高中数学知识与方法研究教案与学案一体化第二章平面向量必修4PDF无

高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 1 第二章第二章 平面向量平面向量 2、1 向量的概念向量的概念 第一部分第一部分 第一部分第一部分 教学目标教学目标 掌握向量的定义及其表示法；掌握两类模特殊的向量；掌握两个向量共线和相等的定义。 课题引入课题引入 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、课题的引入 在现实生活中，我们经常遇到两类量： 1、只需用一个实数表示，例如：长度、质量和温度等。 2、除了用一个实数（大小） ，还需要一个方向，例如：力、位移和速度等。 二、探索新知探索新知 1、向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量（也叫矢量） 。 2、向量的表示法 （1）几何表示 向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，也叫模；有向线段的方向表示向量的 方向。 （2 代数表示 向量可用AB、CD或a a、b b等表示。 问题：有向线段是向量吗？反之呢？ 有向线段有几个要素？向量呢？ 电流、温度等是向量吗？为什么？ 3、两类特殊向量 （1）模特殊的向量 模为 0 的向量叫做零向量，记作0，模为 1 的向量叫做单位向量，记作e e。 （2）方向特殊的向量 方向相同或相反的非零向量称为平行向量。由于表示平行向量的有向线段可以平移到同一直线 上，所以平行向量又叫共线向量。 问题：0的方向怎样？0的平行向量又是什么向量？ 规定：0的方向是任意的，0与任意向量平行。 问题：平行向量的方向都相同吗？平行向量的模都相等吗？ 规定：模相等且方向相同的向量称为相等向量。 问题：单位向量是相等向量吗? 例子：1、在下列情况下，表示向量的有向线段的终点表示什么图形？ （1）在空间内，表示所有单位向量的有向线段的起点移至同一点？在平面内呢？ （2）所有平行向量的起点移至同一点？所有相等向量呢？ 2、如下左图，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出与OA、OB、OC相等和共线的向量。 a a 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 2 3、如上右图，在平行四边形 ABCD 中，DCAB ，N、M 分别是 BC、AD 上的点，NACM ， 求证：NBDM . 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及方法及其研究过程其研究过程。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 3 2、2 向量的加法向量的加法 第一部分第一部分 教学目标教学目标 走进复走进复习习 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；掌握向量加法运算律。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 1、向量的定义和表示法； 2、两类模特殊的向量 3、两个向量共线和相等的定义。 二、探索新知探索新知 1、向量的加法的定义 将向量理解为位移：ACBCAB= a 在下列情况下在下列情况下，作出作出a + b。 结论：|a| -|b|a + b|a| + |b| 例子例子：若若|a|=8 ， |b|=12，求求|a + b|的最大值和最小值的最大值和最小值。 2、向量加法的平行四边形法则： 作ABa ，ADb，以以a 、 b 为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形 ABCD，则则AC a + b。 A B C a b a b a b a b 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 4 问题问题：对于对于Rcb、a，有实数的加法运算律。 a00a，abba，c)b(acb)(a 那么对于向量a 、b、c，有类似的运算律吗有类似的运算律吗？ 3、向量的加法运算律向量的加法运算律 a + 0 = 0 + a，a + b = b + a，（a + b）+ c = a +（b + c） 这可以通过向量加法的定义得到这可以通过向量加法的定义得到。 指出指出：在物理学中经常用到向量知识在物理学中经常用到向量知识。 例例1、 一条河的两岸平行一条河的两岸平行， 河的宽度河的宽度d=500米米， 一艘船从一艘船从A处出发到河对岸处出发到河对岸。 已知船速已知船速km/h10| 船 ， 水流的速度km/h2| 水 。 （1）船向垂直于对岸的方向行驶船向垂直于对岸的方向行驶，求船的实际航行速度的大小和方向求船的实际航行速度的大小和方向（用与水流的速度间的夹角表用与水流的速度间的夹角表 示示） 。） 。 （2）当船行驶的航程最短时当船行驶的航程最短时，求船航行的时间求船航行的时间。 问题问题：轮船的航程最短时轮船的航程最短时，所用的时间最短吗所用的时间最短吗？ 