高中数学备课参考数学通报问题解答9807pdf

数学问题解答 1998年6月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1136 设P是 ABC内一点,且 PAB= PBC=PCA=(即为勃罗卡角 ) , 则 B =C的充分必要条件为sin= sinA 5 - 4cosA 证明 必要性的证明参见数学通报1998 年第2期问题1113的解答. 下面利用众所周知的结论 1 sin2 = 1 sin2A + 1 sin2B + 1 sin2C来证明其充分性. 由sin= sinA 5 - 4cosA 且 1 sin2 = 1 sin2A + 1 sin2B + 1 sin2C 得 5 - 4cosA sin2A = 1 sin2A + 1 sin2B + 1 sin2C ,则有 4 - 4cosA sin2A = 1 sin2B + 1 sin2C ,因此 8sin2 A 2 sin2A = 1 sin2B + 1 sin2C ,由二倍角公式得 2 cos2 A 2 = 1 sin2B + 1 sin2C ,由于A+B+C=,则有 2 sin2 B+C 2 = 1 sin2B + 1 sin2C ,整 理,得: 2sin2Bsin2C= sin2 B+C 2 sin2B+ sin2 B+C 2 sin2C, 此式可变为:sin2 B ( sin2C- sin2 B+C 2 )= sin2C (sin2 B+C 2 - sin2B) ,那么,有 : ( 1 - cos 2 B) cos ( B + C) - cos 2C=(1 - cos 2 C) cos 2B - cos ( B +C) ,和差化积得:- 2(1 - cos 2 B) sin B+ 3C 2 sin B-C 2 = - 2(1 - cos 2 C) sin 3B+C 2 sin B-C 2 .若BC,那么sin B-C 2 0,因此 上式变为 : ( 1 - cos 2 B) sin B+ 3C 2 =(1 - cos 2 C) sin 3B+C 2 .整理:sin B+ 3C 2 - sin B+ 3C 2 cos 2B= sin 3B+C 2 - sin 3B+C 2 cos 2C.积化和差 得:sin B+ 3C 2 - 1 2 sin 5B+ 3C 2 - 1 2 sin 3 ( C - B) 2 = sin 3B+C 2 - 1 2 sin 3B+ 5C 2 - 1 2 sin 3 ( B - C) 2 .整理得sin B+ 3C 2 - sin 3B+C 2 + sin 3 ( B - C) 2 = 1 2 (sin 5B+ 3C 2 - sin 3B+ 5C 2 )和差 化积得:2cos ( B + C) sin C-B 2 + 3sin B-C 2 - 4sin 3B-C 2 = cos 2 ( B + C) sin B-C 2 .由于假设 BC,即sin B-C 2 0,那么:- 2cos ( B + C) +3 - 4sin2 B-C 2 = cos 2 ( B +C) .即有- 2cos ( B + C) + 3 - 2 + 2cos ( B - C) = cos 2 ( B +C) . 整理得:1 - 2cos ( B + C) - cos ( B -C) = cos 2 ( B +C) .和差化积得:1 + 4sinBsinC= cos 2 ( B +C) ,即1 - cos 2 ( B + C) + 4sinBsinC= 0,则有2sin2 ( B + C) + 4sinBsinC= 0,即 sin2( B + C) +2sinBsinC =01(3) 由于A , B ,C为三角形内角,则sin2 ( B + C) 0,sinB 0,sinC 0,因此sin2 ( B + C) +2sinBsinC 0与(3)式矛盾,因此必有B= C.故充分性得证. 1137 设P为 ABC内任一点,BPC、 CPA、A PB的外接圆半径分别为Ra,Rb, Rc.求证:Ra+Rb+RcPA+PB+PC. 1998年 第7期 数学通报45 证明 如图,分别过A ,B ,C三点作PA , PB ,PC的垂线交成 ABC,则P,B ,A, C; P,C, B,A ; P,A ,C,B分别四点共 圆. 记PA=x ,PB=y ,PC=z ,在 BPC中, 由余弦定理得: BC =y2+ z2+2yzcosA =y2+ z2-2yzcos ( B + C) = ( z sinB+ ysinC) 2 + ( zcosB-ycosC) 2 zsinB+ ysinC 2Ra= BC sinA zsinB sinA+ ysinC sinA (1) 同理可得: 2Rb= CA sinB xsinC sinB + z sinA sinB (2) 2Rc= AB sinC ysinA sinC + xsinB sinC (3) 将(1)+(2)+(3)得: 2 ( R a+ Rb+ Rc)z sinB sinA + sinA sinB + y sinC sinA + sinA sinC 2 + x sinC sinB + sinB sinC si 2z +2y +2x =2( x + y + z) Ra+Rb+RcPA+PB+PC. 1138 证明:正三棱柱的两个侧面的异面对 角线互相垂直的一个充分必要条件是:它的底面 边长与侧棱长的比为2:11 证明 如图,正三棱拄ABC-A1B1C1中, AB1, BC1分别为侧面A1B、侧面B1C的对角 线,M1是底面正 A1B1C1的边A1B1的中点, 连结C1M1,BM1,则C1M1A1B11 因侧面 A1B底面A1B1C1,故C1M1侧面A1B1,于 是BM1为BC1在面A1B上的射影,设AB1与 BM1交于点O. 必要性 由AB1BC1及三垂线定理的逆定 理知AB1BM11 因 M1B1O BAO ,故 M1O : BO=M1B1: BA= 1:21 设M1O=a , 则BO= 2a ,BM1= 3a.在RtM1B1B中, B1OBM1于O ,故M1B12=M1OBM1= 3a2, BB12=BOBM1= 6a2,于是M1B1: BB1 = 3:6 = 1:2,从而A1B1: BB1= 2M1B1: BB1= 2:11 充分性 由A1B1: BB1= 2:1,知M1B1: BB1= 1 2 A1B1: BB1= 1:2,且B1B : AB= 1: 2故M1B1:B1B=B1B :AB.所 以Rt M1B1BRtB1BA ,从 而 B1M1B= BB1A ,但 B1M1B+B1BM1= 90,故 BB1O+B1BO= 90,从而 BOB1= 90, AB1BM11 由三垂线定理知AB1BC11 1139 求下述方程组的所有实数解: x6+ y6=1 x8+ y8=1B ( (3) 下面我们确定方程组(3)解的范围. 若u 1,v4 1,于是从第二个方程得 知u4 1,则u3 1, v3 0,v 0,由于方程组关于u ,v是对称的, 所以这个情况也同样不能成立.于是我们只须在 下面范围内求解 0u1,0v1 若0 u 1,我们有 u4= u3u u31= u3 又v4v3(因为0v1 ) , 于是,u4u3,v4 v31 因而u4+v4u3