高中数学备课参考数学通报问题解答0305pdf

数学问题解答 2003年4月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1426 AN是 ABC的角平分线, AN的延长线交 ABC的外接圆于D , M是AN上一点,直线BM、 CM分别交 ABC的外接圆于E、F, DF交AB于 P, DE交AC于Q.求证: P、M、Q三点共线. (江西省宜丰县二中 龚浩生 336300) 证明 如图,连结PM、QM、BD. 因为 PAD =MAC, ADP =ACM , 所以 BPD =NMC, APD AMC. 又 PDB =MCN , 所以 BDP NCM , 所以 PB MN = PD MC = AP AM . 所以PMBN ,即PMBC. 同理:QMBC 所以P、M、Q三点共线 1427 ai ( i = 1,2, , n) 为任意一列有序实数, 且 a21-a22= a22-a23= a2n-1-a2n, 试证 a21+ a22+ a2n= 1 2 n( a21+ a2n ) . (湖北省恩施市舞阳中学 曾山 445000) 证明 设a21- a22= a22- a23= a2n-1- a2n= k ,则有 a21-a22= k , a22-a23= k , a2n-1-a2n= k. +,得 a21-a2n= ( n -1 ) k , 所以a21= a2n+ ( n -1 ) k. +,得 a22-a2n= ( n -2 ) k , 所以a22= a2n+ ( n -2 ) k , a2n-2= a2n+2k , a2n-1= a2n+ k , 所以a21+ a22+ a2n = na2n+ 1+2+ ( n -1 ) k = na2n+ n( n -1) 2 k = na2n+ n( n -1) 2 a 2 1- a2n n -1 = na2n+ n 2 ( a 2 1- a2n) = 1 2 n( a21+ a2n ) . 1428 对于卢卡斯数列 Ln :L1=1,L2=3,Ln+2 = Ln+1+ Ln, ( n =1,2,. ) ,试证:当n为奇数 时,arccotLn-10,故可令Ln=cotAn,An(0,/2 ) , 于是, 742003年 第5期 数学通报 cotAn-1 cotAn+1cotAn-1 cotAn+cotAn+1 =cot (A n+ An+1 ) , 因为An-1,An+ An+1(0, ) , 所以An-1 An+ An+1 即acccotLn-1arccotLn+arccotLn+1. 1429 设O是锐角 ABC的外心, R , R1, R2, R3 分别是 ABC,OBC,OCA ,OAB的外接圆 半径.求证 R1+ R2+ R33R , 当且仅当 ABC为正三角形时等号成立. (安徽师范大学数学系 郭要红 241000) 图1 证明 记BC = a , CA = b ,AB=c ,则BOC= 2A ,如图1,由正弦定理知 R1= BC 2sinBOC = a 2sin2A = R 2cosA ,同理, R2= R 2cosB , R3= R 2cosC. 利用均值不等式及不等式cosA +cosB + cosC 3 2 R1+ R2+ R3= R 2 1 cosA + 1 cosB + 1 cosC R 2 9 cosA +cosB +cosC 3R. 由均值不等式及不等cosA +cosB +cosC 3 2 等号成立的条件知,不等式当且仅当 ABC为 正三角形时等号成立. 1430 设N和Z分别表示正整数集和整数集. 试问: (1)是否存在映射f :NN ,使得对所有的n N ,都有f (f ( n) -n) = n +2001? (2)是否存在映射f : ZZ ,使得对所有的n Z ,都有f (f ( n) -n) = n +2001? 请说明理由. (广 州 大 学 理 学 院 数 学 系 吴 伟 朝 510405) 注 这几年来,作者一直担任中国参加IMO 的国家代表队的教练工作,本题是作者为队员们 所出的训练试题之一. 解 (1)这样的映射f :NN不存在,理由 如下:假设映射存在,令g( n)= f ( n) -n ,即 f ( n) = g( n) + n ,其中g :NN ,则g( g( n) ) + g( n) = n +2001,由此可知: g( n)及g( g( n) )都 是单射,于是有 g( 1) + g(2 ) + + g( m)1+2+ m( mN) , g( g(1) ) + g( g(2 ) ) + + g( g( m) )1+ 2+ m( mN) , 把以上两式相加得: m i =1 g( i) + g( g( i) ) 2 m( m +1) 2 ( m N) , 即 m i =1 ( i + 2001)m( m +1 ) , 亦即 m( m +1) 2 +2001mm( m +1 ) , 可化简为 m22001-1=4001 ( m N) ,但当m+时就产生矛盾!