例例 2、在日常生活中在日常生活中，你是否有这样的经验你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包两个人共提一个旅行包，夹夹角越大越费力角越大越费力；在单杠上在单杠上 做引体向上运动做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗你能从数学的角度解释这种现象吗？ 下面一个例子下面一个例子，不用向量加法的定义不用向量加法的定义 例例 3、设设 o o 是正五边形是正五边形 54321 AAAAA的中心，求证： 1 OA+ 2 OA+ 3 OA+ 4 OA+ 5 OA=0 提示提示：将将 1 OA、 2 OA、 3 OA、 4 OA、 5 OA都逆时针转 0 72。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后课后作业作业】 113 P 习题 5 A 组 4，B 组 1。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 5 2、3 向量的减法向量的减法 第一部分第一部分 教学目标教学目标 走进复走进复习习 掌握向量减法的两种定义形式；掌握向量减法的几何意义和向量和差的三角不等式。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一一、复习巩固复习巩固 1 1、向量加法的三角形法则和平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 2 2、向量加法运算律向量加法运算律； 二二、探索新知探索新知 提问：实数减法的定义 （1）bapapb、 （2）baba)(，b是b的相反数。 baba0，00 ，aa )( 问题：两向量a、b的差又应该怎样定义呢的差又应该怎样定义呢？ （1）a = p + bp = a - b （2）a - b = a + (-b) -b叫做叫做b的相反向量的相反向量（长度相等长度相等，方向相反方向相反） 0的相反向量是的相反向量是0，a + b = 0 a = - b，a + (-a) = 0，-(-a) = a，BAAB 问题问题：给出向量给出向量 a 、b，如何作出如何作出 a - b？ 结论结论：向量减法的几何意义向量减法的几何意义 作OAa ，OBb，连接连接OA，OB的终点，且指向被减向量的向量就是a - b。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 6 当当a、b共线时共线时，作出作出a - b。 问题问题：从以上作图从以上作图（分分a、b共线共线和不共线两类和不共线两类）来看来看，|a| 、|b|【、|a - b|有何有何关系关系？ 结论：|a| -|b|a - b|a| + |b| 又因为又因为|a| -|b|a + b|a| + |b| 所以所以|a| -|b|a b|a| + |b| 例1、 若3|a ，4|b ，求|ba 有最大和最小值。 例 2、当a、b不共线时 （1）何时a+ b与ab垂直？ （2）何时|ba 与|ba 相等？ （3）a+ b与ab能相等吗？ 例 3、填空（化简） （1）PB+OPOB=_ （2）OBOAOCCO=_ （3）在平行四边形 ABCD 中，BCCDBA=_ （4）已知 D、E、F 分别为ABC 的边 BC、CA、AB 的中点，则BFDCFD=_ 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 a b a b a b 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 7 2、4 数乘向量数乘向量 第一课时第一课时 数乘向量数乘向量 第一部分第一部分 教学目标教学目标 掌握数乘向量的定义和运算律，理解向量共线向量定理。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 1、向量加法的定义。 2、已知向量a，作出a + a + a, (-a) +(- a) +(- a). 问题问题：从长度和方向上看从长度和方向上看，3a、-3a与与a关系如何关系如何？a与与a关系关系又又如何如何呢呢？ 二二、探索新知探索新知 1、a（R）的意义的意义。 （1）|a|=|a| （2）当当0时时，a 与与a同向同向。 当当0时时，a = 0 。 当当0时时，a 与与a反反向向。 问题问题：对于实数对于实数cba、， 交换律交换律baab结合律结合律)()(bcabca分配律分配律acabcba )( 那么那么，对于数乘向量运算有交换律对于数乘向量运算有交换律、结合律和分配律吗结合律和分配律吗？若有若有，应怎样表述应怎样表述？ 2 2、数乘向量运算律数乘向量运算律 （1 1）a=a（R） （2）)(a= (a) （3）)(a= a +a （4）( a + b) =a +b 首先首先，设设a、b为不共线向量为不共线向量，可以画图验证可以画图验证： （1）2（3a）= 6a （2）) 32( a= 2a +3a （3）2 ( a + b) =2a + 2b 其次其次，我们用数乘向量的定义说明数乘向量运算律的正确性我们用数乘向量的定义说明数乘向量运算律的正确性。 