江苏高邮界首中学高二数学 第10课时 指数与指数函数学案

第10课时 指数与指数函数【学习目标】1、熟悉指数式的概念；理解分数指数幂；2、理解指数函数的概念，理解指数函数的图象和性质；3、能够熟练地解决与指数函数有关的问题。【学习重点】指数函数的性质及其应用【预习内容】1根式的性质(1)()na.(2)当n为奇数时a；当n为偶数时2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图像与性质yaxa10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1在(，)上是增函数在(，)上是减函数注意点1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数2指数函数yax(a0，a1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1或0a1.【基础练习】 1化简(2)6(1)0的结果为_答案：72若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知0a211，即1a22，得a1或1a0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.解析：当a1时，f(x)ax1在0,2上为增函数，则a212，a.又a1，a.当0a1时，f(x)ax1在0,2上为减函数又f(0)02，0a1不成立综上可知，a.答案：5、设，则的大小关系是 。答案：【典型示例】考点一指数幂的化简与求值例1、求值与化简：(1)022(0.01)0.5；(2)ab2(3ab1)(4ab3)；(3)解：(1)原式111.(2)原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.(3)原式ab.考点二指数函数的图像及应用例2、比较下列各组数的大小：(1)40.9，80.48，；(2)0.80.5与0.90.4.解析：（1），又函数在上单调递增，所以，即。（2），故。例3、(1)(2013苏锡常镇一调)已知过点O的直线与函数y3x的图像交于A，B两点，点A在线段OB上，过点A作y轴的平行线交函数y9x的图像于点C，当BCx轴时，点A的横坐标是_(2)已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有_个解析(1)设A(x0,3x0)，由AC平行于y轴，则C(x0,9x0)又因为BC平行于x轴，则B(2x0,9x0)因为O，A，B三点共线，所以x09x02x03x0，得3x02，所以x0log32.(2)函数y1x与y2x的图像如图所示由ab得，ab0或0b0，a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解针对训练1(2013徐州摸底)已知直线ya与函数f(x)2x及g(x)32x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为_解析：由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值不妨设a3，则由32x3知xB0.由2x3知xAlog23，故ABxAxBlog23.答案：log232方程2x2x的解的个数是_解析：方程的解可看作函数y2x和y2x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案：1考点三指数函数的性质及应用例4、函数的递减区间为 ；最小值是 。 答案：；。变式1：若函数，则它的值域为 ；答案：变式2：已知：，求函数的最大值。答案：。例5、 函数在区间上的最大值是，求实数值。分析通过换元，转化为二次函数在闭区间上最值问题。解析令，则当a1时 ， 时，取最大值，即，（舍去）当时，时，取最大值，即，（舍去）综上：针对训练已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解：(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使yg(x)的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0.(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.课堂训练1已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)等于_解析：由f(a)3得2a2a3，两边平方得22a22a29，即22a22a7，故f(2a)7.答案：72已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域是_解析：由f(x)过定点(2,1)可知b2，因f(x)3x2在2,4上是增函数，fmin(x)f(2)1，fmax(x)f(4)9.答案：1,93函数y823x(x0)的值域是_答案：0，)4已知正数a满足a22a30，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为_答案：mn5函数f(x)ax(a0，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，则a的值为_解析：当a1时，f(x)ax为增函数，在x1,2上，f(x)最大f(2)a