高中数学备课参考数学通报问题解答0309pdf

数学问题解答 2003年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1446 设x0, a 0,求使不等式 1+ x1+ x 2 - x2 a 成立的最大的a. (宁波市甬江职高综合高中部 邵剑波 315000) 解 令1+ x = t1,则x = t2-1,故 1+ x -1- x 2 + x2 a = t -1- 1 2 ( t 2 -1 ) + 1 a ( t 2 -1) 2 = 1 2a ( t - 1 ) 2a - a( t +1 ) + 2 ( t + 1) 2 ( t - 1 ) = 1 2a ( t - 1) a -at +2( t +1) 2 ( t - 1 ) = 1 2a ( t - 1) 22 ( t + 1) 2 -a0, 因此a2 ( t + 1) 2 一定要成立,由于2 ( t + 1) 2 在 t1时的最小值为8,所以所求的最大的a为8. 1447 已知二次函数f ( x) = ax2+ bx + c在 m , n上的最小值为km ,最大值为kn( k为正常数 ) , 求证:抛物线y = f ( x)与直线y = kx有两个不同 的交点. (湖 北 省 谷 城 县 第 三 高 级 中 学 贺 斌 441700) 证明 设抛物线y = f ( x)的顶点坐标为 ( x 0, y0 ) , 考虑g( x)= f ( x) -kx = ax2+ ( b - k) x + c. (1)若nx0或x0m ,则y = f ( x)或者 通过( m , km)、( n , kn)两点,或者通过( m , kn)、 ( n , km)两点. 对于前一种情况,结论显然. 对于后一种情况,则有 kn = am2+ bm + c , km = an2+ bn + c , 所以g( m) = k( n - m) 0, g( n) = k( m - n) 0, 从而必有ag( m) 0或ag( n) 0. 故二次方程g( x) =0必有两实根. (2)若m x0 0时)或 kn = y0( a 0 ( a 0时) 所以ag( x0 ) 0 故在此情况下,二次方程g( x) =0也有两实 根. 1448 设a0, a1, a2,满足a0= 1 2 , ak+1= ak+ 1 n a2k( k =0,1,2,)其中n是某个固定的正整 数,求证:1- 1 n an0 证明 a1 = ( 2n +1 ) / 4n ,从而有 n +1 2n +1 a1 n 2n -1 由此我们猜想 n +1 2n -k +2 ak n 2n -k (1k n) 现在我们用数学归纳法证明这个不等式. 显然, n =1时成立; 设k n时不等式成立,我们来证明k +1 n时结论也成立.此时 ak+1= ak+ 1 n a2k= ak(1+ 1 n ak) n +1 2n -k +1 + n +1 2n -k +2 n +1 n( 2n -k +2) - 1 2n -k +1 n +1 2n -k +1 从而对一切1kn成立.特别对k = n , 有1- 1 n n +1 n +2 an0,求证 a a2+3b2 + b b2+3a2 1 (安 徽 省 明 光 市 涧 溪 中 学 盛 宏 礼 239461) 1455 图1中,A , B两点 上下相距11个单位, B 点在A点右边3个单位距 离,有人欲从A点行至 B.行走时只许沿着方格 的对角线前进(向上走 ) , 不许后退(向下走 ) . (1)从A点到B点共 (下转28页) 842003年 第9期 数学通报 0, i =1,2,3) 其中Ai= Aicos+ Bisin, Bi= - Aisin+ Bicos, Ci= Aix0+ Biy0+ Ci. ( i =1,2,3)(4) 由于三直线共点的条件是: A1B1C1 A2B2C2 A3B3C3 =0 利用(4)式经过计算可得 A1B1C1 A2B2C2 A3B3C3 = A1B1C1 A2B2C2 A3B3C3 即知三直线共点的条件在新旧坐标系下不变. 定理5的证明: 设点P分P1与P2 ( P 1P2)的比为,在坐标 系o - xy下的坐标为( x , y) ,则有定比分点公式 x = x1+x2 1+ , y = y1+y2 1+ ( -1) 或 x -x1 x2-x = y -y1 y2-y =(5) 经过直角坐标变换(1 ) , P 1、P2及P在新坐标系o -xy 下的坐标分别为 ( x 1, y1 ) , ( x 2, y2 ) , ( x , y ) , 点P分P1与P2 ( P 1P2)的比为 ,则有 x-x1 x2-x= y-y1 y2-y= (6) 欲证明定比分点公式不变,只需证明(5)与 (6)中的= 即可,将(1)式代入(5)并利用(6) 式经过计算可知 = x -x1 x2-x = x-x1 x2-x= 定理1、2、3表明距离、 夹角、 面积的计算公式 都不因坐标系的变化而变化,即在不同的坐标系 中,虽然点的坐标不同,但使用距离、 夹角、 面积的 计算公式所求得的值都是相等的;定理5表明尽 管在不同的坐标系中点P, P1, P2的坐标不同,但 用公式(5)求得的比值不变;定理6表明在一坐标 系下的直线不会在另一坐标系下变为二次曲线; 定理7表明二次曲线的种类也不会因选取不同的 坐标系而发生变化,即如在一坐标系下的方程为 圆,不会在另一坐标系下变为椭圆或双曲线或抛 物线.不仅如此,利用上述定理及其推论还可证明 点、 直线、 二次曲线的相关位置的判定条件也不因 坐标系的变化而变化. 由上述理论就不难说明解析法证明几何命题 时可以任意选取坐标系的合理性.事实上,由于欧 氏几何中所涉及的图形是点、 直线、 二次曲线等. 所涉及的性质有距离、 夹角、 面积、 线段的比、 以及 点、 直线与二次曲线的相关位置等.而由前面的理 论可知,这一些公式都与坐标系的选取无关. 由上述理论还可说明在求曲线轨迹(只涉及 直线或二次曲线的轨迹)方程时可以任意选取坐 标系这个问题.因为当曲线给定后,不管怎样选取 坐标系,所求得的方程(当然,不同坐标系中的方 程的系数是不同的)不会因为选取不同的坐标系 而得出不同种的曲线(如在坐标系o -xy中是椭 圆,而在另一坐标系o-xy 中是双曲线 ) . 但由于在不同的坐标系中同一点的坐标不 同,所以直线、 二次曲线的方程的系数有繁有简. 既然坐标系可以任意选取,因此,在用解析法证明 几何命题时,可选取适当的坐标系,以尽可能减少 计算量.同样在求曲线轨迹方程时,也需适当选取 坐标系,以使所求轨迹方程的系数尽可能简单. 由上述理论还可说明在研究曲线的几何性质 时为什么只需对它的标准方程进行研究即可,而 不必对其它形式的方程进行研究.因为其它形式 的方程总可以通过一直角坐标变换化为标准形, 而这个变换对所研究的性质是不变的. (上接48页) 有多少种不同走法 ?( 图中画出的两条折线代表两 种不同走法) (2)图2中, CD为一条铅直的直线,它位于A 右方