福建达标校高二数学暑期集训营七十三理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 第八部分 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 时间：时间：120 分钟分钟 总分：总分：150 分分 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的.) 1. 复数 2015 3zi ii（i为虚数单位） ，则复数z的共轭复数为( ) A2 i B2i C4 i D4i 2.设全集UR，函数( )lg(|1| 1)f xx的定义域为 A，集合1cos|xxB，则 () U C AB的元素个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 不等式组 22 04 x y 表示的点集记为 A，不等式组 2 20 xy yx 表示的点集记为 B，在 A 中 任取一点 P，则PB的概率为（ ） A 9 32 B 7 32 C 7 16 D 9 16 4. 将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学等三所大学就读，则每 所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）种。 A240 B. 180 C. 150 D.540 5. 已知数列 n a满足 22 122 1,2,(1 cos)sin 22 nn nn aaaa ， 则该数列的前 12 项和为 （） A.211 B.212 C.126 D.147 来源:学。科。网 Z。X。X。K 6. 奇函数 fx、偶函数 g x的图象分别如图 1、2 所示，方程 0f g x， 0g f x的实根个数分别为a、b，则ab等于（ ） A.14 B.10 C.7 D.3 图2图1 y y xx O O-2 -1 -1 -1 -12 11 1 1 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 第八部分 【2】 7执行如图所示的程序框图，要使输出的 S 值小 于 1，则输入的 t 值不能是下面的（ ） A2012 B2013 C2014 D2015 8. 已知 a、b 为正实数，直线 y=xa 与曲线 y=ln （x+b）相切，则 2 2 a b 的取值范围是( ) A （0， 1 2 ） B.（0，1） C.（0，） D.1, 9. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是 腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的正方形，则此 四面体的四个面中面积最大的为( ) A2 2 B 4 C2 3 D2 6 10. 已知mnst 、 、 、R，m+n=4，9 mn st 其中m n、 是常数，且st的最小值是 8 9 ，满足条件的点( , )m n是双曲线 22 1 28 xy 一弦的中点，则此弦 所在的直线方程为( ) A.4100 xy B.220 xy C.4100 xy D. 460 xy 11. 设等差数列 n a 满足： 222222 444848 57 sincoscoscossinsin 1 sin() aaaaaa aa ，公差 ( 1,0)d 若当且仅当 n=9 时，数列 n a 的前n项和 n S取得最大值，则首项 1 a的取值范围 是( ) A 9 , 8 B 9 , 8 C 74 , 63 D 74 , 63 12. 已知 2 ( )(ln)f xxxaa,则下列结论中错误的是（ ） 开始 结束 输入t 输出 S 否 是 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 第八部分 【3】 A0,0, ( )0axf x B. 00 0,0, ()0axf x . C. 0,0, ( )0axf x D. 00 0,0, ()0axf x 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.) 13. 设mR,过定点 A 的动直线10 xmy 和过定点 B 的动直线230mxym 交于 点 P(x,y)，则PAPB的最大值是 . 14计算，可以采用以下方法：构造等式： ，两边对 x 求导， 得，在上式中令， 得类比上述计算方法， 计算_ 15.已知点O是锐角ABC的外心，812 3 ABACA ， . 若AOxAByAC，则 69xy . 16. 若数列 n a满足 2 11 1 , 2 nnn aaaa ，nN，且 1 1 n n b a ， 12nn Pb bb 12nn Sbbb，则2 nn PS= . 三三.解答题解答题(本大题共本大题共 6 小题，小题，满分满分 70 分分. 17-21 题是必做题，每题题是必做题，每题 12 分。请分。