第二学期南开区高三级模拟考试二理科 参考

南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 1 页（共页（共 8 页）页） 20182019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试学年度第二学期南开区高三年级模拟考试( (二二) ) 数学试卷（理工类）参考答案数学试卷（理工类）参考答案 2019.05 一、一、选择题：选择题： 题题 号号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答答 案案 D B B A C D C A 二、填空题：二、填空题： （9） 13 2 ； （10）35； （11） 2 ； （12）4； （13） 17 1 ； （14）( 3 2 ，1) 三、解答题：三、解答题： （其他正确解法请比照给分）（其他正确解法请比照给分） （15）解解： （）在ABC中，由正弦定理 B b sin = sin c C ，得 3 sinB = Csin 4 ，2 分 C=2B， 3 sinB = 4 sin2B ，即 3 sinB = 4 2sin cosBB ， 解得cosB= 3 2 4 分 在ABC中，由余弦定理b2=a2+c22accosB， 得a2 3 16 a+7=0，解得a=3，或a= 3 7 ab，a= 3 7 7 分 （）cosB= 3 2 ，sinB= 3 5 ， sin2B=2sinBcosB= 9 54 ，cos2B=2cosB21= 9 1 ， 11 分 cos(2B+ 3 )= 2 1 cos2B 2 3 sin2B= 14 15 18 13 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 2 页（共页（共 8 页）页） （16）解：解： （）记事件A为甲乙两人一次竞猜成功， 则P(A)= 11 66 65 2 CC = 4 9 2 分 甲乙两人获奖的概率为 P=1 0 3 C( 4 9 )0( 5 9 )3 1 3 C( 4 9 )1( 5 9 )2= 304 729 5 分 （）由题意可知从6人中选4人，双胞胎的对数X取值为0，1，2 6 分 P(X=0)= 112 222 4 6 CCC C = 4 15 ， P(X=1)= 1211 2222 4 6 ()C CCC C = 2 3 ， P(X=2)= 2 2 4 6 C C = 1 15 X的分布列为： 11 分 EX=0 4 15 +12 3 +2 1 15 = 4 5 13 分 （17）解：解：取BC的中点M，连接DM，AM， 因为 BD=CD，BDCD，BC=2，M为BC的中点， 所以DMBC，DM=1 1 分 又因为平面BCD平面ABC， 所以DM平面ABC，2 分 因为ABC是边长为2的正三角形， 所以AMBC，AM=3 建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz 则M(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，0，1)，A(0，3，0)，C(1，0，0)， AC=(1，3，0)，BD=(1，0，1) 4 分 X 0 1 2 P 4 15 2 3 1 15 B E D C A M x y z 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 3 页（共页（共 8 页）页） （）因为AE=2，所以E(0，3，2)，BE=(1，3，2) 设平面BDE的法向量n1=(x，y，z)， 则 1 1 0 320 n n ， ， BDxz BExyz 令x=1，所以n1=(1， 3 3 ，1)5 分 因为AC n1=0，所以ACn1， 又AC平面BDE， 所以AC平面BDE 6 分 （）设AE=h，则E(0，3，h)，BE=(1，3，h) 设平面BDE的法向量n1=(x，y，z)， 则 1 1 0 30 n n ， ， BDxz BExyzh 令x=1，所以n1=(1， 1 3 h ，1) 又平面ADE的法向量n2=(1，0，0)， 所以cos60= 12 12 | | | n n n n = 2 1 1 1 1 3 ()h = 1 2 ， 9 分 解得h=6+1，即AE=6+1 10 分 （）由（）知平面BDE的法向量n1=(1，2，1) 设直线CD与平面SBD所成的角为，而CD=(1，0，1)， 所以sin=|cos|= 1 1 | | | n n CD CD = 2 2 ， 12 分 所以= 4 ，即直线CD与平面BDE所成的角为 4 13 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 4 页（共页（共 8 页）页） （18）解：解： （）在Sn=an( 1 2 )n1+2中，令n=1， 可得S1=a11+2，即a1= 1 2 1 分 当n2时，Sn1=an1( 1 2 )n2+2， an=SnSn1=an+an1+( 1 2 )n1， 3 分 2an=an1+( 1 2 )n1，即2nan=2n1an1+1 4 分 bn=2nan，bn=bn1+1，即当n2时，bnbn1=15 分 又b1=2a1=1， 数列bn是首项和公差均为1的等差数列 6 分 于是bn=1+(n1) 1=n=2nan，an= 2n n 7 分 （）cn= 1 1 21 () ()() n nn n n nana = 1 1 1 21 22 () ()() n nn n n nn nn = 1 1 2 21 21 ()() n nn = 2 21 n 1 2 21 n ， 9 分 Tn=( 1 2 21 2 2 21 )+( 2 2 21 3 2 21 )+ +( 1 2 21 n 2 21 n )+( 2 21 n 1 2 21 n ) = 1 2 21 1 2 21 n =2 1 2 21 n 11 分 由Tn 124 63 ，得2 1 2 21 n 124 63 ，即 1 1 21 n 1 63 ， 2n+164，即n5， n的最大值为4 13 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 5 页（共页（共 8 页）页） （19）解：解： （）F是AT的中点， 2 2 a ac c ，即(a2c)(a+c)=0， 又a，c0，a=2c，e= c a = 1 2 2 分 （）过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1， N到直线l的距离是M到直线l距离的2倍， 1 1 MM NN = TM TN =2， FMN TNF S S = MN TN = 1 2 ， 又 ANF S= TNF S， 1 2 S S = 1 2 4 分 由（）知椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc ，T(4c，0) 5 分 设直线TN的方程为x=ty+4c， 与椭圆方程联立，并消去x整理得：(3t2+4)y2+24cty+36c2=0， 依题意有=(24ct)24 36c2(3t2+4)0，即t24 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 2 1 2 2 2 12 24 34 36 34 ， ， yy y y ct t c t （*） 8 分 由知M是N，T的中点，故y2= 2y1， 9 分 代入（*）得 2 2 1 1 2 2 3 2 24 34 36 34 ， ， y y ct t c t 解得t2= 36 5 11 分 原点O到直线TN的距离为d= 2 4 1 c t = 4 5 41 c = 20 41 41 ，12 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 6 页（共页（共 8 页）页） 解得c=5， 13 分 故椭圆方程为 22 1 2015 xy 14 分 （20）解：解： （）由f(x)=logax + 1 lna =0，解得x=e1， 当x(0，e1)时，f(x)0，f(x)单调递减； 当x(e1，+)时，f(x)0，f(x)单调递增 函数f(x)在点x=e1处取得极小值， f(e1)=e1logae1=e1，解得a=e， f(x)=xlnx 2 分 g(x)=(m+1)xlnxxlnx，从而g(x)=m 1 x lnx 3 分 设h(x)=g(x)=m 1 x lnxh(x)= 2 1 x x ， 令h(x)=0，得x=1 当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增； 当x(1，+)时，h(x)0，h(x)单调递减 故h(x) max=h(1)=m1 5 分 当h(x) max=0，即m=1时，因最大值点唯一，故符合题设； 6 分 当h(x) max0，即m1时，h(x)0恒成立，不合题设； 7 分 当h(x) max0，即m1时，一方面，em1，h(em)=em0； 另一方面，em1，h(em)=2mem2mem0， 于是，h(x)有两零点，不合题设 综上，m的取值集合为1 9 分 （）先证x1+x22 依题意有m= 1 1 x +lnx1= 2 1 x +lnx2 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (二二) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（理工类）（理工类）第第 7 页（共页（共 8 页）页） 故 21 12 xx x x = 2 1 ln x x 设 2 1 x t x ，则t1，且 21 21 12 ln ， ， xtx xx t x x 解得x1= 1 ln t tt 所以，x1+x2=x1+tx1= 2 1 ln t tt ，x1+x22= 1 2ln ln tt t t 设(x)=x 1 x 2lnx，x1 (x)=1+ 2 1 x 2 x = 2 2 1()x x 0， (x)在(1，+)单调递增 x1时，(x)(1)=0，即t1 t 2lnt0 又lnt0，x1+x22 11 分 再证x1+x23em11 g(x)=0(x)=mx1xlnx=0，x1，x2也是(x)的两个零点 由(x)=m1lnx，得x=em1 易知，em1是(x)的唯一最大值点，故有 1 1 2 1 . e e 0 () ， m m h xx 作函数(x)=lnx 1 1 2e e () m m x x (m1)， 则(x)= 21 1 2 e e () () m m x x x 0，故(x)单调递增 故当xem1时，(x)(em1)=0；当0xem1时，(x)0 于是，mx11=x1lnx1 1 1 1 1 1 2e e ()