高三数学理科期中

答案第 1页，总 5页 参考答案参考答案 11B 易知函数 y = sinx 的单调区间为 k + 2 ,k + 3 2 ，kZ. 由 k + 2 x + 6 k + 3 2 ,kZ,得 k+ 3 x k+4 3 ,kZ.因为函数 f x = sin x + 6 0 在区间 ,2 内没有最值，所以 f x 在区间 ,2 内单调， 所以 ,2 k+ 3 , k+4 3 ,kZ，所以 k+ 3 , k+4 3 2, kZ，解得 k + 1 3 k 2 + 2 3,k Z. 由 k + 1 3 k 2 + 2 3 ,得 k 2 3 .当 k = 0 时，得1 3 2 3 ;当 k = 1 时，得 2 3 1 6 .又 0， 所以 0 1 6 .综上，得的取值范围是 0, 1 6 1 3 , 2 3 .故选：B. 12A y = f x ax2恰有 3 个零点，则 lnx+1 x3 = a 恰有 3 个根， 令 g x = lnx+1 x3 ，即 g x与 y = a 恰有 3 个交点，g x = lnx+1 x3 = lnx1 x3 ,x0, 1 e lnx+1 x3 ,x 1 e , + ， 当 x0, 1 e 时，gx = 3lnx+2 x4 0，当 x e 2 3, + 时，gx 0， 所以 g x 在 e1,e 2 3时增函数，在 e 2 3, + 时减函数，且 f e 2 3 = e2 3，f 1 e = 0 所以 a(0, e2 3 )故选 A 二、填空题 13. 5 10 14. 2 9 15. 12 7 , 2 1 16.9 三、简答题 17(1)1 2 (2)3 （1）f(x) = 2 3sinxcosx cos2x + sin2x =3sin2x cos2x = 2sin(2x 6 ) .3 分 序号123456789101112 答案DABCDBCBABBA 答案第 2页，总 5页 故函数的最小正周期 T = 2 2 = 2，解得 = 1 2. .5 分 （2）由（1）知，f(x) = 2sin(x 6 ).由 f(B) = 2sin(B 6 ) = 2，得 B 6 = 2k + 2（k Z）.所以 B = 2k + 2 3 （kZ）.又 B(0,)，所以 B = 2 3 .8 分 ABC 的面积 S = 1 2 acsinB = 1 2 3 c sin 2 3 = 3 3 4 ，解得 c =3. 由余弦定理可得b2= a2+ c2 2accosB = ( 3)2+ ( 3)2 2 3 3cos 2 3 = 9， 所以 b = 3.12 分 18 （1）an= 4nnN； （2）见解析 【详解】 （1）当 n = 1 时，有a1= s1= 4 3 a1 1 ，解得a1= 4. 当 n 2 时，有sn1= 4 3 an1 1 ， 则an= sn sn1= 4 3 an 1 4 3 an1 1 ， 整理得： an an1 = 4，数列 an是以 q = 4 为公比，以a1= 4 为首项的等比数列 所以an= 4 4n1= 4nnN， 即数列 an的通项公式为：an= 4nnN.6 分 （2）由（1）有bn= log2an= 2n，则 1 bn1bn+1 = 1 2 1 2n1 1 2n+1 所以Tn= 1 13 + 1 35 + 1 57 + 1 2n1 2n+1 = 1 2 1 1 1 3 + 1 3 1 5 + 1 2n 1 1 2n + 1 = 1 2 1 1 2n+1 .10 分 易知数列 Tn为递增数列，所以1 3 Tn e3等价于证 ln x1x2 2 lne3= 3，即 lnx1+ 2lnx2 3， 所以 ax1+ 2ax2 3 2 .因为 0 3 x1+2x2，即 ln x2 x1 3 x2x1 x1+2x2 = 3 x2 x11 1+2x2 x1 . 设 t = x2 x1，则 t 1，则上式等价于 lnt 3 t1 1+2t t 1 . 令 h t = lnt 3 t1 1+2t t 1 ，则ht = 1 t 3 1+2t 6 t1 1+2t 2 = t14t1 t 1+2t 2 . 因为 t 1，所以ht 0，所以 h t 在区间 1, + 上单调递增， 所以当 t 1 时，h t h 1 = 0，即 lnt 3 t1 1+2t ， 所以原不等式成立，即x1x2 2 e3.12 分 21 （1）3； （2）6 3 5 【详解】 （1）由cos + 4 =2得 2 2 cos 2 2 sin =2， 即曲线C2的直角坐标方程为 x y 2 = 0 ， 根据题意得 OP =9cos2+ sin2=8cos2+ 1， 因此曲线C1上的动点 P 到原点 O 的距离 OP 的最大值为 OP max= 3 答案第 5页，总 5页 （2）由（1）知直线 x y 2 = 0 与轴交点 E 的坐标为 2，0 ，曲线C2的参数方程为： x = 2 2 t + 2 y = 2 2 t (t 为参数) ，曲线C1的直角坐标方程为x 2 9 + y2= 1， 联立得 5t2+ 2 2t 5 = 0， 又 EA? ? ?+ EB? ? ?= t1+ t2，所以 EA? ? ?+ EB? ? ?= t1 t2= t1+ t2 2 4t1t2 = 6 3 5 。 22 （1） x|