福建泉州高三数学上学期单科质量检查 文PDF答题全析解答题部分

市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 1 页（共页（共 11 页）页） 准考证号准考证号_姓名姓名_ （在此卷上答题无效） 保密保密启用前启用前 泉州市泉州市 2020 届高中毕业班单科质量检查届高中毕业班单科质量检查 文文 科科 数数 学学 2020.1 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答生都必须作答第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） 记数列 n a的前n项和为 n S若233 nn Sa. （1）证明： n a为等比数列； （2）设 9 log nn ba，求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 【命题意图】本题主要考察等比数列的定义及通项公式、数列求和的裂项相消法等基础知识，考查运算求 解能力，考查化归与转化思想，体现基础性，导向对发展数学抽象、数学运算及数学建模等 核心素养的关注 【试题简析】 解解： （1）由已知，得233 nn Sa， 当2n时， 11 233 nn Sa ， 2 分 ，得 -1-1 22(33)(33) nnnn SSaa，即 -1 233 nnn aaa， 整理，得 1 32 n n a n a ，5 分 又由 11 233Sa，得 1=3 0a，所以 n a是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.6 分 （2）由（1）得=3n n a，所以 9 log 3 2 n n n b ，8 分 所以 1 1411 =4() 11 nn b bn nnn ， 10 分 市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 2 页（共页（共 11 页）页） 故 n T= 11111114 4()+4()+4()4(1) 1223111 n nnnn .12 分 18 （12 分） ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知( 3cos)cosaCcA （1）求 b a ； （2）求cos A的最小值 【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理等解三角形的基础知识，结合考察了基本不等式的基础 知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与 方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及 数学建模等核心素养的关注 【试题简析】 解法解法 1:（1）在ABC中，由正弦定理，得 sinsinsin abc ABC ， 1 分 从而由( 3cos)cosaCcA，可得sin( 3cos)sincosACCA， 2 分 整理，得3sinsincoscossinAACAC，即3sinsin()AAC，4 分 又因为ABC，所以sin3sinBA， 5 分 所以3 b a 6 分 （2）由（1）不妨设33ba，则3131c ，7 分 在ABC中，由余弦定理，得 222 cos 2 bca A bc ， 8 分 所以 2222 ( 3)12126 cos() 3232 32 3 cc Ac ccc ， 11 分 当 2 c c 即2c 时，等号成立，故cos A取到最小值为 6 3 12 分 解法解法 2： （1）同解法 1； 6 分 （2）因为 3sinsinAB ，所以 3aba ，则A为锐角， 7 分 因为sin1B，所以 33 sinsin 33 AB ，8 分 市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 3 页（共页（共 11 页）页） 当且仅当sin1B 即 2 B 时，sin A的最大值为 3 3 9 分 因为sin A在 (0,) 2 单调递增，所以此时A最大， 10 分 又因为cos A在 (0,) 2 单调递减，11 分 所以A最大时，cos A取到最小值为 2 6 1 sin 3 A 12 分 19 （12 分） 如图，MA平面ABCD，CN平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，60BAD ， 1CN，3AM. （1）证明：/BN平面ADM； （2）求三棱锥NADM的体积. 【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行的判定，线面垂直的性质，三棱锥体积的求解等基础知识， 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，体现基础性、 综合性与应用性，导向对逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注 【试题简析】 解法解法 1： （1）因为MA平面ABCD，CN平面ABCD，所以NCMA/， 1 分 又MA平面ADM，NC平面ADM，所以/NC平面ADM. 