福建达标校高二数学暑期集训营二十四理PDF

2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(24) 第三部分 【提升拓展】 【1】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (24) 一、填空题（本题共 14 小题，每小题 5 分，合计 70 分。.） 1 不等式3x x10 的解集为_ 2 若命题“对xR，x 24cx10”是假命题，则实数 c 的取值范围是_ 3从 1、2、3、4 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 20 的 概率为_ 4. 某人 5 次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据的平 均数为 10，则其方差为_ 5如果执行如图所示的流程图，那么输出的 S_. 6已知ABC 的三个内角 A、B、C,“AB”是“sinAsinB”的_条 件 （选填：充分不必要 、 必要不充分 、 充要 、既不 充分 又 不必要 ） 7在区间5,5内随机地取出一个数 a，则使得 aa|a 2a+20的概率为 _ 8 已知椭圆 x 2 10m y 2 m21，长轴在 y 轴上若焦距为 4，则 m_ 9已知变量x、y满足 x4y30 3x5y250 x1 ，则2zxy的最大值_ 10 已知正数 x，y 满足 xty1，t 是给定的正实数若1 x 1 y的最小值为 16，则正实数 t 的值是 11已知函数 f(x) 2 1x，x1， 2log2x，x1， 则满足 f(x)1 的 x 的取值范围是_ 12已知椭圆的方程为x 2 a 2y 2 b 21(ab0)，过椭圆右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 P、Q 两点，x 轴一点 M( c a 2 ,0)，若PQM 为正三角形，则椭圆的离心率等于_. 13. 不等式 a 28b2b(ab)对任意 a、bR 恒成立，则实数 的取值范围为_ 14设 a x 2xyy2，bp xy，cxy，若对任意的正实数 x、y，都存在以 a、b、c 为 三边长的三角形，则实数 p 的取值范围是_ 二、解答题（本题共 6 小题，合计 90 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(24) 第三部分 【提升拓展】 【2】 15 （本小题 14 分）设 p：实数 x 满足 x 24ax3a20，q：实数 x 满足 0103 06 2 2 x x x x . (1) 若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； (2) 若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 16 （本小题 14 分）.已知函数 f(x)x 22xa x ，x1，) (1) 当 a4 时，求函数 f(x)的最小值； (2) 若对任意 x1，4，f(x)6 恒成立，试求实数 a 的取值范围 17 （本小题 14 分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学 成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如下部分频率分布直方图观 察图形的信息，回答下列问题： (1) 求分数在70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分； (3) 用分层抽样的方法在分数段为40,60)的学生中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本 看成一个总体，从中任取 2 人，求至少有 1 人在分数段50,60)的概率 18 （本小题 16 分） 如图，在直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C：x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的左右两 个焦点分别为 F1、F2. 过右焦点 F2且与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交，其中一个交点为 M(2，1) 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(24) 第三部分 【提升拓展】 【3】 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设椭圆 C 的一个顶点为 B(0，b)，直线 BF2交椭圆 C 于另一点 N，求F1BN 的面 积 19 （本小题 16 分）某市出租汽车的收费标准如下：在 3km 以内(含 3km)的路程统一 按起步价 7 元收费， 超过 3km 以外的路程按 2.4 元/km 收费. 而出租汽车一次载客的运输成 本包含以下三个部分：一是固定费用约为 2.3 元；二是燃油费，约为 1.6 元/km；三是折旧 费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为 100km 时，折旧费约为 0.1 元. 现设一次载客 的路程为 xkm. (1) 试将出租汽车一次载客的收费 F 与成本 C 分别表示为 x 的函数； (2) 若一次载客的路程不少于 2km，则当 x 取何值时，该市出租汽车一次载客每 km 的 收益 y 取得最大值？ 