故满足要求的 f :NN不存在. (2)这样的映射f : ZZ存在.理由如下:构 造f ( n) = 1-5 2 n +,其中Gauss取整符 号 x表示不大于x的最大整数,常数=2001 3+5 2 ,这里nZ.我们只须证明下式: 1-5 2 1-5 2 n +- n + =2001+ n ( n Z) . 上式左边 = 1-5 2 1-5 2 n +- 1-5 2 1-5 2 n +- 1-5 2 n + (其中 x为x的小数部分,有关系式x = x + x) = 6-25 4 - 1-5 2 n + 3-5 2 - 1-5 2 1-5 2 n + =n +2001+ 5-1 2 1-5 2 n + = n +2001 =上式右边. (因为 0 5-1 2 1-5 2 n + 5-1 2 1 ) . 这说明上面构造的f : ZZ确实满足题目 的要求.(下转8页) 842003年 第5期 数学通报 1 “研究性学习” 的选题要注意 “平民化” 选题是否恰当往往是开展 “研究性学习”活 动能否达到预期目的的关键.我们并不反对有条 件的中学生参与真正的科学研究活动,但是作为 基础教育,面对全体学生,选题指导应顾及绝大多 数学生的实际情况,应引导他们选择与自己思维 及知识水平相适应的研究课题.研究内容应结合 所在地域的特点,为学生所熟悉.所涉及的知识不 过于超前、 综合.还应考虑课题研究的起点不宜过 高,要便于每个学生都能找到自己的切入口,都能 在过程设计中体现自己的参与,都能在自主探索、 合作交流中展示自己的所长,体现自身的价值,使 不同水准的学生都能取得不同的提高,从而使绝 大多数学生都树立起参与 “研究性学习” 活动的 自信和兴趣,保证活动的可持续性发展. 2 “研究性学习” 活动的开展要着眼于改进 学生的学习方式 当前,作为一名数学教师,面临的 “研究性学 习” 有三种形式,一是作为综合实践活动课程的 课题研究,二是数学教材中编入的研究性学习课 题,三是依据教材的课堂教学中的研究性学习.无 论哪种形式,都是以改进学生的学习方式,促进学 生的全面发展作为主要目的.作为中学生,采用有 效的接受性学习的方式,学习系统的知识,无疑是 必要的,但其中一定程度上存在的单一、 被动等问 题又必须得到解决,因此,倡导 “研究性学习” 就 是倡导多样化的学习方式,使学生获得多种体验, 取各种学习方式之长,互相补充,互相促进,打好 基础,提高素养. 开展 “研究性学习” 重要的是在于开放的环 境,自主探索过程中学会学习.学生不再是死记硬 背现成的结论,不再是顺着别人的思路去思考问 题,而可以选择自己乐于研究的课题,自主探索, 用自己的理解去思考问题,充分发挥自己的所长 去解决问题,使自己的潜力得到最大程度的发挥. 改进学习方式是不能靠传授具体的学习方法 来完成的,必须经过亲自实践,亲身体验,逐渐积 累才行,因此应防止急于求成的倾向.改进学习方 式决不是用一种统一的方式去改造每个人的方 式,而是使每一个人都有充分发展的空间.改进学 习方式不仅包括学习方法的改进,还包括学习习 惯,学习态度,各人的心理品质等方面,因此它是 一个系统工程,既要有课程改革,评价机制等方面 的支持,要有学生自身的努力,也要有教师恰当的 指导,而这些方面需要研究的课题还是很多的.我 们愿和大家一起,本着为适应时代要求促进学生 全面发展,为学生终身学习准备良好条件,为培养 大批创新型人才打下坚实基础的目标,不断努力. 参考文献 1 基础教育课程改革纲要(试行) 2 钟泉寻主编:基础教育课程改革纲要(试行) 解读.2001.华师大出版 社 (上接48页) 2003年5月号问题 (来稿请注明出处 编者) 1431 如图,在 ABC中, D , M , E是四等分BE 的三个分点,一直线顺次交AB , AD , AM ,AE, AC 于k1、k2、k3、k4、k5.求证: AM AK3 = 1 4 AB AK1 + AD AK2 + AE AK4 + AC AK5 (贵州安顺师专培训部 李慎东 561000) 1432 四面体A1A2A3A4的三组对校距离分别为 d1, d2, d3,内切球半径为r,重心为G, G点到AiAj 的距离为dij(1i j4 ) , 证明: 1 2 1ij4 1 d2ij 1 r2 4 3 i =1 1 d2i (山东枣庄立新学校 孔令恩 277101) (山东枣庄建设路学校 郭增花 277101) 1433 在实数范围内解方程 y = x3(3-2x) , z = y3(3-2y) , x = z3(3-2Z) . (宁波市甬江职高 邵剑波 315000) 1