根据数乘向量运算律根据数乘向量运算律，可以解决下列问题可以解决下列问题： 例例 1 1、化简化简 （1 1）3 3( a + 2b)2 ( a-b)- a (2) ( 3a + 2b-c) 2(3 a + 2b + c) 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 8 (3) )(yx ( a + 2b) +)(yx ( a-b) 问题问题：1、已知已知 a = 3e, b= 10e，e 为非零向量为非零向量，画图说明画图说明 a、b 有什么关系有什么关系？ 2、已知已知 a、b 为非零向量为非零向量，a、b 共线共线，那么那么 a、b 之间有怎样的等式之间有怎样的等式关系关系？ 3 3、与非零向量共线的与非零向量共线的条件条件 共线向量定理共线向量定理： b 与与 a（a0）共线共线，当且仅当存在唯一的当且仅当存在唯一的R，使使 b =a。 例例 2 2、证明证明 a、b 共线共线 （1）已知已知 a = 5e, b=4e，e 为非零向量为非零向量 （2）已知已知 a = e1-e2, b= 2e1+2e2，e1、e2 不共线不共线。 逆向思维逆向思维：若若 a = e1-e2, b=2e1+ke2，e1、e2 不共线不共线，a、b 共线共线，求求k的值的值。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 9 第二课时第二课时 共线向量定理的应用共线向量定理的应用 第一部分第一部分 教学目标教学目标 走进复走进复习习 学会利用向量加减法和数乘向量的知识解决三点共线问题多边形内的平面向量问题学会利用向量加减法和数乘向量的知识解决三点共线问题多边形内的平面向量问题。 第二部分第二部分 走进走进新课新课 一一、复习巩固复习巩固 1 1、数乘向量的定义和运算律数乘向量的定义和运算律； 2 2、两个向量共线的充要条件两个向量共线的充要条件。 二二、探索新知探索新知 例 1、设 O 为平面内任意一点，证明；点 A、B、C 共线当且仅当： 存在实数x、y，1 yx，使得OC=xOA+yOB 例 2、设e1、e2是两个不共线的向量，AB=2e18e2， CB=e1+3e2 , CD=2e1-e2，证明：A、B、D 三点共线。 逆向思维问题： 设e1、e2是两个不共线的向量，AB=2e1ke2， CB=e1+3e2 , CD=2e1-e2，且 A、B、D 三点共线，求 k 的值。 我们再来看给定多边形中的问题： 先看三角形中的问题 例 3、设 O 为平面内任意一点，G 是ABC 的重心， OA= a OB= b, OC=c，用a 、b、 c表示OG。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 10 问题：三角形除了重心以外还有什么“心”？ 例子：选择题 （1）O 是平面上一个定点，A、B、C 是平面上不共线的三点， 动点 P 满足 ) | ( AC AC AB AB OAOP ，), 0 ，则点 P 的轨迹 一定通过ABC 的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 （2）已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是ABC 内的一点， 若0OCOBOA，则 O 是ABC 的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 再看平行四边形中的问题 例 4、平行四边形 ABCD 的对角线相交于 M，且AB= a AD= b, （1）用a、b表示MA、MB,MC、MD。 （2）若 G、H 分别为 DC、BC 的中点，用a、b表示AG、AH。 逆向思维： 在平行四边形 ABCD 中，G、H 分别是 DC、BC 的中点，AG= a ，AH= b, 用a、b 表示AB、 AD。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后课后作业作业】 1、在四边形 ABCD 中，ABa + 2b，BC4 ab ，CD5 a3 b，其中a 、 b不 共线，判断四边形 ABCD 的形状。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 11 2、已知 321 OPOPOP0， 1| 321 OPOPOP， 判断 1 P 2 P 3 P 的形状。 3、 已知梯形 ABCD 中, ADBC, E、 F 分别是 AD、 BC 边上的中点， 且 BC=3 AD ， 设BAa , BCb, 以a 、b为基底表示EF、DF、CD 4、在平行四边形 ABCD 中, 若ABa , ADb, E、F、G 分别在 AC、BC、AD 上，AE=3EC， AD = 4AG，F 是 BC 的中点，试以a 、b为基底表示GE和GF. 5、在ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 n m FC AF EB AE ，设ABa , ACb， 证明：BC nm m EF . 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 12 2、5 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 第一课时第一课时 平面向量及其运算的坐标表示平面向量及其运算的坐标表示 第一部分第一部分 教学目标教学目标 掌握平面向量基本定理；掌握平面向量及其加减法和数乘向量的坐标表示。