20 （本小题 16 分）设 A1、A2与 B 分别是椭圆 E：x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的左、右顶点与 上顶点，直线 A2B 与圆 C：x 2y21 相切 (1) 求证：1 a 2 1 b 2=1； (2) P 是椭圆 E 上异于 A1、A2的一点，直线 PA1、PA2的斜率之积为1 3，求椭圆 E 的方 程； (3) 直线 l 与椭圆 E 交于 M、N 两点， 且OM ON 0， 试判断直线 l 与圆 C 的位置关系， 并说明理由 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(24) 第三部分 【提升拓展】 【4】 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营 (24) 参 考 答 案 二、解答题（本题共 6 小题，合计 90 分。请在答题 纸 指定区域 内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题 14 分）解：(1) 由 x 24ax3a20，得(x3a)(xa)0， 所以 ax3a. 当 a1 时，1x3，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1x3.2 分 由 0103 06 2 2 x x x x ，得 2x3， 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2x3. 4 分 若 pq 为真，则 p 真且 q 真，5 分 所以实数 x 的取值范围是 23， 所以实数 a 的取值范围是 16 恒成立，即 x1，4，x 22xa6x 恒成立 等价于 ax 2+4x，当 x1，4时恒成立， 令 g(x)x 2+4x=-(x-2)2+4，x1，4，10 分 ag(x)maxg(2)=4，即. a 的取值范围是 a414 分 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(24) 第三部分 【提升拓展】 【5】 17.（本小题 14 分）解：(1) 分数在70,80)内的频率为 1(0.0100.0150.0150.0250.005)1010.70.3. 又0.3 100.03，补出的图形如下图所示4 分 平均分为：x 450.1550. 15650.15750.3850.25950.0571.答：估计这 次考试的平均分是 71 分8 分 由题意，40,50)分数段的人数为 0.10606 人；50,60)分数段的人数为 0.15609 人； 在40,60)的学生中抽取一个容量为 5 的样本，在40,50)分数段抽取 2 人，分别记为 m，n； 50,60)分数段抽取 3 人，分别记为 a，b，c， 设从样本中任取 2 人，至少有 1 人在分数段50,60)为事件 A，则基本事件空间包含的基本事 件有(m，n)、(m，a)、(m，b)、(m，c)、(b，c)共 10 种，则事件 A 包含的基本事件有(m， a)、(m，b)、(m，c)、(n，a)、(n，b)、(n，c)、(a，b)、(a，c)、(b，c)共 9 种， 所以 P(A) 10 9 =0.9.14 分 18 （本小题 16 分）解：(1) 由椭圆定义可知|MF1|MF2|2a. 由题意|MF2|1，|MF1| 2a1.又由 RtMF1F2可知(2a1) 2(2 2) 21，a0，a2.又 a2b22，得 b22. 椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 21.6 分 (2) 直线 BF2的方程为 yx2. 由 yx2 x 2 4 y 2 21 )，得点 N 的纵坐标为 2 3 . 10 分 又|F1F2|2 2， SF1BN1 2 2 2 3 228 316 分 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(24) 第三部分 【提升拓展】 【6】 （本小题 16 分）解：(1) F(x) 3),3(4 . 27 30 , 7 xx x ， 即 F(x) 3, 2 . 04 . 2 30 , 7 xx x .2 分 设折旧费 zkx 2，将(100,0.1)代入， 得 0.1100 2k 解得 k 1 10 54 分 ，所以 C(x)2.31.6x 1 10 5x 2.6 分 (2) 由题意得 y 4.7 x 1 10 5x1.6， 2x3 0.8 2.5 x 1 10 5x ， x3 ，9 分 当 x3 时，由基本不等式，得 y0.82 25 10 60.79(当且仅当 x500 时取等号)； 12 分 当 2x3 时，由 y 在2,3上单调递减， 得 ymax4.7 2 2 10 51.60.75 2 10 50.79.15 分 答： 该市出租汽车一次载客路程为 500km 时， 每 km 的收益 y 取得最大值 16 分 20 （本小题 16 分） (1) 证明：已知椭圆 E：x 2 a 2y 2 b 21(ab0)，A1、A2与 B 分别为椭圆 E 的左右顶点与上顶点，所以 A1(a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直线 A2B 的方程是x a y b1. 因为 A2B 与圆 C：x 2y21 相切，所以 1 1 a 2 1 b 2 1， 即 1 a 2 1 b 21.4 分 (2) 解：设 P(x0，y0)，则直线 PA1、PA2的斜率之积为 kPA1kPA2 y0 x0a y0 x0a y 2 0 x 2 0a 21 3 x 2 0 a 23y 2 0 a 21，而x 2 0 a 2y 2 0 b 21， 所以 b 21 3a 2.8 分 结合 1 a 2 1 b 21，得 a 24，b24 3. 所以，椭圆 E 的方程为x 2 4 3y 2 4 1.10 分 (3) 解：设点 M(x1，y1)，N(x2，y2) 2015 年福建省达标校暑期高二数学（理工农医类）集训营(24) 第三部分 【提升拓展】 【7】 若直线 l 的斜率存在，设直线 l 为 ykxm， 由 ykxm 代入x 2 a 2y 2 b 21，得x 2 a 2 kxm 2 b 21. 化