高中数学备课参考数学通报问题解答0012pdf

数学问题解答 2000年11月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1281 ABC中,ABC =ACB =50, P、Q为 形内两点,PCA=QBC=10,PAC= QCB =20. 求证:BP = BQ. (黑 龙 江 省 绥 化 地 区 教 育 学 院 田 永 海 152054) 证明 如图,过A作BC的垂线,在该垂线上 取一点D ,使 DCA =20,连DP、DB、DC. 由 ABC =ACB =50,可知AC = AB , BAC =80,有AD为BC的中垂线. 易知PA平分 DAC, PC平分 DCA ,可知 P为 ADC的内心.有 PDA =PDC =60. 由 DBC =DCB =30,可知 BDC = 120.有 BDC +PDC =180. B、D、P三点共线,有 PBC =DBC = 30. 设 PBQ的平分线交PC于E、 连EQ. 由BQ平分 EBC, QC平分 ECB ,可知Q 为 EBC的内心.有 QEB =QEC =60,得 PEB =60=QEB.于是P与Q关于BE对 称. BP = BQ. 1281 编者补充解法 证明 设 ABC外接圆直径为1,则AB = AC =sin50, BC =sin80. BQC中: BQ = sin80sin20 sin150 =2sin80 sin20 =cos60-cos100= 1 2 +sin10 ABP,APC中,又有 BP2=sin250+ BP2- BPsin50 =sin250+ sin50 sin10 sin150 - sin50sin50 sin10 sin150 =sin250 (1+4sin210-2sin10) = 1 2 (1-cos100) (1+4sin210-2sin10) = 1 2 (1+sin10) (1+4sin210-2sin10) =2sin310+sin210- 1 2 sin10+ 1 2 ) . 8sin310-6sin10=2sin(310 ) = 1, 2sin310+sin210- 1 2 sin10+ 1 2 = 1 4 + sin10+sin210= 1 2 +sin10 2 ,由 ,知: BP2= BQ2, BP = BQ. 说明 问题解答1281题除原作者提供的证 法之外,审稿者又给出了上述证法,以引起读者对 问题解答栏的兴趣. 周沛耕 1282 设a , b, c为三角形三边长,令P = a b + b c + c a -3, Q = b a + c b + a c -3,求证: 2QP 1 2 Q (江苏吴县市外贸公司 褚小光 215128) 证明 先将P, Q两式变形. 2P =2 a b + b c + c a -6 = a - c b + b -a c + c -b a + b + c a -6 = a -b b + b -a c + b - c b + c -b a + 142000年 第12期 数学通报 bc( b + c) -6abc abc = ( a - b) ( c - b) bc + ( b - c) ( a - b) ab + a( b - c) 2 abc 故 2P= ( a - b) ( b - c) ( c - a) abc + a( b - c) 2 abc (1) 同样可得 2Q = ( a - b) ( b - c) ( a - c) abc + a( b - c) 2 abc (2) 据恒等式(1) , (2 ) , 不等式链2QP 1 2 Q等价 于下列两式 a( b - c) 2 3 ( a - b) ( b - c) ( c - a) (3) a( b - c) 2 3 ( a - b) ( b - c) ( a - c) (4) 不等式(3) , (4)又等价于 a( b - c) 2 3| ( a - b) ( b - c) ( c -a) | (5) 因为 a | b - c | , b | c -a | , c | a - b | 所以欲证不等式(5 ) , 只需证 | ( b - c) 3 | +| ( c - a) 3 | +| ( a - b) 3 |3 | ( a -b) ( b - c) ( c -a) | 而上式是已知不等式,从而命题得证. 