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一一、复习巩固复习巩固 1 1、向量加减法和数乘向量的知识向量加减法和数乘向量的知识； 2 2 问题问题：已知已知e1、e2是两个不共线的向量，求作向量p = -2.5e1+3e2 . p 还可以表示为还可以表示为 p = xe1+ye2（5 . 2x，3y不同时成立）吗？ 二二、探索新知探索新知 1、平面向量基本定理平面向量基本定理 设e1、 e2是两个不共线的向量，对于平面内任意向量a，有且只有 1 、R 2 ，使得a 1 e1 + 2 e2， ，其中其中不共线的向量不共线的向量e1、e2叫做平面内所有向量的一组基底叫做平面内所有向量的一组基底。 指出指出：用平面向量基本定理可以解决下列问题用平面向量基本定理可以解决下列问题。 例子例子、在平行四边形在平行四边形 ABCD 中中，E、F 分别是分别是 AD、DC 的中点的中点，BE、BF 分别与分别与 AC 交于交于 R、T 两两 点点，求证求证：ACRT 3 1 。 下面我们利用平面向量基本定理，在平面直角坐标系下研究向量。 2、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系下，分别取与x轴、y轴同向的单位向量i 、j ，根据平面向量基本定理得： a= i xOA j y，x、Ry 则),(yx叫做a的直角坐标，a=),(yx叫做向量a的坐标表示。 显然：相等向量有相同的坐标 |a| 22 yxOA )0 , 1 (i 、) 1 , 0(j 、0(0,0) a i xj y也可以看做i x与j y的和。 o a a A),(yx y x 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 13 例子、 如图，用i 、j 表示向量a、b、c，并写出它们的坐标，求|a| + |b| + |c|。 3、平面向量运算的坐标表示 问题：已知a=),( 11 yx b=),( 22 yx，计算a + b、a-b、a 结论结论：a + b),( 2121 yyxx， a-b),( 2121 yyxx， a),( 11 yx 再想：你能用自然语言描述这三个法则吗？。 例 1、已知a=（2，1） ，b=（-3，4） ，求a + b，a b，3a + 4b，|3a + 4b|。 变式：已知a + b=（-1,5），a b=（5，-3），求3a + 4b。 例 2、已知 A（x1, y1）, B(x2 ,y2), 求| AB 例 3、已知平行四边形 ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别为（-2，1） ， （-1，3） ， （3，4） ， 求 D 点 的坐标。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 14 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后课后作业作业】 1 1、已知点已知点) 1 , 2(A，)8 , 3(B，及ABAC 3 1 , BADA 3 1 ，求CD的坐标。 2、已知点点) 1 , 2(A，)8 , 3(B，)6 , 4(C, ACABAP)(R, 点 P 在第一象限，求的取值 范围。 3、已知点点) 1 , 2(A，)8 , 3(B，)6 , 4(C,)6 , 5(D, 以ACAB、为一组基底表示CDBDAD. 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 15 第二课时第二课时 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 第一部分第一部分 教学目标教学目标 走进复走进复习习 掌握共线向量的坐标表示；学会利用共线向量的坐标表示解题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 1、共线向量的定义 2、b 与 a（a0）共线的充要条件。 二、探索新知探索新知 设a=),( 11 yx， b=)0)(,( 2 2 2 222 yxyx， ab a =b ),( 11 yx),( 22 yx 1221 21 21 yxyx yy xx 可以验证可以验证：当当 22 22 0 xy时，上面结论依然成立，所以 设a=),( 11 yx， b= 22 (,)xy，则 ab 1221 x yx y（叉乘相等叉乘相等） 特别地，当0 22 yx时，ba 2 1 2 1 y y x x 例 1、已知 ba 解题 （1）已知 a)(,3( 22 Rxxxx, b)0 , 4(，ba，求x。 （2）已知 a)2 , 4(, b), 6(y，ba，求y。 例2、 已知) 1, 1(A，) 3 , 1 (B，)5 , 2(C，求证：A、B、C 三点共线。 现在我们看线段定比分点问题： 例 3、设),(yxP是 21P P所在直线上任意一点，若PP 12 PP，则叫做 P 分 21P P所成的比，P 叫 做有向线段 21P P的定比分点。 