福建闽侯第三中学高三数学上学期期中理PDF

福建省闽侯县第三中学高三上学期期中考 理科数学 出题人：王欣 审题人：罗嘉华 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1. 设全集UR，集合|lgAx yx，1,1B ,则下列结论正确的是（ ） A1AB B()(,0)AB R C(0,)AB D()1AB R 2.复数 1 12 i ii 的实部与虚部的和为（ ） （A） 1 2 （B） 1 （C） 1 2 （D） 3 2 、 3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ） A2xy +x B 2 x y C22 xx y D22 xx y 4. 已知两个非零向量ba,满足()0aab，且2 ab，则ba,（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何 体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合 (牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅 助线当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ） 6.设等差数列 n a满足 2 7a ， 4 3a ， n S是数列 n a的前 n 项和，则使得 n S0最 大的自然数n是（ ）A9 B.8 C.10 D. 7 7. 某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（ ） D C B A x y O 3 A B 4 3 1 第 7 题图 A) 5 3 6 5 sin( xy B) 5 2 5 6 sin( xy C) 5 3 5 6 sin( xy D) 5 3 6 5 cos( xy 8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ） A B0 C D 3336 9实数xy，满足 22 20 2 yx xy x ，则zxy的最大值是（ ）A2 B4 C6 D8 10.已知P是双曲线 2 2 1 3 x y上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线， 垂足分别为A、B，则PA PB的值是（ ） A 3 8 B 3 16 C 3 8 D不能确定 11.将 3 本相同的诗集，2 本相同的小说全部分给 4 名同学，每名同学至少 1 本，则不同的分 法有（ ） A24 种 B28 种 C32 种 D36 种 12.已知函数 2 yx的图象在点 2 00 ,x x处的切线为l，若l也与函数lnyx，) 1 , 0(x的图象相 切，则 0 x必满足（ ）A 0 1 2 x0 B 0 1 2 x C 2 2 2 0 x D 0 23x 二、填空题二、填空题:(:(本大题共本大题共 5 题题,每小题每小题 5分分,共共 25 分分) 13.已知 1 sincos 5 ，则sin2=_. 14.已知抛物线 2 4xy的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当 30AFO（O为坐标原点）时, PF _. 15.设数列的前项和为，且 1 1a ， 1 23 nn aS ，则 4 S _ 33 n an n S 开始 s=0，n=1 n2016 s=s+ sin 3 n n= n +1 输出s 结束 是 否 第 8 题 图 . 16定义域为 R 的偶函数 fx满足对任意xR，有) 1 ()() 2(fxfxf， 且当2,3x 时， 2 21218f xxx ，若函数 log1 a yf xx 在0,上至少有三个零点，则a的取值范围是 三、三、解答题： （解答题： （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70) 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 0,a 1 21 1. nnn aaa （1）求证数列1 n a 是等差数列，并求出 n a的通项公式； （2）若 2 1 n n n a b n ，求数列 n b的前 n项的和 n T。 18. (12 分分)已知长方体 1 AC中，2 ABAD，1 1 AA，E为 11C D的中点，如图所示. ()在所给图中画出平面 1 ABD与平面ECB1的交线（不必说明理由） ； ()证明：/ 1 BD平面ECB1； ()求平面 1 ABD与平面ECB1所成锐二面角的大小. 19. (12 分分) 某中学根据 20022014 年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋 类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独 立.2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个 社团的概率依次为m、 3 1 、n，已知三个社团他都能进入的概率为 24 1 ，至少进入一个社团的 概率为 4 3 ，且nm. ()求m与n的值； ()该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分 1 分，对进 入“棋类”社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分 3 分. 求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望. 20. （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，且短轴的长为 2，离心率等于 2 5 5 。 （）求椭圆 C 的方程； A C D A1 B1 C1 B D1 E （）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若 12 ,MAAF MBBF，求证： 12 为定值。 21.