福建福州高三数学质量检测理

理科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 11 页） 2018 年福州市高中毕业班质量检测 理科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 60 分分 （1）B （2）C （3）B （4）B （5）D （6）A （7）D （8）B （9）C （10）C （11）D （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 （13）6 （14） 3 3 4 （15）6, （16）1 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17) 本小题考查等差数列的通项与前n项和的公式、等比数列的前n项和的公式、错位相 减法求数列的和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归和转化 思想等满分 12 分 解法一： （1）设等差数列 n a 的公差为d， 因为 105 5 105 SS ， 所以 11015 105 22 5, 105 aaaa 2 分 所以 105 10,aa 3分 所以510d ， 解得2d . 4分 理科数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 11 页） 所以 1 (1)2(1)22 n aandnn ； 5分 (2)由（1）知，2 n an ，所以 2 22 2 n nn Snn 6分 所以 2 12 2 424222, n n S nn ann n nn bannn 7分 所以 3452 1 222222n n Tn ， 所以 45623 2 1 2223 2(1) 22 nn n Tnn ， 8分 3423 2222 nn n Tn 9分 3 3 2 (12 ) 2 12 n n n 10分 33 282 nn n 11分 所以 3 (1)28 n n Tn . 12分 解法二： （1）设等差数列 n a 的公差为d， 因为 105 5 105 SS ， 所以 11 10954 10+5+ 22 5, 105 adad 2分 所以 5 5 2 d ， 3分 解得2.d 4分 所以 1 (1)2(1)22 n aandnn; 5分 (2)由（1）知，2 n an ，所以 2 22 2 n nn Snn 6分 所以 2 12 2 424222, n n S nn ann n nn bannn 7分 设 322 (1) 2() 2(2) 2 nnn n bA nBAnBAnAB ， 8分 所以 22 2(2) 2 nn nAnAB ， 所以 1, 20, A AB 解得 1, 2. A B 9分 所以 32 (1) 222 nn n bnn ， 10分 理科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 11 页） 所以 12nn Tbbb 356532 0121 20221 2(1) 222 nn nn 11分 33 (1) 212 n n 3 (1)28 n n 12分 (18) 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的平行关系及线面角等基础知识，考查 空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分12分 解： （1）证明:如图，连接 1 AB、 1 AB交于点H， 1 AB交EF于点K,连接DK， 因为 11 ABB A为矩形,所以H为线段 1 AB中点, 1分 因为点E、F分别为棱 1 ,AB BB的中点， 所以点K为线段BH的中点，所以 1 3AKBK 又因为3CDBD，所以 1 ACDK 2分 又 1 AC 平面DEF，DK 平面DEF， 3分 所以 1 AC平面DEF； 4分 （2）由（1）知， 1 EHAA，因为 1 AA 平面ABC，所以EH 平面ABC 因为ABC为正三角形，且点E为棱AB的中点， 所以CEAB 5分 故以点E为坐标原点，分别以,EA EH EC 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系Exyz设4AB ， 1 0AAt t（）， 则 1(2, ,0), (0,0,2 3),(0,0,0),( 2,0) 2 t AtCEF ， 33 (,0,) 22 D ， 所以 1 ( 2,2 3),( 2,0) 2 t ACtEF ， 因为 1 ACEF，所以 1 0AC EF ， 所以 222 300 2 t t ，解得2 2t 7分 所以( 2, 2,0),EF 33 (,0,) 22 ED ， 设平面DEF的法向量为 ( , , )nx y z ， x y H K F D E B1 C1C B A1A z 理科数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 11 页） 则 0 0 EF n ED n ，所以 220 33 0 22 xy xz ， 取1x ，则(1, 2, 3)n 9分 又因为 11 ( 2,0,2 3)ACAC ，设直线 11 AC与平面DEF所成的角为， 所以 11 sincos, n AC 11 11 n AC nAC 46 664 11分 所以直线 11 AC与平面DEF所成的角的正弦值为 6 6 . 12分 (19) 本小题主要考查频率分布直方图，随机变量的分布列与期望，二项分布，样本的数字 特征及正态分布等基础知识，考查用数据说话的能力、运算求解能力，考查或然与必 然思想等满分12分 解： （1）由频率估计概率， 产品为正品的概率为0.0330.0240.0080.002100.67， 2分 所以随机变量X的分布列为： 90 30 P 0.67 0.33 3分 所以 90 0.67300.3350.4E . 4分 （2） 由频率分布直方图， 抽取产品的该项质量指标值的样本平均数x和样本方差 2 s分 别为 700.02800.09900.221000.33 1100.241200.081300.02100 x ， 5分 22222 22 300.02200.09100.2200.33100.24200.08s 2 300.02150 6分 因为100,150ZN， 从而88.8112.2100 12.2100 12.20.6826PZPZ. 8分 理科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 11 页） 由知，一件产品中该项质量指标值位于区间87.8,112.2的概率为0.6826， 依题意知500,0.6826XB， 10分 所以5000.6826341.3E X. 12分 (20) 本小题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆的概念等基础 知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化的思想、 分类与整合思想等满分12分 解法一： （1）设点( , )M x y,由2MQAQ ，得( ,2 )A xy， 2分 由于点A在圆:C 22 4xy上，则 22 44xy， 3分 即点M的轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y. 4分 （2）由（1）知，E的方程为 2 2 1 4 x y， 因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B0,1 . 