用向量方法解题的几种类型高三数学复习案例

8 3 2 数 学教 学 2 0 0 3 年第8 期 用向量方法解题的几种类型 一 高三数 学复习案例 2 0 0 1 3 5上海市建平中学 周宁医 向量作为工具性知识已列入中学数学教材 之中， 其应用价值 已被广大师生认可用向量 知识解题， 方法新颖、运算简捷， 是启迪学生 思维的有效途径之一 以下是笔者在高三复习中， 尝试“ 研究性复 习” 教学时使用的一些例题 一 、用向量知识证明某类等式 证明等式一般说来都要进行 繁杂的运算， 如果等式具备向量代数某些特征时， 应用向量 知识较为简单 例 1 已在 ( -t- Y - t- Z 2 ) ( 0 - t- b - t- C ) = ( a x- t- b y- t- c z ) ， 且 、Y 、Z 、a 、b 、C 为非零 实数， 求证： = = = 分析： 由实数 、Y 、 与实数 a 、b 、c X 应成 比例， 联想到向量 ( 线段) 平行， 进而联想向量 坐标 构造向量 = ， Y ， z ) ， = 0 ， b ， c ) ， 与 夹角为 ， 0 ， 7 r 】 ， 则 cos ( ) ( a x+b y+c z ) ， ( +Y + ) ( a +b +C ) 一 由此 得 = 0 或 = 7 r 希 兰： _y： 兰 例 2 已知 a 41 一b 2 +6 、 1 一a 2= 1 ， 求 证 ： a + b = 1 分析： 题设与结论都与 l 有关， 由题设联想 到向量 设 =( n ， 、 1 0 2 ) ， = 1一b ， 6 ) ， 与希 夹角为 ， 0 ， 7 r 】 ， 则 希 =I 希I I I C O S = 1 ， 又I I = I = 1 C O S = 1 = 0 肃 = 或 =一 即 a=士、 1 6 且 、 1 一a 2=士6 = a + b 2= 1 说明： 此两例是在常规解题方法之后， 通过 探究而获得的， 下同 二、用向量知识证明某些定理 ( 公式) 用向量知识证明某些定理 ( 公式) ， 能起到 降低教学难度、提高学习能力的作用 例 3 在 ABC 中，a 、 b 、 C 分别是 、 、 所对 的边 求证： C =a +b 一2 a b C O S C( 余弦定理) 分析： 如图 1 ，设 I I= b ，I JE ； I= 0 ， I 百I ： c= 百 ： 百 一 = C 2= I I z： I 一 I z： ( 一c- ) 2： 2+ 2 一 一 一 2：2+ b 2A 2 CB CA C a b B+ 一 = 2= + 一 t 图 1 图 2 例 4 试证： C O S ( Q一 )= C O S a C O S + s i n o c s i n8 分析： 如图2 ， 设 I I = 1 ， I 6 I = 1 、6 与D 轴夹角分别为O t 、 ， =： cco。s a ,sinn a ), 与 夹 角 为 ， ： cos ，sin ) 。 勺 。 犬 用 刀 则 c。 s F 辛 c 。s a c。 s + sin a s i n C O S ( a一 ) =C O S a C O S +s i n a s i nf1 例 5 证 明直 线和平 面垂直 的判定定理 ： 如 果一条直线和一个平面相交， 并且和这个平面 维普资讯 2 0 0 3 年第8 期 数 学教 学 8 3 3 内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线和这 个平面垂直 分析： 如图3 ， 已知平面 ， 直线m、扎 ， m C ，n c ， 且m n扎= 0， 又直线 f ， f 上 m， f 上扎 求证： f 上 在平面 内任取一直线g ， 在直线 m、 扎 、 g 、 f 上分别取非零向量 1 、 1 、 1 、 f 1 ， 由 于 帚 1 、 1 、 1 共面， 可设 1= 1 + 刁 1 ( 、 不同时为零) ， 故 f 上m：- -4 - 1 肃1 =0 f 上 n - -4 7 =1 1 ： 0 7 1 。 =71 ( 肃1 + 1 ) ： ( 7。 肃1 ) + ( f 1 1 ) =0 f 上g 图 3 例6 求证： 点P( x o ， Y o ) 到直线A x+b y + C =0 的距离是 d= Ax o +By o +C 分析： 在直线上任取一点 M ( x ， ) ， 构造向 量才 = ， B) ，b = X O ， ?， 一 0 ) ， 其夹 角为 ， 则 J b J =J A( xX O ) +B( UV o ) J = J A x o +By o +C J =x A 2 +B 、 ( 0 ) +( Y一 0 ) J C O S J 而、 ( 0 ) +( Y 一 0 ) - C O S J =d 就 是点P( x o ， Y o ) 到直线Ax+By+C =0 的距 离， d= Ax o+By o +C 三、用向量知识证明某类不等式 证明不等式的方法有多种， 但某些含有乘 方之和与乘积之和的不等式， 应用向量证明效 果会更 显著 例 7 证明不等式： ( a +C ) ( b +d ) f 0 6 +c d ) 分析： 构造向量肃 = a ， c ) ， =( 6 ， d ) ， 肃 与育 夹角为 ， 【0 ， 丌 】 则 ( 肃 ) = ( J 肃 J J J C O S ) = J J J J C O S J J J J 即 ( a +C 2 ) ( 6 +d ) ( a b +c d ) 例8已知 a 、 b 、 c 为两两不等的正实数， 求 证 ( 0 +b +C 4 ) ( 0 +b +c ) ( a 。 +b 。+ c 3 1 2 分析： 构造 向量 =a ， b ， C 2 ) ， = ( 0 ， b ， c ) ， 注意a 、b 、 C 为两两不等的正实数， 余 下同例7 n 、 2 评注： 以上两例还可推广为： I 0 i ) ( 。 ) ( 6 ) 四、用向量知识解有关三角问题 例9 求 =s i n +2 s i n x C O S +3 C O S 的最值 分析： 原函数可变为 =2 +s i n 2 x +c o s 2 x ， 令 =s i n 2 x +c o s 2 X ， 构造向量 = s i n 2 x ， c o s 2 z ) ， =( 1 ， 1 ) ， 则 =I s i n 2 x +c o s 2 x I = J J J J J J = ， 所 以 Y m = 2- - ，Y i = 2一 、 例 1 0已 知 、 z e ( o ， 三 ) ， 且 C O S O + c 。 s c o s ( + ) = ， 求 、 的值 分析： 将原条件变形为： s i n s i n fl+( 1 一 CO S cos = 三 一 c 造 向 量 刁 = s i n a ， 1 一c o s ) ，b = s i n fl ， c o s ) ， J = 3 co s l 、 s in + ( 1 一 C 0 8 ) 、 s in + c o s ( c 。 s 一 ) 。 c 。 s = 1 Q： 7 r ，由Q 、 的对称性知 ： 孟 、 用 向 量 知 识 求 有 关 函 数 盎 值 求函数最值问题， 有时候按照常规方法求 解有一定的难度， 当具有某些条件时， 用向量 知识解答， 将使求解变得容易。 