理? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有? ? ? 故? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即得? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 根据条件? ?的元素个数不是?中的元素?的元素个数不是?中的元素?当集合?只有?个 元素时? 集合?中有?个元素? ? ?且? ? 此时仅有一种结果? ? ? ? ? ? ?当集合?有 ?个元素时? 集合?中有?个元素? ?且? ? 此时集合?中必有一个元素为? 集合?中必有一个元素 为? 故有如下可能结果? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?共计?种可能?可以推测集合?中不可能有?个元素?当集 合?中有?个元素时? 集合?中有?个元素? 此情况与?情况相同? 只需? ?互换即可?共计?种可能?当 集合?中有?个元素时? 集合?中有?个元素? 此情况与?情况相同? 只需? ?互换即可?共?种可能? 综上所述? 有序集合对? ? 的个数为? ? ?答案选? ? ? ? ? 解析? 由? ? ?有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? 所以? ? 选? ? ? ? ? ? 解析? 三棱锥? ? ?中? ? ?平面? ? ? 设直线? ?与平面? ? ?所 成角为? 三棱锥外接球球心为? 半径为? 如图所示? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? 且?的最大值是 ? ? ?槡 ? ? ? ? ? 解得? ? 槡? ? ? 即? ?的最小值为 槡? ? ?的最小值是槡 ? 即点?到? ?的距离为槡 ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? 取? ? ?的外接圆圆心为? ? 作? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? 取?为? ?的中点? ? ?槡? ? ? ? 由勾股定理得? 槡 ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 构造函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? 由? ? ?得? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? 研究? ? ? ? ? ? ? ? 的图象? 易知选? 二? 填空题 ? ? ? 槡 ? 解析? 由? ?可得? ? ? ? ? 则? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? 槡槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由奇函数? ? ? ? ? ?是边长为?的正三角形? 可得? ? ? ? ? ? ?是 最高点且?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得?槡 ? ? ? ? 所以? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由不等式组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作可行域如图? 联立 ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? 当? ?时? 目标函数化为? 由图可知? 可行解? ? 使? ? ? 取得最大值? 符合题意? 当? ?时? 由? ? ? ? 得? ? ? ? ? 此直线斜率大于? 当 在?轴上截距最小时?最大? 要使可行解? ? 为目标函数? ? ? 取得最大值的唯一的最 优解? 则? ? ? ? ? ? 符合题意? 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? 当? ?时? 由? ? ? ? 得? ? ? ? ? 此直线斜率为负值? 当在?轴上截距最大时?最大? 要使可行解? ? 为使目标函数? ? ? 取得最大值的唯一的最优解? 则? ? ? ? 即? ? ? 综上? 实数?的取值范围是? ? ? ? ?槡? ? 解析? 设直线? ?的方程为? ? ? ? ? 点? ? ? 直线? ?与?轴的交点为? ? 将? ? ? ?代入? ? ? ? 可得? ? ? ? ? ? ? ? 根据韦达定理有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以直线? ?恒过点? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ?槡? ? ?时? ? ?面积的最小值是槡? ? 三? 解答题 ? ? ? 解析? ? 当? ?时? ? 当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? 于是? ? ? ? ? 解得? ?或? ? 舍? 所以? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? 由以上结论可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ? 当? ?时? 令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? 综上? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? 解析? ? 连接? ?并延长交? ?于? 连接? ?由梯形? ? ? ?中? ? ?且? ? ? ? ? 知? ? ? ? ? ? 又? 为? ? ?的重心? ? ? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? 又? ?平面? ? ? ? ?平面? ? ? ?平面? ? ?分? ? ?平面? ? ?平面? ? ? ? ? ?与? ? ?均为正三角形? 连接? ?并延长交 于? ?的中点? 连接? ? ? ? ? ? ? ?平面? ? ? ? 以?为原点 建立如图所示的空间直角坐标系? 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? ? ? ? ?槡? ? ?槡 ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? 槡? ? ? 可得? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? 设平面? ? ?的一个法向量为? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?槡? ? ? ? ? ? 令? ? ? 得?槡 ? ? 同理可得平面? ? ?的一个法向量? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡槡? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? 所以平面? ? ?与平面? ? ?所成锐二面角的正切值为? ? ? ? ?分 ? ? ? ? 解析? ? 每台机器更换的易损零件数为? ? ? ? 记事件? ?为第一台机器?年内换掉? ?个零件? ? ? 记事件? ?为第二台机器?年内换掉? ?个零件? ? ? 由题知? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为?台机器三年内共需更换的易损零件数的随机变量为? 则?的可能的取值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 要使? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?的最小值为? ? ? ?分 ? ? ? 购买零件所需费用含两部分? 一部分为购买机器时额外购买零件的费用? 另一部分为备件不足时再购买 的费用? 当? ? ?时? 费用的期望为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ? ?时? 费用的期望为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以应选用? ? ? ? ? ?分? 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? ? ? ? 解析? ? 设? ? 由题可知? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 即 ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? 化简整理得 ? ? ? ? ? ? 即曲线?的方程为? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 由已知可得直线?的斜率不为?可设直线?的方程为? ? ? ? ? 联立方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消去?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立? 记? ? ? ? 则? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?直线? ?的斜率为? ? ? ? 直线? ?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?直线? ?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?直线? ?过定点 ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? 解析? ? 设切点的坐标为? ? ? 由? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? 所以切线方程为? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? 由已知? ? ? ? ? ? ? ?和? ? ? ?为同一条直线? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? 则? ? ? ? 当? ? 时? ? ? 单调递增? 当? 时? ? ? 单调递减? 所以? ? ? 当且仅当? ?时等号成立? 所以? ? ? ? ?分? ? ?当? ?时? 由? 结合函数的图象知? 存在? ? ? 使得对于任意? ? 都有? ? 则不等式? ? ? ?等价? ? 即? ? ? ? ? ? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? 若? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 在? ? ? 上单调递减? 因为? ? ? 所以对任意? ? ? ? ? ? ? 与题意不符? 若? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 在? ? ? ? ? ? ? ? ? 上单调递增? 因为? ? ? 所以对任意? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 符合题意? 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? 此时取? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可得对任意? ? ? 都有? ? ? ?当? ? ?时? 由? 结合函数的图象知? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对任意? ?都成立? 所以? ? ? ?等价于? ? ? ? ? ? ? 设?