1283 P是正 A1A1A3外接圆上任一点, P至 A1A2,A2A3, A3A1的距离分别为d1, d2, d3.问:当 P变动时d12+ d22+ d32是否为定值, d14+ d24+ d34是否为定值,说明理由. (灌输如皋市石庄镇石南中学 薛锦芳 226531) 解 d12+ d22+ d32是定值, d14+ d24+ d34 不是定值,证明如下: 不妨设P在劣弧A3A1上,过P作外接圆的直 径PM ,设PM =2R ,A2PM =,则 A1PM = 3 -, PA1=2Rcos 3 -,于 是d1= 2Rcos 3 -cos. 同理 d2=2Rcoscos 3 +, d3= 2Rcos 3 +cos 3 -. 因而, d12+ d22+ d32= 4R2cos2 3 +cos2+4R2cos2cos2 3 + 4R2cos2 3 +cos2 3 -= R2 cos 3 -2+cos 3 2 +cos 3 +2+ cos 3 2 +cos 2 3 +cos2 2 =3R2cos2 3 + 2R2cos 3 cos 3 -2+cos 3 +2 -cos2+ R2cos2 3 -2+cos2 3 +2+ cos22=3R2cos2 3 +2R2cos 3 2cos 3 cos2-cos2+ R2 1 2 + 1 2 cos 2 3 -4+ 1 2 + 1 2 cos 2 3 +4+ 1 2 + 1 2 cos4= 3R2cos2 3 + 3 2 R2+ R2 2 2cos 2 3 cos4+cos4= 3R2cos2 3 + 3 2 R2,为定值. 而d14+ d24+ d34=16R4cos4 3 -cos4 +16R4cos4cos4 3 +16R4cos4 3 + cos4 3 -= R4cos 3 +cos 3 -2 4 +cos 3 + cos 3 +2 4 +cos 2 3 +cos2 4 = R4cos2 3 +2cos 3 cos 3 -2+ cos2 3 -2 2 +cos2 3 +2cos 3 cos 3 +2+cos2 3 +2 2 242000年 第12期 数学通报 +cos2 3 -2cos 3 cos2+cos22 2 = R4cos2 3 +2cos 3 cos 3 -2+ 1 2 + 1 2 cos 2 3 -4 2 +cos2 3 +2cos 3 cos 3 +2+ 1 2 + 1 2 cos 2 3 +4 2 + cos2 3 -2cos 3 cos2+ 1 2 + 1 2 cos4 2 = R4cos2 3 + 1 2 2 +4cos2 3 cos2 3 -2+ 1 4 cos2 2 3 -4+4cos 3 cos2 3 + 1 2 cos 3 -2+cos2 3 + 1 2 cos 2 3 -4+ 2cos 3 cos 3 -2 cos 2 3 -4 +cos2 3 + 1 2 2 +4cos2 3 cos2 3 +2+ 1 4 cos2 2 3 +4+4cos 3 cos2 3 + 1 2 cos 3 +2+cos2 3 + 1 2 cos 2 3 +4+ 2cos 3 cos 3 +2cos 2 3 +4+ cos2 3 + 1 2 2 +4cos2 3 cos22+ 1 4 cos24- 4cos 3 cos2 3 + 1 2 cos2+cos2 3 + 1 2 cos4-2cos 3 cos2cos4= 3R4cos2 3 + 1 2 2 +4R4cos2 3 cos2 3 -2+cos2 3 +2+cos22+ 1 4 R4cos2 2 3 -4+cos2 2 3 +4+ cos24+4R4cos 3 cos2 3 + 1 2 cos 3 -2 +cos 3 +2-cos2+ R4cos2 3 + 1 2 cos 2 3 -4+cos 2 3 +4+cos4+ 2R4cos 3 cos 3 -2cos 2 3 -4+ cos 3 +2cos 2 3 +4-cos2cos4 =3R4cos2 3 + 1 2 2 +4R4cos2 3 3 2 + 1 4 R4 3 2 + R4cos 3 cos(-6 ) + cos 