例 l 1 已知 a0 ， 求函数Y=、 4 0 +X 2 +、 ( 一0 ) +a 的最小值 分析： 根据函数式的结构联想到向量的模， 于是构造向量 = ， 2 a ) ， 育 = 0一 ， 0 ) ， 利用Y= J 肃J +J 育 J J 肃 +育 I = 、 1 0 0 ， 可 取得函数的最小值， 注意 的取值与向量 、 刁 的关 ，系 维普资讯 L 数学教学 2 0 0 3 年第8 期 例 1 2 ( 1 9 9 8 年上海高考题)复平面上点 、JE 对应的复数分别为z 1= 2 ， z 2= 一3 ， 点 P对应的复数为 ， 的辐角主值为 ， 当 一 0 点P在以原点为圆心， 1 为半径的上半圆周 ( 不 包括两个端点) 上运动时， 求 的最 小值 图 4 分析： 设 P( x ， ) ， 则 + Y = 1 ( 一1 0 IA I I A-I I A-I I A-I 0 Z B A C 三 同理 0 ZABC ， 0 ZACB 0 0 ZBAC 同理可证 0ZA BC ， 0 B 0 ) ， 则 A( O ， 0 ， 0 ) 、 D( -2 a ， 0 ， 0 ) 、 AI ( 0 ， 0 ， 2 a ) 、 ( 下转第8 - 4 9页) 维普资讯 2 0 0 3 年第8 期 数学教学 9 一AP 易证以( = ) 为圆心， ( = ) P为半径的圆满足 2 0 0 3 g g8期问题AO 一易证以( = ) 为圆心， ( = ) P为半径的圆满足 期 I 司是 重 要求 A X I X 图 3 现在来证明： 当B C边与上述O (= ) 相切于 点 P时， AA BC的周长最小 A B B1 X 图 4 过点 J F ) 任作一条割线 B 分别与 的 两边交于j E i 、C ， 将割线 j E i 向 的方 向 平移， 得直线B1 ， 它分别与 的两边交于 jE i 1 、 1 ， 且与O (二 ) 相切 易知AA BC的周长 = A X +AY = AB1 C1 的周 长 jE i 的周长 故此时AABC的周长最小 5 9 1 A D、 BE、CF是锐角 j E i 的三 条高， 、分别是 BE、CF的中点， 求证： j ) M N ABC ( 安徽黄全福供题) 5 9 2 设四面体ABCD的对棱AB、 D互 相垂直， A B与 CD的距离为d ， 四面体 ABCD 的表面积为s ， 体积为 ， 求证： ( 湖南胡如松供题) 5 9 3 已知nN， n2 ， 且( 2 + +1 ) a= m7 r + ， m Z ， 求i lE ： 2 - 1 t a n 2 k a+ = 1 2 t a n a=t a n ( 2 + 一1 ) a ( 江苏沈建平供题) 5 9 4 已知n为正整数， 且n4 ， 求证： 1 1 1 1 7 + + + + 而 ( 江苏王卫华供题) 5 9 5 设非钝角 B 的三边a 、b 、c _ k的 gN h 。 、h b 、h ， 求证： h A a + T hb + h _A c 5 ( 湖北贺斌供题) ( 本栏 目责任编辑李大元 赵小平 汪纯中) ( 上接 第8 3 4 页) D1 ( -2 a ， 0 ， 2 a ) 、E( 0 ， 2 a ， 0 ) 、F( -2 a ， a ， 0 ) ( 1 ) A D = - 2 a ， 0 ， 0 l， j ) 1 = 0 ， a ， - 2 a ， A D j ) 1 =- 2 a 0 +0 0 +0 ( 一 2 a ) = 0 。 AD 1 D I F ( 2 ) E =( 0 ， 2 a ， 0 ， J ) 1 户=( 0 ， a ， - 2 a ， 设 与j ) 1 所成的角为 ， j ) 1 2 a 2 a ，、 丽 一 o l l lD 1 l 5 0 0=9 0 。 ， 。 E和 DI F所成的角为 ( 3 ) D = - 2 a ， 0 ， 0 l ， j ) 1 = 0 ， a ， - 2 a ， 且 D D1 F=0 = A D上D1 F 又 A 1 DI F， 。 D1 F 1 l 平面 A ED， 故平面 Ej ) 上平面 AI FD1 本题也可以先向学生介绍平面法向量的概 念， 然后用平面法向量知识求证 设平酣 D的法向量为 = 1 ， Y l ， Z l ， 平面