江苏高考数学二轮复习12空间平行与垂直

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题12 空间平行与垂直回顾20092012年的考题，主要考查线面平行和面面垂直，几何体为常见的锥体和柱体，其中2009年考查了位置关系基本定理判定的小题，2010年考查了点到平面的距离，2011年考查了线面平行与面面垂直，2012年考查了一道体积小题和线面平行与面面垂直的证明；其他基本考查证明位置关系(如：平行、垂直)的大题，难度不大.柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其基本性质虽然没有单独考查，但作为立体几何最基本的要素是融入在解答题中考查的.对于立体几何表面积和体积考查要求不高.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然主要是会出现考查判断位置关系基本定理真假的问题，以及表面积和体积的求解的问题.(2)在解答题中，主要是空间几何体的位置关系的证明，可能是双证，也可能是一证一算.1.(2012江苏高考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_ cm3.解析：连结AC交BD于点O，则四棱锥ABB1D1D的体积为SBB1D1DAO6.答案：62.(2012南师大信息卷)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|PC1|2的点P的个数为_解析：点P在以A，C1为焦点的椭圆上，若P在AB上，设APx，有PAPC1x2，解得x.故AB上有一点P(AB的中点)满足条件同理在AD，AA1，C1B1，C1D1，C1C上各有一点满足条件又若点P在BB1上，则PAPC12.故BB1上不存在满足条件的点P，同理DD1，BC，A1D1，DC，A1B1上不存在满足条件的点P.答案：63在矩形ABCD中，AB2，BC3，以BC边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为_解析：将矩形ABCD以BC边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为22312.答案：124(2012南京三模)已知，是两个不同的平面，下列四个条件：存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a，b，a，b，a，b.存在两条异面直线a，b，a，b，a，b.其中是平面平面的充分条件的为_(填上所有符合要求的序号)解析：中的与可以相交答案：5(2012江苏最后一卷)给出下列四个命题：如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交；如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面；如果平面平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直；如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析：中内存在与平行的直线；中内只有垂直于交线的直线才垂直于；、正确答案：如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90.(1)求证：PCBC；(2)求点A到平面PBC的距离解(1)证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.由BCD90，得CDBC.又PDDCD，PD，DC平面PCD，所以BC平面PCD.因为PC平面PCD，故PCBC.(2)法一：分别取AB，PC的中点E，F，连结DE，DF，易证DECB，DE平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍由(1)知，BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC.因为PDDC，PFFC，所以DFPC.所以DF平面PBC于F.易知DF，故点A到平面PBC的距离等于.法二：体积法：连结AC，设点A到平面PBC的距离为h.因为ABDC，BCD90，所以ABC90.从而AB2，BC1，得ABC的面积SABC1.由PD平面ABCD及PD1，得三棱锥PABC的体积VSABCPD.因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC.又PDDC1，所以PC.由PCBC，BC1，得PBC的面积SPBC.由VAPBCVPABC，SPBChV，得h，故点A到平面PBC的距离等于.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形且ABCD，BAD90，PAADDC2，AB4.(1)求证：BCPC；(2)四面体APBC的体积解：(1)证明：作CEAB于点E，则AEEBCE2，BC2，则AC2，故ACB90，即ACCB.又PA平面ABCD，故PABC，所以BC平面PAC.又PC面PAC，因此BCPC.(2)因为PA平面ABC，所以VAPBCVPABCSABCPAACBCPA222.故四面体APBC的体积为.(2012泰州模拟)已知四面体ABCD中，ABAC，BDCD，平面ABC平面BCD，E，F分别为棱BC和AD的中点(1)求证：AE平面BCD；(2)求证：ADBC；(3)若ABC内的点G满足FG平面BCD，设点G构成集合T，试描述点集T的位置(不必说明理由)解(1)证明：在ABC中，ABAC，E为BC的中点，AEBC.又平面ABC平面BCD，AE平面ABC，平面ABC平面BCDBC，AE平面BCD.(2)证明：连结DE，BDCD，E为BC的中点，BCDE.由(1)知AEBC，又AEDEE，AE，DE平面AED，BC平面AED.又AD平面AED，BCAD.(3)取AB，AC的中点M，N，所有的点G构成的集合T即为ABC的中位线MN.本题的第(3)问考查线面平行，没有直接给出点G的位置，而是需要探究点的位置根据面面平行的性质得到线面平行，并且利用面面的交线确定点G的位置如图ABCD为直角梯形，BCDCDA90，AD2BC2CD，P为平面ABCD外一点，且PBBD.(1)求证：PABD；(2)若PC与CD不垂直，求证：PAPD.解：(1)证明：ABCD为直角梯形，BCDCDA90，AD2BC2CD，ADABBD.ABBD.PBBD，ABPBB，AB，PB平面PAB，BD平面PAB.PA面PAB，PABD.(2)证明：假设PAPD，取AD中点N，连结PN，BN，则PNAD，BNAD，AD平面PNB，得PBAD，又PBBD，得PB平面ABCD，PBCD，又BCCD，且PBBCB，CD平面PBC，CDPC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，假设不成立，PAPD.