高中数学备课参考数学通报问题解答0601pdf

数学问题解答 2005年12月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1586 求正整数x ,使x2+615是2的正整数次幂. (江苏省方城县博望二中 向中军 473254) 解 x2的个位数只能是0,1,4,9,6,5,2 m ( m 为 正整数)的个位数只能是2,4,8,6.故欲使x2+615 =2 m , x2的个位数只能是1或9,从而2 m的个位数必 是4或6.故易知m必为偶数,令m =2n ,则x2+615 =22n = ( 2 n)2 ,故(2 n)2 - x2 = ( 2 n + x) (2 n - x) = 615=3541.故 2 n + x =205 2 n -x =3 (1)或 2 n + x =123 2 n -x =5 (2)或 2 n + x =41 2 n -x =15 (3)或 2 n + x =615 2 n -x =1 (4) 由(1)得2 n =104,矛盾;由(2)得2 n =64, n = 6;由(3)得2 n =28,矛盾;由(4)得2 n =308,矛盾. 从而n =6, x =59. 1587 设a1, a2, an是实常数, x是实变数,且 f ( x) =sin ( a 1+ x) + 1 2 sin ( a 2+ x) + 1 4 sin ( a 3+ x) + 1 2n- 1sin ( a n+ x) .若f ( a) = f ( b) =0,求a - b. (湖南省常德英语实验中学 李晓渊 415000) 解 首先证明 f ( x) 不恒为0. 事实上 ,f ( 2 -a1)1- 1 2 - 1 4 - 1 2 n-1 = 1 2 n 0,即 f ( x) 不恒为0. 然后求a -b. 因为f ( x)= n k=1 1 2 k- 1(sinakcosx+ cosaksin x) = ( n k=1 1 2 k- 1sinak)cosx+ ( n k=1 1 2 k- 1cosak)sinx=Acosx+ Bsin x. ( 其中A= n k=1 1 2 k- 1sinak, B= n k=1 1 2 k- 1cosak) 由 f ( x) 不恒为0即知, A、B不全为0, 再由f ( a) = f ( b) =0得: Acosa + Bsina =0 Acosb + Bsinb =0 有非零解,从而行列式 cosa sina cosb sinb 必为0, 所以sinacosb -cosasinb =0,即sin( a - b) = 0, 故a -b = m ( m Z) 1588 数列 xn中, xn= 1+ xn-2+ xn-1 xn-3 ( n 4, n N)且x1, x2, x3均为正数.求证:该数列是周期数 列. (湖南省武冈市第二中学 庾昌学 422400) 证明 因为xn= 1+ xn-2+ xn-1 xn-3 (1) xn-1= 1+ xn-3+ xn-2 xn-4 ( n 2)(2) 以(2)代入(1)整理,得 xn= (1+ xn-4+ xn-3) + xn-2+ xn-2xn-4 xn-3xn-4 = xn-2xn-5+ xn-2+ xn-2xn-4 xn-3xn-4 = xn-2(1+ xn-5+ xn-4) xn-3xn-4 = xn-2xn-3xn-6 xn-3xn-4 即xn= xn-2xn-6 xn-4 (3) 同理xn-2= xn-4xn-8 xn-6 (4) 以(4)代入(3)得xn= xn-8 也就是xn+8= xn, n =1,2,3, 所以数列 xn是以8为周期的周期数列. 1589 ABC的三边长BC = a , CA = b, AB = c , D 是AB边上的一点,ACD与 BCD有相等的内切 圆,求CD之长. (山东省招远市西苑中学 曹海波 265400) 解 设CD =,AD = x ,BD = y ,则 ACD的内 切圆半径为 ACD的面积 1 2 ( b + x +) = 26数学通报 2006年 第45卷 第1期 1 2 bxsinA 1 2 ( b + x +) = bxsinA b + x + 同理,BCD的内切圆半径= aysinB a + y + 由题设 bxsinA b + x + = aysinB a + y + 由正弦定理知sinA a = sinB b ,于是上式可写成 x b + x + = y a + y + 即 x b + = y a + 将x + y = c代入 ,解得 x = c b + a + b +2 又由余弦定理知: 2 = b2+ x2-2bxcosA 将x及cosA = b2+ c2-a2 2bc 代入 得 2 = b2+ c2 ( b +) 2 ( a + b +2) 2 - ( b 2 + c2-a2) b + a + b +2 = 1 ( a + b +2) 2 ab( a + b) 2 -c2+ ( a + b) ( a + b) 2 - c2 + ( 2a2+2b2- c2) 2 记 = 1 4 ( a + b) 2 - c2 ,则 2 = ( a + b +2) 2(4ab +4 ( a + b) + 2a2+2b2- c2 2) = ( a + b +2) 2 ( a + b +2) 2 +4ab - ( a + b) 2 -4 2 + 2a2+2b2- c2 2 =+ ( a + b +2) 2 - ( a - b) 2 + 2 ( a - b) 2 =+ 1 ( a + b +2) 2 ( a - b) 2 ( - + 2) 于是( 2 - ) 1- ( a - b) 2 ( a + b +2) 2 =0 显然1- ( a - b) 2 ( a + b +2) 2 0,故 = 1 4 ( a + b) 2 - c2 1590 已知x , y , zR ,且x + y + z = xyz 0,求 t = 1 x + 1 y + 1 z 的值域. (湖北省南漳县第一中学 刘光清 441500) 解 由xyz 0知有以下两种情况:x , y ,z都 为正数;x , y ,z中有一个为正数,另两个为负数. 当x , y , z都为正数时 已知化为x + y + z xyz =1,则有 1 xy + 1 yz + 1 xz =1. 所以t2 = ( 1 x + 1 y + 1 z ) 2 = 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 + 2( 1 xy + 1 yz + 1 xz) 1 xy + 1 yz + 1 xz +2( 1 xy + 1 yz + 1 xz) =3 所以t3,且 “=” 成立时有x = y = z =3. 当x , y , z中一个为正,两个为负时,不妨设x 0, y 0. 因为x + y = z( xy -1 ) 0,则0 xy 1. 又可得 1 z = xy -1 x + y . 因为x + y = - ( -x) + ( -y) -2xy. 所以t = 1 x + 1 y + 1 z = x + y xy + xy -1 x + y -2xy xy + xy -1 -2xy = - 2 xy - xy -1 2xy . 令m = xy ( 知0 m 4,所以- 1 2 ( m + 3 m ) - 2. 所以t -2 . ( 当x = y-1时, 1 z = x2-1 2x 0,知t -2且可无限接近 ) . 综合以上两种情况,知t的值域为:( -, -2) (3, + ) . 2006年1月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1591 ABC中, CDAB于D ,ACD ,BCD的 内切圆分别切AC, BC于E, F,求证: (1)若 ACB =90,则 EDF =90; (2)若 EDF =90,则 ACB =90. (江苏省无锡市硕放中学 邹黎明 214142) (下转第61页) 362006年 第45卷 第1期数学通报 四面体中的Cosnita2Turtoiu不等式 周永国 (湖南沅陵一中 419600) 设 ABC三边上的高和内切圆半径分别为ha, hb, hc, r.则Cosnita2Turtoiu不等式1是: h1+ r h1-r + h2+ r h2-r + h3+ r h3-r 6 最近,文2给出了 的上界.即 h1+ r h1-r + h2+ r h2-r + h3+ r h3-r 7 本文将不等式 ,推广到三维空间的四面 体. 定理 设四面体A1A2A3A4的内切球半径为r, 过顶点Ai的高为hi( i =1,2,3,4 ) . 则 20 3 4 i =1 hi+ r hi-r 8 当且仅当A1A2A3A4为等面四面体时,式左 边取等号. 证明 设四面体A1A2A3A4的顶点Ai所对的侧 面面积为Si ( i = 1,2,3,4 ) , 记S = 4 i =1 Si,则 hi r = S Si ( i = 1,2,3,4) 于是 H = 4 i =1 hi+ r hi-r = 4 i =1 hi/ r +1 hi/ r -1 = 4 i =1 S/ Si+1 S/ Si-1 =4+2 4 i =1 Si S - Si 由Cauchy不等式,有 4 i =1 Si S - Si = 1 3 4 i =1 ( S - Si) 4 i =1 1 S - Si -4 1 3 ( 4 i =1 S - Si 1 S - Si ) 2 -4= 16 3 -4= 4 3 将 式代入 式,即知 式左边的不等式成 立.当且仅当A1A2A3A4为等面四面体时,式左边 取等号. 为了证明 式右边的不等式,我们不妨设S1 S2S3S4,且进一步设S1= x1S4, S2= x2S4, S3= x3S4,由S1 S2+ S3+ S4,有1x3x2 x1 x2+ x3+1,将S1, S2, S3, S4,代入 式,化简后 可得 H =4+2 x1 x2+ x3+1 + x2 x1+ x3+1 + x3 x1+ x2+1 + 1 x1+ x2+ x3 4+2 x2+ x3+1 x2+ x3+1 + x2 x2+ x3+1 + x3 x2+ x3+1 + 1 x2+ x3+1 =8 故 式右边的不等式成立.定理证毕. 参考文献 1 O.Bottema等著.单译,几何不等式M.北京:北京大学出 版社,1991 2 田正平.有关高线的一个不等式J.中学数学月刊,2003,9 (上接第63页) 1592 一个无穷等差数列,它的