（12 分）已知函数axx a xxxf 2 2 ln)(（aR）在其定义域内有两个不同的极值点. ()求a的取值范围； ()记两个极值点分别为 1 x， 2 x，且 21 xx .已知0,若不等式 1 12 ex x 恒成立,求的 范围. 选考题选考题: :请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多 做，则按所做第一个题目计分，做答时请用做，则按所做第一个题目计分，做答时请用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.（本小题满分 10 分）选修选修 4 4- -1 1：几何证明选讲：几何证明选讲 如图，AB 是的O 直径，CB 与O 相切于 B， E 为线段 CB 上一点， 连接 AC、AE 分别交O 于 D、G 两点，连接 DG 交 CB 于点 F （1）求证：C、D、G、E 四点共圆 （2）若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E，EG=1，GA=3， 求线段 CE 的长 23 （本小题满分 10 分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数） ， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标 方程为cos()2 4 . （1）求圆的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）设是直线 上任意一点，过M作圆切线，切点为、， 求四边形AMBC面积的最小值. 24 （本小题满分 10 分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 设函数. （1）证明：； （2）若当时，关于实数的不等式恒成立， 求实数 的取值范围. 2017 届福建省闽侯六中阶段性考试 高三理科数学 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 1.D 1.D 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A 11.B 12.D2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A 11.B 12.D 一、13. 13. 24 25 14. 14. 4 3 15.66 16.15.66 16. 3 0, 3 1717解：解： （1）由 1 21 1. nnn aaa 得： 2 1 11 21 11 1 . nnnn aaaa 2 分 1 11 1 nn aa 3 分 故数列1 n a 是首项为 1，公差为 1 的等差数列4 分 111 1 n ann 5 分 2 1 n an6 分 （2）由（1）知： 2 1 2 1 n n n n a bn n 7 分 23 2 23 24 212n n Tn 8 分 2341 22 23 24 2212 nn n Tnn 9 分 相减得： 2341 22222212 nn n Tn 10 分 1 222 212 1 2 n n n Tn 11 分 1 2n n Tn 12 分 1818解：解： 几何解法几何解法 （）连接 1 BC交CB1于M，则 直线ME即为平面 1 ABD与平面ECB1的 交线，如图所示；4 分 （）由（）因为在长方体 1 AC中，所以 M为 1 BC的中点，又E为 11C D的中点 所以在BCD 11 中EM是中位线，所以 1 / BDEM，6 分 又EM平面ECB1， 1 BD平面ECB1， 所以/ 1 BD平面ECB1；8 分 （）因为在长方体 1 AC中，所以 11/ BC AD， 平面 1 ABD即是平面 11D ABC，过平面ECB1上 点 1 B作 1 BC的垂线于F，如平面图， 因为在长方体 1 AC中，AB平面 11BCC B， A C D A1 B1 C1 B D1 E M M B1 平面图 F C1 C B M D1 1 C1 B A E N F 平面图 FB1平面 11BCC B，所以ABFB 1 ， BABBC 1 ， 所以FB1平面 1 ABD于F. 过点F作直线EM的垂线于N，如平面图， 连接NB1，由三垂线定理可知，EMNB 1 .由二面角的平面角定义可知，在FNBRt 1 中， NFB1即是平面 1 ABD与平面ECB1所成锐二面角的平面角. 因长方体 1 AC中，2 ABAD，1 1 AA，在平面图中， 5 2 5 21 1 FB，10 分 10 53 FM， 2 5 1 MC，1 1 EC，在平面图中，由 1 EMC相似 1 FMN可知 EM FMEC FN 1 2 2 5 1 10 53 1 5 5 ， 所以NFB1tan NF FB1 2 5 5 5 2 ， 所以平面 1 ABD与平面ECB1所成锐二面角的大小为2arctan.12 分 空间向量解法：空间向量解法： （）见上述. 4 分 （）因为在长方体 1 AC中，所以 1 ,DDDCDA两两垂直，于是以 1 ,DDDCDA所在直线分 别为zyx,轴，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为2 ABAD,1 1 AA，所以)0 , 0 , 0(D， ) 1 , 0 , 0( 1 D，)0 , 2 , 2(B，) 1 , 2 , 2( 1 B，)0 , 2 , 0(C， ) 1 , 1 , 0(E.