2 分 因为四边形ABCD是菱形，所以ADBC/， 3 分 又AD平面ADM，BC平面ADM， 所以/BC平面ADM，4 分 又BCNCC，BC 平面BCN，CN 平面BCN， 所以平面/BCN平面ADM，5 分 又BN平面BCN，所以/BN平面ADM.6 分 市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 4 页（共页（共 11 页）页） （2）由（1）知，/BN平面ADM， 所以点N到平面ADM的距离等于点B到平面ADM的距离 8 分 取AD的中点E，连接BE，BD 因为四边形ABCD是边长为2的菱形，60BAD ， 所以ABD是边长为2的等边三角形，所以ADBE ，且3BE， 10 分 又因为MA平面ABCD，BE 平面ABCD，所以BEMA ， 又MAADA，MA平面ADM，AD平面ADM， 所以BE平面ADM，故所以点N到平面ADM的距离为BE11 分 所以三棱锥NADM的体积 111 2 333 332 NADMADM VSBE 12 分 解法解法 2： （1）同解法 1； 6 分 （2）由（1）知，/BN平面ADM， 所以点N到平面ADM的距离等于点B到平面ADM的距离， 8 分 所以 NADMB ADM VV ， 9 分 因为MA平面ABCD，所以MA是三棱锥MABD的高， 10 分 又ABD是边长为 2 的正三角形， 所以 113 4 33 334 NADMB ADMMABDABD VVVSMA 12 分 20 （12 分） 已知抛物线E的顶点在原点，焦点在y轴上，过点(1,0)A且斜率为 2 的直线与E相切 （1）求E的标准方程； （2）过A的直线l与E交于,P Q两点，与y轴交于点R，证明： 2 ARAPAQ 【命题意图】本小题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查 推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等， 市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 5 页（共页（共 11 页）页） 体现基础性、综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算等素养的关注 【试题简析】 解法解法 1： （1）过点(1,0)A且斜率为 2 的直线方程为2(1)yx，即22yx， 1 分 设E的方程为 2 (0)xay a， 2 分 由 2 22, , yx xay 消去y，得 2 220 xaxa，3 分 因为直线与E相切，所以 2 480aa ，4 分 解得0a （舍去）或2a ， 所以E的标准方程为 2 2xy.5 分 （2）设l的方程为(1)yk x， 1122 ( ,),(,)P x yQ xy 令0 x ，得yk ，即(0,)Rk， 6 分 由 2 (1), 2 , yk x xy 消去y，得 2 220 xkxk，7 分 因为l与E相交，所以 2 480kk ，解得2k 或0k ， 设，则 1212 2 ,2xxk x xk， 12 2xxk， 12 2x xk， 8 分 2 1 11APkx， 2 2 11AQkx，9 分 从而 222 211212 (1)11(1)() 11APAQkxxkx xxxk， 10 分 又 2 2 1ARk， 11 分 所以 2 ARAPAQ. 12 分 解法解法 2： （1）过点(1,0)A且斜率为 2 的直线方程为2(1)yx，即22yx， 1 分 市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 6 页（共页（共 11 页）页） 设E的方程为 2 (0)xay a即 2 1 yx a ，2 分 则 2 yx a ，3 分 直线22yx与E相切于点 00 (,22)B xx ，则 0 2 00 2 2, 1 22, x a xx a ，4 分 解得 0 2, 2, x a 所以E的标准方程为 2 2xy.5 分 （2）设l的方程为(1)yk x， 1122 ( ,),(,)P x yQ xy，6 分 由 2 (1), 2 , yk x xy 消去y，得 2 220 xkxk，7 分 因为l与E相交，所以 2 480kk ，解得2k 或0k ， 12 2xxk， 12 2x xk， 8 分 分别过,P Q作PPx轴于P，QQx轴于Q，则PPQQ， 所以 APAP ARAO ，= ARAO AQAQ ，9 分 又 1 1APx， 2 1AQx，1AO ， 10 分 所以 2 1212 () 11APAQx xxxAO ，11 分 故 = APAO AOAQ ，从而 APAR ARAQ ，即 2 ARAPAQ12 分 21 （12 分） 已知函数 2 ( )(1)ln 2 a f xxaxx （1）讨论( )f x的单调性； （2）当1x时， e ( ) 2 f x，求a的取值范围 【命题意图】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值等问题，考查抽象概括能力、推理 论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形 市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 7 页（共页（共 11 页）页） 结合思想、有限与无限思想，体现综合性、应用性与创新性，导向对发展数学抽象、逻辑推 理、直观想象、数学运算以及数学建模等核心素养的关注 【试题简析】 解法解法 1： （1）函数( )f x的定义域为(0,)， 2 1(1)1(1)(1) ( )1 axaxaxx fxaxa xxx ， 1 分 当0a时，10ax ，则( )0fx ，故)(xf在), 0( 单调递减； 2 分 当0a时，令0)( x f，得 a x 1 ；令0)( x f，得 a x 1 0， 故)(xf在) 1 , 0( a 上单调递减，在) 1 (， a 单调递增. 4 分 综上，可得当0a时，)(xf在), 0( 单调递减； 当0a时，)(xf在) 1 , 0( a 