(2011江苏高考)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx (cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.本题主要考查空间几何体中的最值问题，综合考查数学建模能力及应用导数解决实际问题的能力某加工厂有一块三角形的铁板余料(如图)，经测量得知：AC3，AB3，BC6.工人师傅计划利用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分切去，再把它沿虚线折起请计算容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x，AC3，AB3，BC6，BC2AC2AB2，得A，C，CED，FEG，CDDEtanCEDx.GE3xx3(1)x.GFGE3(1)x又GE0，0x.设容器的容积为V，则Vx3(1)x2V3(1)x2x3(1)x(1)3(1)x1(1)x令V0，又0x，x.当0x0，x时，V0.当x时，Vmax3.1证明线面平行或垂直关系时，要认真体会“转化”这一数学思想方法，既要领会平行、垂直内部间的转化，也要注意平行与垂直之间的转化2空间几何体的表面积和体积的研究策略研究空间几何体的结构计算相关边长代入公式计算3空间几何体的结构的研究策略运用转化的思想，将空间几何体的问题转化为平面问题，如几何体的外接球或内切球问题，转化为多边形的外接圆或内切圆的问题4组合体体积的求解组合体的体积求解无论是分割还是补形，关键是有利于求出几何体的高，即找到线面垂直1已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若lm，则.其中正确命题的序号是_解析：中l与m可能异面；中与也可能相交答案：2已知PA，PB，PC两两互相垂直，且PAB，PBC，PAC的面积分别为1.5 cm2,2 cm2,6 cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为_ cm2.(注S球4r2，其中r为球半径)解析：由题意得解得因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以可构造长方体长方体的体对角线长为，即为外接球的直径，所以外接球的表面积为26.答案：263(2012苏州二模)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，m，n，则mn；若，m，n，则mn；若，m，n，则mn；若，m，n，则mn.上面命题中，所有真命题的序号为_解析：中的直线m与n可以是异面直线答案：4多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3；4；5；6；7以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)解析：如图，B，D，A1到平面的距离分别为1,2,4，则D，A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B，A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D，B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C，A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C，C1，B1，D1中的一点，所以所有可能的结果为3,5,6,7.答案：5已知，是两个不同的平面，m，n是平面及平面之外的两条不同直线，给出四个论断：mn，m，n，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.解析：同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行，故.(同理)答案：(或)6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，四面体ACB1D1的体积为_解析：用正方体体积减去4个相同的三棱锥体积(或求棱长为的正四面体的体积)答案：7(2012南京二模)一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x6 cm时，该容器的容积为_ cm3.解析：正四棱锥的高h4，V62448(cm3)答案：488在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体解析：当四点共面时为矩形；当四点不共面时，若有三点在正方体的某一面内，则可形成中的几何形体，若任意三点都不在正方体的某一面内，则形成中的几何形体答案：9一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_解析：如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为正三角形，边长为2，DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DEEFx，作DGBB1，HGCC1，EICC1，则EG，FI，FHFIHIFIEG2，在RtDHF中，DF2DH2FH2，即x242，解得x2.即该三角形的斜边长为2.答案：210.(2012南通一模)在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为_解析：如图1，当E与A1重合，F与B1重合时，四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12；如图2，当E与A1重合，四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8；如图3，当F与D重合时，四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8；综上得，面积最大值为12.答案：1211.(2012南京二模)如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.(1)求证：平面AEC平面ABE；(2)点F在BE上，若DE平面ACF，求的值解：(1)证明：因为ABCD为矩形，所以ABBC.因为平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，AB平面ABCD，所以AB平面BCE.因为CE平面BCE，所以CEAB.因为CEBE，AB平面ABE，BE平面ABE，ABBEB，所以CE平面ABE.因为CE平面AEC，所以平面AEC平面ABE.(2)连结BD交AC于点O，连结OF.因为DE平面ACF，DE平面BDE，平面ACF平面BDEOF，所以DEOF.又因为矩形ABCD中，O为BD中点，所以F为BE中点，即.12.(2013无锡一中)如图，四棱锥EABCD中，EAEB，ABCD，ABBC，AB2CD.(1)求证：ABED；(2)线段EA上是否存在点F，使DF平面