所以) 1 , 2, 2( 1 BD，) 1 , 0 , 2( 1 CB， ) 1 , 1, 0( CE，6 分 令平面ECB1的一个法向量为),(zyxm 所以mCB 1 ，mCE ，从而有， 0 0 1 mCE mCB ，即 zy zx02 ，不妨令1x， 得到平面ECB1的一个法向量为)2 , 2 , 1(m， 而0242 1 mBD，所以mBD 1 ，又因为 1 BD平面ECB1， 所以/ 1 BD平面ECB1.8 分 （）由（）知)0 , 2, 0( BA，) 1 , 2, 2( 1 BD，令平面 1 ABD的一个法向量为),(zyxn, 所以nBA ，nBD 1 ，从而有， 0 0 1 nBD nBA ，即 022 02 zyx y ，不妨令1x， 得到平面 1 ABD的一个法向量为)2 , 0 , 1 (n，10 分 A C D A1 B1 C1 B D1 E x y z 因为 nm nm nm ,cos 5 5 59 41 .11 分 所以平面 1 ABD与平面ECB1所成锐二面角的大小为 5 5 arccos.12 分 1919解：解： （）依题， 4 3 )1)( 3 1 1)(1 (1 24 1 3 1 nm mn ，解得 4 1 2 1 n m .6 分 （）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则 X的值可以为 0，1，2，3，4，5，6. 7 分 而 4 1 4 3 3 2 2 1 )0(XP； 4 1 4 3 3 2 2 1 ) 1(XP； 8 1 4 3 3 1 2 1 )2(XP； 24 5 4 3 3 1 2 1 4 1 3 2 2 1 ) 3(XP； 12 1 4 1 3 2 2 1 )4(XP； 24 1 4 1 3 1 2 1 )5(XP； 24 1 4 1 3 1 2 1 )6(XP. 这样X的分布列为： （每答对两个，加 1 分） 于是， 24 1 6 24 1 5 12 1 4 24 5 3 8 1 2 4 1 1 4 1 0)(XE 12 23 . 12 分 2020解：（I）设椭圆 C 的方程为， 则由题意知22,1.bb=-2 分 22 2 2 5 5 ab a 2 12 5 1 5a 解得 2 5a ，-4 分 椭圆 C 的方程为 -5 分 （II）证法 1：设 A、B、M 点的坐标分别为 11220 ( ,), (,),(0,)A x yB xyMy， 易知 F 点的坐标为（2，0）. -6 分 显然直线 l 的斜率存在，设直线l的斜率为 k，则直线 l 的方程是(2)yk x，-7 分 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x . 1 5 2 2 y x 11 分 21, 将直线l的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得 2222 (1 5)202050kxk xk -9 分 -10 分 又 22 22 121212 1222 121212 22 404010 2()2 1 51 5 10. 402052242() 4 1 51 5 kk xxxxx x kk kkxxxxx x kk -12 分 【证法二：设点 A、B、M 的坐标分别为 易知 F 点的坐标为（2，0）. -6 分 -7 分 将 A 点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得 -9 分 同理，由可得-10 分 即 是方程 的两个根，-12 分】 2121解：解： ()依题，函数( )f x的定义域为(0,)， 所以方程( )0fx在(0,)有两个不同根. 即，方程ln0 xax在(0,)有两个不同根.1 分 （解法一）（解法一）转化为，函数lnyx与函数yax 的图像在(0,)上有两个不同交点，如图. 3 分 可见，若令过原点且切于函数lnyx图像的直线斜率为k，只须0ak. 令切点 00 A(,ln)xx，所以 0 0 1 |x xky x ，又 0 0 ln x k x ，所以 0 00 ln1x xx ， 解得， 0 xe，于是 1 k e ，所以 1 0a e .6 分 . 51 520 , 51 20 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx . 2 , 2 , 2 2 2 1 1 121 x x x x BFMBAFMA 将各点坐标代入得 )., 0(),(),( 02211 yMyxByxA ).,2(),(, 1110111 yxyyxAFMA. 1 , 1 2 1 0 1 1 1 1 y yx . 1) 1 () 1 2 ( 5 1 2 1 02 1 1 y . 05510 2 01 2 1 y BFMB 2 05510 2 02 2 2 y .10 21 0 5 5 10 2 0 2 y x y o 1 y=lnx y=a A （解法二）（解法二）转化为，函数 ln ( ) x g x x 与函数ya的图像在(0,)上有两个不同交点. 又 2 1 ln ( ) x g x x ，即0 xe时，( )0g x，xe时，( )0g x， 所以( )g x在(0, ) e上单调增，在( ,)e 上单调减.从而( )( )g xg e 极大 1 e 3 分 又( )g x有且只有一个零点是 1，且在0 x 时，( )g x ，在在x时，( )0g x ， 所以( )g x的草图如下， 可见，要想函数 ln ( ) x g x x 与函数ya的 图像在(0,)上有两个不同交点， 只须 1 0a e .6 分 （解法三）（解法三）令( )lng xxax，从而转化为函数( )g x有两个不同零点， 而 11 ( ) ax g xax xx （0 x ） 若0a ，可见( )0g x在(0,)上恒成立，所以( )g x在(0,)单调增， 此时( )g x不可能有两个不同零点. 3 分 若0a ，在 1 0 x a 时，( )0g x，在 1 x a 时，( )0g x， 所以( )g x在 1 (0,) a 上单调增，在 1 (,) a 上单调减，从而 1 ( )( )g xg a 极大 1 ln1 a 又因为在0 x 时，( )g x ，在在x时，( )g x ，于是只须： ( )0g x 极大 ，即 1 ln10 a ，所以 1 0a e . 综上所述， 1 0a e 6 分 （）因为 1 12 ex x 等价于 12 1lnlnxx. 由（）可知 12 ,x x分别是方程ln0 xax的两个根， 即 11 lnxax， 22 lnxax 所以原式等价于 12 1axax 12 ()a xx，因为0， 12 0 xx， 所以原式等价于 12 1 a xx .7 分 又由 11 lnxax， 22 lnxax作差得， 1 12 2 ln() x a xx x ，即 1 2 12 ln x x a xx . 所以原式等价于 1 2 1