当0时，P 叫做 21P P的内分点。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 16 当0时，P 叫做 21P P的外分点。 （1）当 P 是 P1P2中点时，求 P 点的坐标。 （2）当 P 满足PP 12 2PP时，求 P 点的坐标。 （3）当 P 满足PP 12 PP时，求 P 点的坐标。 结论：中点坐标公式 2 2 21 21 yy y xx x 定比分点坐标公式定比分点坐标公式 1 1 21 21 yy y xx x 下列例子既可以用定比分点坐标公式，也可以不用： 1、.已知 A（2, 4） 、B（3，1） 、C（3，4） ，且CACM3，CBCN2，求点 M、N 的 坐标。 2、已知点 A（3，4） 、B（1，2） ，点 P 在直线 AB 上，且| PA | = 2| PB | ，求 P 点的坐标。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 17 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后作业课后作业】 1、选择题 (1)在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点 A(2, 1) 、B（1，3） ，若点 C 满足 OCOBOA，其中、R，且1，则点 C 的轨迹方程为（ ） （A）01123yx （B）5)2() 1( 22 yx （C）02 yx （D）0732 yx （2）若向量a = (1, 1), b = (1, 1)，c = (1, 2)，则c为（ ） （A） 2 3 a 2 1 b （B） 2 1 a 2 3 b （C） 2 1 a 2 3 b （D） 2 3 a 2 1 b 2、填空题 （1）已知c = 4 a 2 1 b，a = (2, 3)，c = (1, 3)，则b= _ （2）已知点 A（2, 1） ，B（5, 3） ，AB=AC，那么 C 点的坐标为_ 3、解答题. （1）ABC 三个顶点 A（2，4） 、B（7，6） 、C（1，0） ，C 的内角平分线交边 AB 于 M， 求 M 点的坐标。 （2）ABC 三个顶点 A（2，4） 、B（7，6） 、C（1，0） ，C 的外角平分线交直线 BA 于 M， 求 M 点的坐标。 （3）在ABC 中，D 为 AB 边的中点，E 为 BC 边上一点，且ABC 的面积是ADE 面积的 9 倍， 若 B 点坐标为（3，2） ，C 点坐标为（ 2 3 ，4） ，求 E 点的坐标。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 18 2、6 平面向量的数量积平面向量的数量积 第一课时第一课时 平面向量的数量积平面向量的数量积 第一部分第一部分 教学目标教学目标 掌握平面向量数量积的定义和运算律；掌握平面向量数量积的几何意义。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 向量的加法、减法和数乘向量运算 指出：这一节课我们来研究向量间的另一种运算。 二二、探索新知探索新知 看物理学中的一个例子：物体在力F 的作用下产生位移S ，则 F 对物体所做的功为：SFSFW ,cos|。 指出：F 、S 是向量，W 就是我们今天要研究的两个向量的数量积。 问题：在SFSFW ,cos|中，SF ,是F 、S 的夹角。那么对于任意的向量a、b ， 有应该如何定义它们的夹角呢？ 1、向量a、b夹角的定义 作OA=a、OB=b，则AOB叫做向量a、b的夹角，记作，显然 00 1800。 当 0 0时，a、b同向 当 0 180时，a、b反向 当 0 90时，a、b垂直，即ab 。 问题：SFSFW ,cos|叫做两个向量F 、S 的数量积，那么对于任意两向量a、b的数量 积又如何定义呢？ 2、两向量a、b的数量积 a b= |a| | |b|cos，其中表示a, ,b的夹角。 例子（1）已知|a| = 5 = 5 ， | |b|=4 ，a, ,b的夹角为 0 120，求a b。 （2）已知|a| = 5 = 5 ，求a a ，a （- -a） 。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 19 （3）已知|a| = 5 = 5 ， | |b|=4 ，a b = 10 ，求a, ,b的夹角。 显然： （1）a 0= a 0 （2）当 00 900时，a b0 ； 当 0 90时，a b = 0 当 00 18090时，a b0；当 0 0时，a b = |a| | |b| 当 0 180时，a b|a| | |b| 问题：在a b= |a| | |b|cos中，如何理解| |b|cos呢？ 3、用任意角三角函数的定义理解| |b|cos 结论： 数量积的几何意义： | |b|cos就是b在a的方向上的投影。a b等于|a|与b在a的方向上的投影的积。 问题： （1）a b等于|b|与a在b的方向上的投影的积吗？ （2）实数的乘法和数乘向量运算都有交换律、结合律和分配律，那么数量积运算也有类似的 运算律吗？ 