理科数学参考全国I卷

1 20192019 届全国高三开年摸底大联考届全国高三开年摸底大联考 全国全国 I 卷卷 理科理科数学数学 参考答案解析及评分标准 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. . 1.C解析：由于0-，M，0N， 0NM .答案：C 2.D解析： ： i ii ii i i z 2 11 11 2 1 1 2，则i 2z答案：D 3.D解析：图 2 的建议为减少运营成本；图 3 的建议可能是提高票价,故正确, 因为是选择不正确的一项.答案：D 4.C解析：由于1, 2 12 12 23 aa aa aa 数列 nn aa 1 为以 1 为首项以 2 为公比的等比数列 1 1 2 n nn aa（nN*） 所以 20182019 aa= 2017 2. 答案C 5.A解析： 根据图象知， 函数 xfy 的图象与在点P处的切线交于点P， 3 13 6 3 5 5f， 5 f 为函数 xfy 的图象在点 P 处的切线的斜率， 5 f= 3 1 . 答案A 6.D解析：构造如图所示长宽高分别为2222、的长方体，P,A 为其所在棱的中点，三视图对应的几 何体为图中的三棱锥 P-ABC， 将其补为三棱柱 PMN-ABC,取 MN,BC 的中点 E,F,取 EF 的中点 O,则 O 为外接球 的球心，且, 31)2( 22 OBR所以外接球的表面积为124 2 RS.答案D 7.D解析：因为ABACBC，则ABAOACAOABACAOBCAO， 如下图：; 84 2 4 ACAO 2 9 2 3 3 ABAO 2 7 2 9 8ABAOACAOBCAO 2 答案：D 8.D解析：将函数sinyx的图象向左平移 3 2 个单位，得到函数 3 ( )sincos 2 f xxx 的图象关于,0 2 对称.答案：D 9.B解析：如图：设 BC=2，以 B 为圆心的扇形面积为 3 2 6 22 ，ABC 的面积为322 2 3 2 1 ,勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正 三角形面积,即322323 3 2 ， 在 勒 洛 三 角 形 中 随 机 取 一 点 ， 此 点 取 自 正 三 角 形 的 概 率 为 32 3 322 3 .答案：B 10.A解析：由于函数xysin的周期为 2，01x，故它的图象关于直线 2 1 x对 称 abcd，1ba; 由dc 20192019 loglog，则dc 20192019 loglog，所以0loglog 20192019 dc，0log2019cd，所 以1cd.则1 cd ba .答案：A 11.D解析：设 F10 , c，双曲线1 2 2 2 b y x的渐近线方程为bxy， 3 过点 F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为cxby， 联立渐近线方程bxy，可得交点 P 2 , 2 bcc ， 点 P 在以线段 F1F2为直径的圆外，可得 2 22 22 c bcc ， 即有3 2 b，可得双曲线的离心率211 2 2 2 b a b a c e，即2e答案：D 12.A解析：由题意如图，直线 BC 与动点 O 的空间关系：点 O 是以 BC 为直径的球面上 的点， 所以 O 到 AD 的距离为四面体上以 BC 为直径的球面上的点到 AD 的距离， 最大距离 为 AD 到球心的距离（即 BC 与 AD 的公垂线）+半径=2+1再考虑取得最大距离时四面 体的投影情况，此时我们注意到 AD 垂直平面 OBC，且平行平面，故其投影是以 AD 为 底，O 到 AD 的距离投影，即（2+1）cos45= 2 2 1为高的等腰三角形，其面积= 2 1 2（ 2 2 1）= 2 2 1答案：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.13.解析：作出不等式组对应的平面区域如图： 则阴影部分为三角形 由 0 2 yx x 得 2 2 y x ，即 B（2，2） ， 由 z=x+2y 得zxy 2 1 2 1 ， 平移直线zxy 2 1 2 1 ， 由图象知当直线zxy 2 1 2 1 经过点 B（2，2）时，直线的截距最小，此时 z 最小， 最小值为2222z，故答案为：2 14.14.