河南省新乡市学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析） (3)

河南省新乡市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若，则”的逆命题为（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据命题与逆命题的关系，可得逆命题。【详解】根据原命题与逆命题的关系，可得逆命题为若，则所以选C【点睛】本题考查了命题与逆命题的关系，属于基础题。2.在等差数列中，则A. 8B. 9C. 11D. 12【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解的值【详解】在等差数列中，由，得，又，故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题3.在中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若，则A. B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据余弦定理可得b的值【详解】，由余弦定理可得：故选：C【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题4.已知双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线定义及a、b、c关系，求出值即可得到双曲线方程。【详解】因为双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10所以 ，解方程组得且焦点在x轴上，所以双曲线标准方程为所以选B【点睛】本题考查了利用a、b、c的关系求双曲线标准方程，属于基础题。5.在三棱柱中，若，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可画出三棱柱，结合图形即可求出，这样根据向量加法的平行四边形法则即可求出【详解】如图，；，；故选：D【点睛】本题考查相等向量、相反向量的概念，向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，数形结合的解题方法6.设，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式求得x的取值范围，根据充分不必要条件可求出a、b的范围即可。【详解】解不等式得因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，且所以 所以选C【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，注意边界问题，属于基础题。7.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则使成立的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由题意，验证，得到，进而得到答案。【详解】由题意，只有B中，所以，故【点睛】本题主要考查了利用空间向量判定点、线、面的位置关系的应用，其中熟记空间向量与线面位置关系的判定方法，熟练使用平面的法向量是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。8.设x，y满足约束条件，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.已知点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若，则的面积为A. 42B. 30C. 18D. 14【答案】A【解析】【分析】利用焦半径公式可得，得到抛物线方程，求得的坐标，得到方程，求出与轴交点，再由面积公式求解【详解】因为到焦点的距离，等于到准线的距离，所以，则抛物线的方程为，把代入方程，得舍去，即同理可得，则：，即设直线与轴交于点，已知，故选A【点睛】本题考查抛物线的方程、定义与简单性质，是中档题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.10.已知在长方体中，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得利用向量垂直数量积为零列方程求出的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果【详解】在长方体中，是侧棱的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，0，0，1，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为，故选B【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，以及空间向量夹角余弦公式的应用，是中档题利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.11.在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。【详解】如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得PBF=QBF，EAB=EBA，所以EAB=QBF，所以ME/BQ.因为PMEPQB，所以，因为PBFEBO，所以，从而有，又因为M是线段PF的中点，所以.本题选择C选项.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)12.设是数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可由题设中的递推关系得到，将其变形为后用累加法求可得【详解】因为，所以且，所以，整理得到，所以，所以，选A【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设命题：，则为_ .【答案】，【解析】【分析】由全称命题的否定即可得到答案。【详解】根据全称命题的否定，可得为，【点睛】本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题。14.已知，则的最小值为_【答案】1【解析】【分析】根据基本不等式即可求出最小值【详解】，当且仅当，即时取等号，故答案为：1【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则_【答案】【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求，又，可求b，c的值，根据余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【详解】，由余弦定理可得：，整理可得：，解得：，可得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交C的右支于A、B两点，则C的离心率为_【答案】【解析】【分析】可设，由可得，运用双曲线的定义和勾股定理求得，再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值【详解】可设，由可得，由双曲线的定义可得，由双曲线的定义可得，在直角三角形中，可得，即，在直角三角形中，可得，即为，即，可得故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知表示焦点在x轴上的双曲线，q：方程表示一个圆若p是真命题，求m的取值范围；若是真命题，求m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】结合双曲线的定义进行求解即可根据复合命题真假关系，得到p，q都是真命题进行求解即可【详解】解：若表示焦点在x轴上的双曲线为真命题，则，得，得，由得，若方程表示圆，则得，即q：，若是真命题，则p，q都是真命题，则，得，即实数m的取值范围是【点睛】本题主要考查命题真假的应用，以及复合命题真假关系，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键18.已知数列满足，证明：数列是等比数列；设，求数列的前n项和【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】对数列的递推式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；由对数的运算性质可得，再由裂项相消求和，化简可得所求和【详解】解：证明：数列满足，可得，即有数列是首项为2，公比为3的等比数列；由可得，即有，数列的前n项和【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A；若，求的面积【答案】（）；（）2.【解析】【分析】【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意求得的值，从而求出角A的值；【方法二】利用余弦定理结合题意求得，从而求得A的值；由同角的三角函数关系求得，再利用三角恒等变换求得，利用正弦定理求得b，计算的面积【详解】解：【方法一】由已知得，；又，由，得；【方法二】由已知得，化简得，由，得；由，得，在中，由正弦定理，得，【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，考查了三角形面积公式，属于中档题20.如图，在直三棱柱中，点在线段上，且求的长；求二面角的大小【答案】（1）；（2）【解析】【分析】连接，先证明平面,可得，利用三角形与三角形相似，可得，利用直角三角形的性质求得；连接，结合（1），由线面垂直的性质可得，即为所求角，由等腰直角三角形的性质可得结果【详解】为直三棱柱，平面平面，平面，所以，所以平面,，三角形与三角形相似，又，；设，连接BD，即为二面角的平面角，在中求得，为等腰直角三角形，故【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直、二面角的求法，属于常规题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.21.已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为.（1）求的轨迹方程；（2）若直线交于，两点，且线段的中点的坐标为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，可判断出圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程。（2）设出直线斜率，两个交点P、Q的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程；联立抛物线方程，利用弦长公式即可求得。【详解】解：（1）由题设知，点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点为准线的抛物线， 所以所求的轨迹方程为 （2）由题意已知，直线的斜率显然存在，设直线的斜率为，则有，两式作差可得，即得， 因为线段的中点的坐标为，所以，则直线的方程为，即，与联立得，得， 【点睛】本题考查了抛物线的定义，涉及中点问题的点差法的应用及弦长公式，属于中档题。22.已知椭圆C：的离心率为，长半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点求椭圆C的方程；若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】由题意知，解出a、b即可点易知，则直线MA的方程为，直线MB的方程