请在在 22 和和 23 题中只题中只 选做一题，多做则按选做一题，多做则按 22 题给分题给分，选做题满分，选做题满分 10 分分.） 17. （本小题共 12 分）设函数 f（x）=sinxcos（x+ 3 ）+ 3 4 ，xR （1）设,0, 2 ， 553 (),(), 2122621210 ff 求sin()的值. (2)ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列； 且 a+c=6， 3 () 24 B f，求ABC 的面积 123 23 n nnnn CCCnC 0122nn nnnn CC xC xC x1 n x 1 12321 231 n nn nnnn CC xC xnC xnx 1x 1231 232 nn nnnn CCCnCn 122232 23 n nnnn CCCn C 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 第八部分 【4】 18. （本小题共 12 分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其数学成绩 （均为整数）分成六段50,40，60,50100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图 形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数。 (2) 从数学成绩是 70 分以上（包括 70 分）的学生中选两人，来源:Z|xx|k.Com 求他们在同一分数段的概率. （3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取 4 个学生,设这四个学生中数学成绩 为 80 分以上(包括 80 分)的人数为 X,(以该校学生的成绩的频率估计概率)，求 X 的分布列和数 学期望. 19. （本小题共 12 分）如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PA底面 ABCD， E、F 分别为 AB、PC 的中点。 （1）若 PA = 1，求证：EF平面 PCD； （2）若 PA = 2，试问在线段 EF 上是否存在点 Q，使得二面角 Q - AP - D 的余弦值为 5 5 ？若 存在，确定点 Q 的位置；若不存在，请说明理由。 20（本小题共12分） 已知焦点在x轴的椭圆 22 2 :1 6 xy C b (0)b 的左、 右焦点分别为， 直线AB过右焦点 2 F，和椭圆交于,A B两点，且满足 22 2AFF B，直线AB的斜率为5 。 （1）求椭圆 C 的标准方程； 12 ,F F 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 第八部分 【5】 （2）设 F 为椭圆 C 的右焦点， T 为直线)2,(tttxR上纵坐标不为 0 的任意一点， 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q. （）若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)，求t的值； （）在（）的条件下，当 | | PQ TF 最小时，求点 T 的坐标 21 （本小题共 12 分）已知函数1e)(axxf x (a 为常数)，曲线 yf(x)在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率为1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的单调区间； (2)证明：当0x时，1e 2 x x ； (3)证明：当 Nn时， n n ne)3( 1 ln 1 3 1 2 1 1 3 . 22. （本小题共 10 分）选修 4-4：极坐标和参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的 正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 3 2 1 2 xtm yt （t 为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）设点( ,0)P m，若直线l 与曲线C 交于A，B 两点，且| | 1PAPB，求实数m 的值。 23. （本小题共 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知。 （1）若0abc ，求 a 的最大值。 （2）若abbcca的最大值为 M,解不等式113xxM. 1, 222 cbaRcba， 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 第八部分 【6】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 参 考 答 案 一、选择题：一、选择题： 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B B A C D B A A C D A C 二.填空题 13. 5 14. 2 (1) 2nn n 15. 5 16. 2 三.解答题 17. 解析： （1）f (x)sinx(1 2cosx 3 2 sinx) 3 4 1 4sin2x 3 2 1cos2x 2 3 4 1 2sin(2x 3)， sin()= 16 65 （6 分） (2). 13 ()sin() 2234 B fB , 3 B 又因为 a、b、c 成等比数列,所以 b2ac 由余弦定理知 2222 1()3363 ,9 2222 acbacacac ac acacac ， 故ABC的面积 1139 3 sin9. 2224 ABC SacB （12 分） 18. （1）因为各组的频率和等于 1,故第四组 的频率： 4 1 (0.025 0.015 20.01 0.005) 100.3f 1 分 直方图如右所示.2 分 中位数是 0.1 70 1073.33 0.3 c x 计这次考试的中位数是 73.33 分.4 分 （2）70,80)，80,90) ，90,100”的人数是 18,15,3。