4、数量积的运算律 a b = b a (a) b(a b) (a + + b) c=a c+b c 问题：(a b) c=a （b c）成立吗？何时才可能成立呢？ 有了数量积运算律，我们就可以解决下列问题 例 1、求证： （1） （a + b 2 ) = a2 + 2 ab + b2 （2） （a b 2 ) = a2 2 ab+b2 （3） （a +b） （ab）= a2 b2（4） （a + b + c 2 ) = a2 +b2 + c2+ 2 ab+ 2 bc+ 2 ca a b b a b a 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 20 问题： （a + b 3 ) = a3 + 3 a2b +3 ab2 + b3 a3 + b3 =（a +b）(a2 - ab + b2) a3 - b3 =（a -b）(a2 +ab + b2) 是否成立？何时才可能成立？ 例 2、已知| a | =6, | b | = 4, a与 b的夹角为 600，求 （1） （a + 2b） （a3b） ； （2）|a+2b|， |a3b|。 （3） （a + 2b）与（a3b）的夹角； （4）a + 2b在a3b 上投影的数量上投影的数量。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后课后作业作业】 1、已知a 、b满足| a + b| =3|a- b|，且 | a | = | b | = 1 求a(2 ab) |3a 2b| 2、已知| a | = 4, | b | = 3 , (2 a-3 b)(2 a + b) = 61 求a与b的夹角 求|a +b|与|3a 2b| 求a +b与b的夹角 求ab与a的夹角。 3、已知cba、分别是三角形 ABC 中CBA、的对边，85ba、， 0 60C，求 CABC. 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 21 第二课时第二课时 平面向量数量积性质的应用平面向量数量积性质的应用 第一部分第一部分 教学目标教学目标 走进复走进复习习 掌握平面向量数量积的性质，学会利用平面向量数量积的性质解题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 1、平面向量数量积的定义和运算律； 2、平面向量数量积的几何意义。 问题 ： aa 已知ab，计算ab 已知向量a、b，求 cos |a b|与|a| | |b|有何关系？ 二二、探索新知探索新知 5、数量积的性质 （1）aa= |a|2 （2）abab = 0 （3）cos |b ba a a （4）|b ba ab ba a 例 1、已知| a | =2, | b | =1 , a a与b b的夹角为 3 （1）求|3b3b2a2a |和|3b b- -a a| （2）求3b3b2a2a 和 3b b- -a a的夹角。 例2、 已知| a | =2, | b | = 3 , a 与b的夹角为 0 45 , a +b 与a +b的夹角为锐角, 求实数 的取值范围. 例 3、已知| a | =| b | = 1 , a与b的夹角为 600，2 a + 3 b与 k a4 b垂直, 求实数k的取值. 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 22 指出：有些平面几何问题中证垂直的问题，也可用平面向量数量积知识解决。 例 4、用向量知识证明：直径上的圆周角是直角。 再如，证明：菱形对角线互相垂直。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后作业课后作业】 1、已知a 、b都是非零向量，且a +3b与 7a5b垂直，a4b与 7a2b垂直，求a 与b的 夹角。 2、已知平面向量a 、b、 c的模均为 1 ， 它们相互之间的夹角均为 0 120， 记xxf|)(a + b + c| , 求)(xf的表达式。 3、如图，支座 A 受F1、F2两个力的作用，|F1|=40N、|F2|=70N , F1与水平方向成成角，F2沿水 平方向，F1、F2的合力|F|=100N，求及 F与与F2的夹角。 4、已知向量 1 OP、 2 OP、 3 OP， | 1 OP| 2 OP=1| 3 OP 1 OP+ 2 OP+ 3 OP=0, 判断 321 PPP的形状。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 23 2、7 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 第一部分第一部分 教学目标教学目标 掌握平面向量数量积的坐标表示；掌握平面向量数量积性质的坐标表示。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、复习巩固 1、平面向量数量积的定义； 2、平面向量数量积的几何意义； 3、平面向量数量积的性质。 问题 ：数量积、数量积的性质可否用坐标表示? 