3 -2 +cos(+6 ) + cos 3 +2-cos6-cos2 = 57 16 R4- 3 2 R4cos6,与取值有关,不是定值. 1284 已知实数a 1、b 1、c 1,求证: a3 b2-1 + b3 c2-1 + c3 a2-1 9 3 2 (浙 江 省 湖 州 市 双 林 中 学 李 建 潮 313012) 证明 b 1 ( b 2 -1 ) ( b 2 -1)2 ( b 2 -1) + ( b2-1 ) + 2 3 3 = 8 27 b6 a6 ( b 2 -1) 2 27 4 a 6 b6 又 a 1 a3 b2-1 3 3 2 a 3 b3 (1) 同理可证 b3 c2-1 3 3 2 b 3 c3 (2) c3 a2-1 3 3 2 c 3 a3 (3) (1)、(2)、(3)三式相加,并注意到: a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 3,可得 a3 b2-1 + b3 c2-1 + c3 a2-1 9 3 2 1285 四面体A1A2A3A4内一点P到顶点Ai及Ai 的对面距离分别为Ri、ri,顶点Ai到对面的距离 为hi( i =1,2,3,4 ) , k 3 4 ,求证: 4 i =1 Ri 2hi+ ri k 4 3 k. (陕 西 省 蓝 田 县 北 关 中 学 樊 益 武 710500) 证明 先证一个引理. 设xi0( i =1,2,3,4 ) , 4 i =1 xi= S ,则 4 i =1 xi S -xi k 4 3k , 当x1= x2= x3= x4取等号. 342000年 第12期 数学通报 引理的证明 3xi ( S - xi) 3 3 4 S 4 , xi S -xi k 4 4 3 k 3k xi S 4 3 k , 4 i =1 xi S -xi k 4 4 3 k 3k 4 i =1 xi S 4 3 k 4 4 3 k 34 4 4 i =1 xi 4S 4 3 k = 4 3 k. 现证原题 设四面体A1A2A3A4的体积为 V ,如图示,A1D面A2A3A4于D ,作PEA1D 于E. 设 A2A3A4,A1A3A4,A1A2A4, A1A2A3面积分别为S1, S2, S3, S4. S1R1+ S1r1S1 (A 1E + r1) = S1h1=3V S1R13V -3VPA2A3A4 同理 S2R23V-3VA1PA3A4, S3R33V- 3VA1A2PA4, S4R43V -3VA1A2A3P S2R2+ S3R3+ S4R49V -3 (V A1PA3A4+ VA1A2PA4+ VA1A2A3P ) = 6V +3VPA2A3A4= S1(2h1+ r1) R1 2h1+ r1 S1R1 S2R2+ S3R3+ S4R4 同理 R2 2h2+ r2 S2R2 S1R1+ S3R3+ S4R4 R3 2h3+ r3 S3R3 S1R1+ S2R2+ S4R4 R4 2h4+ r4 S4R4 S1R1+ S2R2+ S3R3 令xi= SiRi ( i =1,2,3,4 ) , 由引理得 4 i =1 Ri 2hi+ ri k 4 i =1 xi S -xi k 4 3 k. 2000年12月号数学问题 (来稿请注明出处 编者) 1286 直三棱柱ABCA1B1C1中, AB1BC1, BC1CA1, CA1AB1,求证:该棱柱是正棱柱 (浙 江 省 湖 州 市 双 林 中 学 李 建 潮 313012) 1287设P1, P2, P3分别为正 ABC三边AB , BC, CA上的点, AP1= BP2= CP3,直线l为过正 ABC外接圆上任一点P的切线,试证: P1, P2, P3三点到l距离之和为定值 (湖南省东安一中 陈士明 425900) 1288 在一个正三角形中内接一个边长分别为 1,2,3的Rt,求正三角形面积的最大值 (武汉市华中理工大学学生西十四舍5号 黄元兵 430074) 1289 a , b , c为满足abc =1的正数, n 1 2 或n -1,求 证 bc bn+ cn+ bc + ca cn+ an+ ca + ab an+ bn+ ab 1 (江西省永修一中 宋 庆 33030