所以从成绩是 70 分以上（包括 70 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 第八部分 【7】 分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。 222 18153 2 36 CCC P C 87 210 8 分 (3) 因为(4,0.3)XB,所以其分布列为: 4 4 ()0.30.7,(0,1,2,3,4) kkk p XkCk 数学期望为4 0.31.2EXnp 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 19证明（1）取 PD 中点 M，连接 MF，MA 在 CPD 中，F 为 PC 的中点， MF 平行且等于 1 2 DC，正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点， AE 平行且等于 1 2 DC， AE 平行且等于 MF，故：EFMA 为平行四边形，EFAM 2 分 又因为 PA=1=AD 所以PAD为等腰三角形，所以 AMPD， 又因为 CD平面 PAD，所以 CDAM 因为CDPDD，所以 AM平面 PCD； 因为 EFAM，所以 EF平面 PCD。 5 分 （2）如图：以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系： (0,0,2)P，(0,1,0)B，(1,1,0)C， 1 (0,0) 2 E， 1 1 ( ,1) 2 2 F 由题易知平面 PAD 的法向量为(0,1,0)n， 6 分 假设存在 Q 满足条件：设EQEF， 1 ( ,0,1) 2 EF ， 1 (, ) 2 2 Q ，0,1，(0,0,2)AP ， 1 (, ) 2 2 AQ 设平面 PAQ 的法向量为( , , )mx y z， 1 0 (1,0)22 0 xyz m z 2 cos, 1 m n m n m n ，由已知： 2 5 5 1 解得： 1 2 ，所以：满足条件的 Q 存在，是 EF 中点。 12 分 x y z Q 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 第八部分 【8】 20解解： （1）由已知解得 c=2,b22. 所以椭圆 C 的标准方程是1 26 22 yx . （4 分） （2） （）由（1）可得，F 点的坐标是(2，0). 设直线 PQ 的方程为 xmy+2，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得 xmy+2， x2 6 y2 21. 消去 x，得(m23)y2+4my20，其判别式 16m28(m23)0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1y2 -4m m23，y1y2 2 m23.于是 x1x2m(y1y2)+4 12 m23. 设 M 为 PQ 的中点，则 M 点的坐标为) 3 2 , 3 6 ( 22 m m m . 因为PQTF ，所以直线 FT 的斜率为m，其方程为)2( xmy. 当tx 时，2tmy，所以点T的坐标为2,tmt，来源:学*科*网 Z*X*X*K 此时直线 OT 的斜率为 t tm2 ，其方程为x t tm y )2( . 将 M 点的坐标为) 3 2 , 3 6 ( 22 m m m 代入，得 3 6)2( 3 2 22 mt tm m m . 解得3t. （8 分） （）由（）知 T 为直线3x上任意一点可得，点 T 点的坐标为), 3(m. 于是1| 2 mTF， |PQ 2 2 24(1) 3 m m . 所以 1 ) 3( 24 1 ) 1(24 3 1 | | 2 22 2 2 2 m m m m m PQ TF 1 4) 1(4) 1( 24 1 1 ) 3( 24 1 2 222 2 22 m mm m m 4 1 4 1 24 1 2 2 m m 3 3 442 24 1 . 当且仅当 m21 4 m21，即 m1 时，等号成立，此时 |TF| |PQ|取得最小值 3 3 故当|TF| |PQ|最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，1)（12 分） 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(73) 第八部分 【9】 21.解解： （1）由1e)(axxf x ，得axf x e)(. 又11)0(af，所以2a.所以12e)(xxf x ，2e)( x xf. 由02e)( x xf，得2lnx. 所以函数在区间上单调递减，在), 2(ln上单调递增. （4 分） (2)证明：由（1）知4ln112ln2e)2(ln)( 2ln min fxf. 所以4ln1)(xf，即4ln112e x x ，04ln22e x x . 令1e)( 2 xxg x ，则02e)(xxg x . 所以)(xg在), 0( 上单调递增，所以0)0(1e)( 2 gxxg x ， 即1e 2 x x .（8 分） (3)首先证明：当0x时，恒有 3 3 1 ex x . 证明如下：令 3 3 1 e)(xxh x ，则 2 e)(xxh x . 由(2)知，当0x时， 2 ex x ，所以0)(xh，所以)(xh在), 0( 上单调递增， 所以01)0()( hxh，所以 3 3 1 ex x . 所以) 3 1 ln( 3 xx ，即xxln33ln . 依次取 n n x 1 , 2 3 , 1 2 ，代入上式，则 1 2 ln33ln 1 2 ，来源:学.科.网 Z.X.X.K 2 3 ln33ln 2 3 ， n