单调递减，在) 1 (， a 单调递增. 5 分 （2）当0a时，因为 242 e (e )e(1)e22 22 a fa ，所以0a不符合题意；6 分 当0a时，由（1） ，知)(xf在) 1 , 0( a 单调递减，在) 1 (， a 单调递增 （）当 1 1 a 即1a时， 1 ()(1) ( )0 a xx a fx x ，所以( )f x在), 1 单调递增，7 分 故 31e ( )(1)1 222 f xfa ，故1a满足题意.8 分 （）当1 1 a 即10 a时，( )f x在) 1 , 1 a 单调递减，在), 1 ( a 单调递增， 9 分 故 min 111 ( )( )1ln 2 f xf aaa ，10 分 要使“当1x时， e ( ) 2 f x” ，只需满足 1e ( ) 2 f a ， 令 1 ( )1ln (0) 2 g ttt t ，则0 1 2 1 )( t tg，故( )g t在(0,)单调递减， 11 分 又 e (e) 2 g ，从而由 1e ( ) 2 f a 即 1 ( )(e)gg a ，可得 1 e a ，解得 1 1 e a ， 综上，可得a的取值范围为 1 ,) e 12 分 解法解法 2： （1）同解法 1； 5 分 （2）当1x时， e ( ) 2 f x可化为 2lne 2 (2) xx a x x ， 6 分 市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 8 页（共页（共 11 页）页） 令 22lne ( )(1) (2) xx g xx x x ，则 22 2(1)( 2ln2e) ( ) (2 ) xxx g x xx ， 7 分 因为( )2ln2exxx 在1,)单调递减，且(e)0，8 分 所以当1ex 时，( )0 x，从而( )0g x ，故( )g x在1,e)单调递增； 当ex 时，( )0 x，从而( )0g x ，故故( )g x在(e,)单调递减，9 分 所以 min 1 ( )(e) e g xg，10 分 要使“当1x时， e ( ) 2 f x即 2lne 2 (2) xx a x x ” ，只需 min ( )ag x即 1 e a， 所以a的取值范围为 1 ,) e 12 分 解法解法 3： （1）同解法 1； 5 分 （2）当1x时， e ( ) 2 f x可化为 1lne (1)1 22 x ax xx ，6 分 令 lne ( )1(1) 2 x g xx xx ，则 e (1)1 2 g ， 222 1 lne2ln2e ( ) 22 xx g x xxx ，7 分 令( )0g x ，得 2 e 2 ex ， 当 2 e 2 1ex 时，( )0g x ，所以( )g x在 2 e 2 (1,e) 单调递增； 当 2 e 2 ex 时，( )0g x ，所以( )g x在 2 e 2 (e,) 单调递减， 9 分 设过点( 2,0)的直线l与函数( )g x的图象相切于点 00 (, ()x g x，则 0 0 0 ()0 () 2 g x g x x ， 即 00 0 2 000 e ln 2ln2e 2 2(2) xx x xx x ，整理，得 00 2ln2exx， 因为( )2lnxxx在(0,)单调递增，且(e)2e，所以 0 ex ， 所以切线l的斜率 00 1 () 2e kg x，10 分 如图，作出函数( )g x的图象， 市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 9 页（共页（共 11 页）页） 由图可知，要使“当1x时， e ( ) 2 f x即 1lne (1)1 22 x ax xx ” ，只需 1 22e a ，解得 1 e a， 所以a的取值范围为 1 ,) e 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分 22选修44：坐标系与参数方程（10 分） 在同一平面直角坐标系xOy中，经过伸缩变换 2 ,xx yy 后，曲线 22 1: 1Cxy变为曲线 2 C. （1）求 2 C的参数方程； （2）设2,1A，点P是 2 C上的动点，求OAP面积的最大值，及此时P的坐标 【命题意图】本小题主要考查直角坐标系的伸缩变换，椭圆的参数方程，直线与椭圆的位置关系等基础知 识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合 思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注 【试题简析】 解法解法 1： （1）由伸缩变换 2 ,xx yy 得到 1 , 2 . xx yy 1 分 将代入 22 1xy，得到 22 1 +=1 2 xy（），整理得 2 2 2: +=1 4 x Cy . 3 分 所以 2 C的参数方程为 2cos , sin x y （为参数） 5 分 （2）设2cos ,sin02P，直线:20OA xy， 6 分 则P到直线OA的距离为 2 2sin() 2cos2sin2 2 4 555 d ， 8 分 市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 10 页（共页（共 11 页）页） 所以 1112 2 552 2225 OAP SOA dd . 当 3 = 4 或 7 = 4 时，OAP面积的最大值为2，9 分 此时P 2 2, 2 或 2 2, 2 .10 分 解法解法 2： （1）同解法 1； 5 分 （2）直线:20OA xy，设直线l：20 xyc. 由 2 2 20 1 4 xyc x y ， ， 消去y得到 22 2240 xcxc， 6 分 令=0，得 22