江苏高考数学一轮复习突破140必备01函数的切线问题学案

专题01 函数的切线问题由导数的几何意义可知函数在处的导数即是函数在处的切线的斜率。故函数在处的切线方程是，是切点坐标，既在函数上也在切线方程上；与切线有关的考题一般分为以下三类：过上的点的切线方程为过外一点向其作切线，先设切点为，写出切线方程，又在切线上，代入得函数与的公切线。若切点是同一点，这按照的解题方法。若切点不同，先假设上的切点，得到切线方程；上的切点，得到切线方程，因为切线是同一条直线，故得到两个等式、下面通过具体与切线有关的例题来看看实际应用。例1、（2015江苏高考17）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为2，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为千米和千米，点到的距离分别为千米和千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中为常数）模型（1）求的值；（2）设公路与曲线相切于点，的横坐标为请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度解：（1）由题意可得：，代入函数解得答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米。 例2、（2015无锡高三期末20）设函数在点处的切线方程为.（1）求实数及的值；解：(1) 所以在点处的切线方程为其中， 解得 例3、（2018高三上百校联考21）已知函数（为常数），其图像是曲线（3）已知为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.例4、（2018苏锡常镇高三二模19）已知函数（2） 函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式解：设，则在点的切线方程为：即与联立方程组得：分组因式分解化简：所以点的横坐标，由题意即例5、（2018苏北四市高三上期末19）已知函数，若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围解：（2）设函数上点与函数上点处切线相同，的切线方程：，的切线方程：所以 ； 由解得代入中得：设，则不妨设则当时，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增代入可得：设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又所以当时，即当时 又当时 因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同又由得：所以单调递减，因此所以实数的取值范围是 巩固练习：1、（2018常州高三上期末11）已知函数，其中若过原点且斜率为的直线与曲线相切，则的值为2、（2018无锡高三上期末20）已知函数，其中.（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；3、（2018扬州高三上期末19）已知函数，.（1）若，且函数的图像是函数图像的一条切线，求实数a的值；4、（2018南京盐城高三上期末20）设函数，（）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值； 5、（2017盐城高三第三次模拟19）设函数.（2）若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点. 求与的值；6、（2016南通高三一模13）在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为和,求的值7、（2016盐城高三三模19）已知函数（）.（3）试给出一个实数的值，使得函数与的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.8、（2016南京高三三模19）设函数（3）若存在，使得函数图象上有且仅有两个不同的点，且函数的图象在这两点处的两条切线都经过点，试求的取值范围 巩固练习答案解析： 2、解：（1）设切点为，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，化简得，解得.当时，切线方程为，当时，切线方程为.3、解：（1）由知，的图象直线过点，设切点坐标为，由得切线方程是此直线过点，故，解得，所以 4、解：（1）由，得，又，所以.当时，所以，所以. 因为函数与的图象在处有相同的切线，所以，即，解得. 6、解：在点处的切线：在点处的切线：所以，即7、解：（3）符合题意. 此时.设函数与上各有一点，则以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，由两条切线重合，得 （*）， 消去，整理得，即， 令，得，所以函数在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有唯一零点，从而方程组（*）有唯一解，即此时函数与的图象有且只有一条公切线.故符合题意. 注：其实这个题目最后就是由加入控制变量得到的，很多恒成立的不等式都是根据数形结合结合曲线的切线得到的，在后面的专题05和06中都会经常用到这个不等式8、解：（3）设两切点的横坐标分别是则函数)在这两点的切线的方程分