所以过点B斜率为k的直线l的方程为1(0)ykxk. 由 2 2 1 1 4 ykx x y 得 22 (14)80kxkx， 设 1122 ( ,), (,)B x yP xy，因此 12 2 8 0, 14 k xx k ， 5分 22 12 2 8 11 14 k BPkxxk k . 6分 由于圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设在轴左侧的椭圆上有两个不同的公共 点,P T，满足BPBT此时直线BP斜率0k ， 记直线BT的斜率为，且 1 0k ， 1 kk 则 12 1 2 1 8 1 14 k BTk k ， 7分 故 122 1 22 1 88 11 1414 kk kk kk ,所以 24 24 11 22 1 0 1414 kkkk kk ， 即 224224 111 (14)(14)kkkkkk， 4y 1 k 理科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 11 页） 所以 222222 111 ()(18)0kkkkk k， 8分 由于 1 kk，因此 2222 11 180kkk k， 故 2 21 2 2 1 1 119 8188 81 k k kk . 9分 因为 2 0k ，所以 2 1 810k ， 因此 2 2 1 191 888 81 k k ，又因为0k ，所以 2 4 k . 10分 又因为 1 kk，所以 2222 180kkk k， 所以 42 821 0kk ，又因为0k ，解得 2 2 k . 所以 222 (,)(,) 422 k； 根据椭圆的对称性， 222 (,)(,) 224 k 也满足题意； 11分 综上所述，k的取值范围为 222222 (,)(,)(,)(,) 224422 12分 解法二： （1）设点 11 ( , ), ( ,),M x y A x y则 1 ( ,0)Q x. 因为2MQAQ ，所以 11 2,0,xxyy，所以 1 1 20 2 xx yy ， 1分 解得 1 1 2 xx yy . 2分 由于点A在圆:C 22 4xy上，所以 22 44xy， 3分 理科数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 11 页） 所以点M的轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y. 4分 （2）由（1）知，E的方程为 2 2 1 4 x y，因为直线:1(0)l ykxk， 由 2 2 1 1 4 ykx x y 得 22 (14)80kxkx， 设 1122 (,),(,)B x yP xy，因此 12 2 8 0, 14 k xx k ， 5分 22 12 2 8 11 14 k BPkxxk k . 6分 则点的P的轨迹方程为 22 22 22 64(1) (1) (14) kk xy k ， 由 22 22 22 22 64(1) (1), (14) 44, kk xy k xy 得 22 2 22 64(1) 3250, ( 11) (*) (14) kk yyy k 7分 依题意得，(*)式关于y的方程在( 1,1)有两个不同的实数解. 设 22 2 22 64(1) ( )325( 11) (14) kk f yyyy k ， 8分 因为函数 ( )f y 的对称轴为 1 3 x ， 要使函数 ( )f y 的图象在( 1,1) 与x轴有两个不同的交点， 则 22 22 64(1) 443 50, (14) ( 1)0, kk k f 10分 整理得 42 22 22 4410, 64(1) 40, (14) kk kk k 即 42 42 4410, 12810, kk kk 理科数学参考答案及评分细则 第 8 页（共 11 页） 所以 2 2 1 , 2 1. 8 k k 11分 解得 222222 (,)(,)(,)(,) 224422 k . 所以k的取值范围为 222222 (,)(,)(,)(,) 224422 12分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、函数的零点、函数的最值与值域等基础知识，考查推 理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思 想、分类与整合思想、数形结合思想等. 解： （1）函数( )f x的定义域为(0,)，且( )ln1fxx . 1分 令( )0fx，得 1 e x . 当0 1 e x时，( )0f x，( )f x在区间(0, ) e 1 内单调递减; 当 e 1 x 时，( )0f x ，( )f x在区间() e 1 ,内单调递增. 3分 故min( )( ) ee 11 f xfa. 3分 因为0a ，当0,1x时，ln0 xx ，即( )0f x ， 所以函数( )f x在区间0,1内无零点. 4分 因为(1)0fa，1(ee0)-e aaa faaa . 又( )f x在区间()1,内单调递增， 根据零点存在性定理，得 函数( )f x在区间( e)1, a 内有且只有一个零点. 5分 综上，当0a 时，函数( )f x在(0,)的零点个数为1. 6分 （2）( )4 ln4ln 4 a g xxxaxx ， 理科数学参考答案及评分细则 第 9 页（共 11 页） 则( )4ln 4 a g xxx ，由（1）知，ln 4 a yxx在1x 时单调递增， 对任意 e,04a ，(1)0ga ，e(0e)4 4 a g . 因此，存在唯一, 1 e a x ，使得()0 a g x. 7分 当1 a xx时，( )0g x ，( )g x单调递减; 当 a xx时，( )0g x ，( )g x单调递增. 因此( )g x在 a xx处取得最小值() a g x， 22 ()2ln aaaaa g xxxxax 2222 2ln4ln2ln aaaaaaaaa xxxxxxxxx 8分 于是( )h a 22 12eln, aaaa xxxx ， 由 22 2ln4 (ln1)xxxxx 0(,)1 ex， 得 22 2lnyxxx 在1,e单调递减. 9分 所以，由, 1 e a x ，得 22 2lneee( )h a 22 2l11 1n ， 2 3e( )h a1， 10分 因为 22 2lnyxxx (e )1,x单调递减， 对任意 2 3e , 1 ， 存在唯一的, 1 e a x ，n,04el4 aa axx ， 使得( )h a. 所以( )h a的值域是 2 3e , 1 . 11分 综上，当e,04a ，函数 22 ( )2lng xxxxax有最小值， ( )h a的值域是 2 3e , 1 . 12分 (22) 本小题考查极坐标方程、直线与圆的位置关系、三角形面积的最值等基础知识，考查 运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等满分10分 解： （1）设P的极坐标为,0 ，Q的极坐标为 11 ,0 ， 理科数学参考答案及评分细则 第 10 页（共 11 页） 由题设知，OP， 1 2 cos 6 OQ ， 1分 由4OQ OP得 2 C的极坐标方程2cos0 6 ， 3分