解析：因为)(xf在定义域，0内单调递增，所以 xx x x 2 02 0 2 即012xxx且 故答案为：012xxx且 15.15.解析：这 3 人中既有男生又有女生，包括 2 男 1 女和 1 男 2 女两种情况 若 3 人中有 2 男 1 女，则不同的选法共有18 1 3 2 4 CC种， 4 若 3 人中有 1 男 2 女，则不同的选法共有12 2 3 1 4 CC种， 根据分类计数原理，所有的不同的选法共有301218种，故答案为：30 16.16.解析：数列 n a满足 * 211 = nnnn aaaanN ，数列an是等差数列， 2 4 a， 4536271 2aaaaaaa， 2 ( )=sin22cossin2cos1 2 x f xxxx， 1cos2sin1cos2sin)()( 771171 aaaaafaf 1cos2sin1)cos()22sin( 7777 aaaa 1cos2sin1cos2sin 7777 aaaa=2 同理2)(2)()()()( 45362 afafafafaf，数列 n y的前 7 项和为 7.故答案为：7. 二、二、解答题：共解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 17. 解： （1）在DAB中， 1204575DAB， 3030120180ADB，50AB 由正弦定理，得 ADB AB DAB BD sinsin ， 350 30sin 120sin50 sin sin ADB DABAB BD.3 分 在ABC中， 1057530ABC， 3010545180BCA，50AB， 由正弦定理，得250 30sin 45sin50 sin sin BCA BACAB BC.6 分 （2）在DBC中，由余弦定理得 DBCBCBDBCBDDCcos2 22 所以 262575cos2503502250350 22 DC 所以应开凿的隧道CD的长为2625.12 分 18.解：(1) 1 B D 平面ABC，AC 平面ABC， 1 B DAC.2 分 5 又BCAC， 1 B DBCD， AC 平面 11 BBC C.4 分 (2) 连接CB1,AC 平面 11 BBC C， 1 BC 平面 11 BBC C 1 ACBC 11 ABBC , 1 ACABA 1 BC 平面 1 ABC 1 BC 平面 1 ABC 1 BC 1 BC 四边形 11 BBC C为菱形， 1 60B BC ， 1 B D BC于D，D为BC的中点.6 分 因为点 1 B在底面ABC上的射影是BC的中点， 则 1 B D 平面ABC以D为原点， 过D平行于CA的直线为x轴，BC所在直线为y轴， 1 DB所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 1 1BCCAAA，由题意可知， 1 1131 0,0 ,0,0 ,0,0,1,0 . 2222 BCBA 设 1( , , ) C x y z，由 11 0, 1,0BCBC ，得 1 3 0, 1,. 2 C 7 分 设平面 1 ABB的法向量为 111 ,1nx y , 则 1 11 0 0 n BA n BB 11 1 0 3 0 22 xy y 1 3, 3,1n 9 分 设平面 AB1C1的法向量为 222 ,1nxy ,则 21 21 0 0 nAB nAC 2 2 2 2 3 0 22 3 0 22 y x y x 2 3 ,0,1 2 n .10 分 12 12 12 5 cos, 7 n n n n n n .11 分 11 5 7 BABC二面角的余弦值为 .12 分 19.