量子力学习题课

.,1,Ex.1.下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态?并指出哪几个波函数描写同一状态。,、,Ex.2.已知一微观粒子的动量以等概率取三个可能值、和，试写出其状态波函数。,答：上列一组波函数共描写粒子的三个不同状态。,描写粒子的状态。,解：,.,2,Ex.3.,.,3,(1),即和线性相关，故它们描述粒子的同一状态。,当为奇数时，有,当为偶数时，有,(2)因是的奇函数，在两种情况下,两波函数仅相差负号，故得到的两个波函数等价。,解：,因,.,4,答：,（1）由波函数描述的状态称为定态。,.处在定态中的粒子，其概率密度与时间无关。,.处在定态中的粒子，其概率流密度与时间无关。,其特征有：,.处在定态中的粒子，其能量有确定值。,.,5,它的物理意义是粒子既未产生也未消灭，粒子数守恒。,.,6,一、力学量与算符1算符的定义2.厄米算符的定义及其性质定义,性质：、厄米算符的本征值是实数；、属于不同本征值的本征函数正交。,第三章复习,.,7,3力学量与厄米算符的关系,假设：力学量用厄米算符表示，表示力学量的厄米算符有组成完全系的本征函数系；若量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符由经典表示中将动量换成动量算符而得出：,.,8,二、力学量的测量值与力学量算符关系：,.,9,力学量的平均值,力学量算符本征方程,方法二：,方法一：,.,10,三、力学量算符之间的关系,1算符的对易关系（1）基本对易关系（2）角动量算符的对易关系,定理,若算符和具有共同的本征函数完全系，则和必对易。,2两个定理,逆定理,若算符与对易，则它们具有共同的本征函数完全系,.,11,3不同力学量同时可测定的条件：力学量算符彼此对易。,4测不准关系,四、力学量算符的本征值问题：,.,12,五、力学量随时间的变化与守恒律,1动量算符的本征值问题；2、的本征值问题；3中心力场问题；氢原子问题。,.,13,解：,例1、一维谐振子处在基态求：（1）势能的平均值（2）动能的平均值,（1）,.,14,（2）,.,15,例2.宽度为的一维无限深势阱中运动的粒子处在由波函数描写的状态，为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量期望值。,解：,先求归一化系数,.,16,无限深势阱中粒子能量算符的本征函数,能量的概率分布为,.,17,能量期望值,利用,故,.,18,解：,由归一化条件,求得归一化常数,归一化波函数为,.,19,出现的概率,平均值,（1）由题可知,角动量平方可能值，出现的概率为1,平均值,例题二（续2）,（2）轨道角动量分量的可能值有,平均值,.,20,例4、一电子处在宽度为的无限深方势阱的基态上，阱的两壁突然反向运动，使阱宽变为，求粒子留在基态的概率。,解：,将轴坐标原点取在阱中心。,对于宽度为的阱，能量本征函数为,对于宽度为的阱，能量本征函数为,.,21,将按展开,粒子留在基态的概率,.,22,（1）若两个力学量算符有共同本征态，则它们彼此对易。,例4、判断下列提法的正误，并举例说明。,（2）若两个力学量算符不对易，则它们定无共同本征态。,（3）在任一态中，两对易的力学算符所表示的两力学量均可测定