二二、探索新知探索新知 设a a),( 11 yx，b b),( 22 yx，即a ajyix 11 ，b bjyix 22 （ 11 yx、Ryx 22、 ） 计算b ba a，就会得到： （1）b ba a 12 x x 12 y y （2） 2 a a=a aa a 2 1 2 1 yx = |a|2 , |a| 2 1 2 1 yx ，|a-b| 2 21 2 21 )()(yyxx （3） b ba a 12 x x 12 y y=0 （4）cos 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 例 1. 已知a=（5，7） ，b=（6，-4） ，求 （1） ab （2）a 与 b的夹角 （3）a在b方向上的投影 （4）|3a + 2b|。 例 2. 已知|a| =5，b=（1，2） ，ab，求a 。 例 3、已知 b =（1，2），ab， （a + b） a = 5, 求a . 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 24 指出：1、与a a),(BA共线的向量可以设为：b b),(BA。 2、与a a),(BA垂直的向量可以设为：b b),(AB 。 3、有些几何问题可以用向量处理。 例 4.在边长为 3 的正方形 ABCD 中, 点 P 在线段 BC 上， 且 BP= 2 1 PC, Q 在直线 PC 上, 且 AQPD, 求 BQ 的长. 例 5、已知ABC 是正三角形, A(1 , 2) , B（3，-4） ，求 C 点坐标。 例 6. 已知 A(1 , 2) , B（2，3） ，C（-2，5） （1）求证：ABC 是直角三角形。 （2）求ABC 。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后课后作业作业】 1、已知 2 a3b = (20, 8), a +2 b = (11，5), 求 (1) a与b的夹角 (2) a与a +2 b的夹角 2、平面内给定三个向量a = (3, 2) 、 b = (1，2) 、c = (4, 1) ，解下列问题 求满足a =mbnc的实数m、n。 若akc2 ba , 求实数k 设d = (x, y)满足dca + b , 且|dc| = 1，求d 3、设向量) 1 , 3(OA, )2 , 1(OB, OBOC , BCOA, 又OCOAOD, 求OD 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 25 2 2、8 8 平面向量专题研究平面向量专题研究 专题专题一一 平面向量与平面几何平面向量与平面几何 第一部分第一部分 教学目标教学目标 学会利用平面向量运算的知识解决一些平面几何问题。 第二部分第二部分 走进新课走进新课 一、课题的引入 前面我们用向量知识证明了平面几何中的垂直问题： 1、直径上的圆周角是直角；2、菱形对角线互相垂直。 指出：用平面向量知识还可以证明平面几何中的平行问题、点共线问题和线段之间的等量关系问题。 二二、探索新知探索新知 一、证明平行问题 例 1、在梯形 ABCD 中，ADBC，EF 是它的中位线， 求证：EFAD 且)( 2 1 BCADEF 例 2、在平行四边形 ABCD 中，E、F 在对角线 BD 上，BE=FD，求证：四边形 AECF 是平行四边形。 二、证明垂直问题 例如：已知正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上任意一点，作 PEAB 于 E，PFBC 于 F，求证： DPEF。 指出：可以建系，也可以不建系。 三、证明点共线问题 例如：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且BDBN 3 1 , 求证： M、N、C 三点共线。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 26 四、证明线段长之间的等量关系问题 例 1、在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、DC 的中点，BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点， 求证：ACRT 3 1 。 例 2、如图，在AOB中， OAa，OBb，设MB2AM,NA3ON, 而 OM 与 BN 相交于点 P，试用a、b 表示向量OP。 第三部分第三部分 走向课外走向课外 【再次体验再次体验】这一节课的知识这一节课的知识、方法及其研究过程方法及其研究过程。 【课后课后作业作业】 1、如图，在ABC中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN=2NC，AM 与 NB 相交于点 P，求 AP:PM 的值。 2、如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，2DF=FC, AC 与 EF 交于 G，设ABa，ADb， 用a 、b表示AG。 高中数学知识与方法研究高中数学知识与方法研究（ 教案与学案一体化教案与学案一体化）必修必修 张希荣张希荣 编著编著 27 专题专题二二 平面向量在三角形中的应用平面向量在三角形中的应用 第一部分第一部分 教学目标教学目标 走进复走进复习习 学会利用平面向量知识解决三角形的“四心”问题；学会利用平面向量知识判断三角形的形