解：由已知， 2 2 c a ， 当Q为椭圆C上、下顶点时，QAB的面积最大，所以2 2ab 2 分 又 222 abc， 6 解得 2,2,2.abc 3 分 椭圆的方程为 22 1 42 xy .4 分 （2）依题意知直线AQ的斜率存在,设直线:(2)AQ yk x，则有)2 , 0(kP 由 42 )2( 22 yx xky ，得 2222 (21)84(21)0kxk xk)( 2 222 84 (21) 4(21)160kkk 6 分 设),( 11 yxQ，则 1 , 2 x是方程)(的两个根， 12 ) 12(4 2 2 2 1 k k x，所以 2 2 1 21 )21 (2 k k x ， （此处没有求出 k 的限制范围不扣分）8 分 所以 2 2 1 2 21 14 )2(1 k k xkAQ ， 2 12kAP， 2 2 8(1) 12 k APAQ k 由 / /OMAQ，设直线 :OMykx，则联立 42 22 yx kxy ，可得 04)21 ( 22 xk 10 分 设点),( 00 yxM，有 2 22 0 2 2 21 4 )1 (1 k kxkOM 2 APAQOM因为 22 22 8(1)4(1) 1212 kk kk 所以 得2 11 分 故存在常数使得 2 OMAQAP成立，且212 分 20.解： （1）由直方图知第 6 组频率为 0.0165=0.08； 第 8 组频率为 0.0085=0.04 故第 6 组有 4 人，第 8 组有 2 人，2 分 从这 6 人中随机抽取 2 人，有15 2 6 C种情况，4 分 其中满足|xy|5 的 2 人必须来自同一组，共有7 2 2 2 4 CC种情况， 故满足|xy|5 的事件的概率为 15 7 6 分 （2）由直方图知第 7 组频率为 1-(0.0082+0.0162+0.042+0.06)5=0.06, 故第 7 组共有 3 人,由(1)第 8 组有 2 人.8 分 则从这 5 人中随机抽取 3 人,此 3 人获得奖金的总和 X(单位：元）的所有可能取值为 15000,20000,25000 10 1 15000 3 5 3 3 C C XP; 5 3 20000 3 5 1 2 2 3 C CC XP; 10 3 25000 3 5 2 2 1 3 C CC XP .10 分 7 所以随机变量 X 的分布列为 X150002000025000 P 10 1 5 3 10 3 所以 21000 10 3 25000 5 3 20000 10 1 15000xE .12 分 21.解： （1）显然函数)(xf的定义域为, 0，且 2 2 1)3( )( x xmmx xf ，.1 分 记1)3()( 2 xmmxxh，则mm4)3( 2 =910 2 mm， 当91 m时，0，0)( xf，函数)(xf单调递增，.2 分 当10 m时 ，0，)(xh有 两 个 大 于 零 的 根 m mmm x 2 9103 2 1 ， m mmm x 2 9103 2 2 ， 令0)( xf，得, 0 21 xxx，令0)( xf，得 21,x xx，.3 分 当9m时，0，)(xh有两个小于零的根 m mmm 2 9103 2 ， 故0)( xf,)(xf单调递增.4 分 综上所述，当1m时，函数)(xf的增区间为, 0，无减区间； 当10 m时，函数)(xf的增区间为 , 2 9103 2 9103 , 0 22 m mmm m mmm ， 函数)(xf的减区间为 m mmm m mmm 2 9103 2 9103 22 ，；.6 分 （2）依题意得， 2 3 2 2 3 1 21 ,xmexme xx ， 所以 11 lnln 2 3 xmx， 22 lnln 2 3 xmx， 故 1212 ln 2 3 ln 2 3 xxxx ，7 分 又 1 2 x x =t， 21 xx ，则1t，且 txx txx ln 2 3 12 12 ， 解得 1 ln 2 3 1 t t x ， 1 ln 2 3 2 t tt x ，所以 2 3 21 xx 1 ln) 1( t tt ，8 分 8 令 1 ln) 1( )( x xx xr ， , 1x ，则 2 ) 1( 1 ln2 )( x x xx xr 9 分 令 x xxxu 1 ln2)(，则0) 1 1 ( 1 1 2 )( 2 2 xxx xu，则)(xu单调递增， 故对任意的), 1 ( x，0) 1 ()( uxu，10 分 由此可得0)( xr，故)(xr在), 1 ( 单调递增 因此 21 xx 随着t的增大而增大12 分 22. 解： （1）由)20(2，得4 22 yx设 11 P,x y，Q, x y， 则 11 2 , 22 xy xy ，即 11 22,2xxyy，代入4 22 yx， 得 22 2224xy，11 22 yx）（；. 5 分 （）将 2 ,xx yy 代入 2 C得 22 1x