理数期末答案

书书书 湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案? ? 湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试 理科数学参考答案 必考试卷? 一? 选择题? 题?号 ? ? 答?案 ? ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对?恒成立? 故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒 成立? 即? ? ? ? ? ? ? ?对? ? 恒成立? 构造? ? ? ? ? ? ? ? 开口向下的二次函数? ? 的最小值的可能值为端点值? 故只需 保证 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? 二? 填空题? ? ? ?真 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 对于? ? ? ? ? ? ? ? 不存在? 给力点? ? 对于? ? ? 取? ?在? 上有零点? ? ? ? ? ? 在? ? 上 有零点? ? ? ? ? ? ? 所以? ?存在? 给力点? ? 对于? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 易知? 只有一个零点? 三? 解答题? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? 猜想? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? 证明如下? ?当? ?时? ? 猜想成立? ? ?分? ? ?假设? ? 时猜想成立? 即? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 此时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此? ? ?时? 猜想也成立? ? ? ?分? 由?知? ? ? ? ? ? ? ? 对?成立? ? ?分? ? 湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案? ? ? ? ? 解析? ? 由题意知? ? 是奇函数? ? ? 是偶 函数? ? 是非奇非偶函数? ? ?分? 故? ? ? ?分? ? ? 因为基本事件总数为? ? 其中两个函数相加为奇函数的只有? ? ? 即事件?所包含的基本事件总数为? 故? ? ? ? ? ?分? ? ? 因为基本事件总数为? ? ? 事件?发生当且仅当第一次取的 卡片上是奇函数或非奇非偶函数? 第二次取的卡片上是偶函数? 故事 件? 所包含的基本事件总数为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? 解析? ? 由已知得? ? ? ? ? ? ? ?分? ? 又?为?关于点?的对称点? 故? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ?的方程为? ? ? ?分? ? 代入? ? ? ? ? 整理得 ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ?分? ? 因此? ? ? ? ? ? ? ?分? ? 所以?为?的中点? 即? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? 直线?与抛物线?除?以外没有其它公共点? ? ?分? ? 直线?的方程为? ? ? ? ? ?分? ? 即? ? ? ? ? 代入? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ?分? 即直线?与?只有一个公共点? 所以除?以外直线?与?没有 其它公共点? ? ?分? ? 必考试卷? 一? 选择题? ? ? ? ? 解析? 观察三角形数? ? ? ? 记该数列为? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 观察正方形数? ? ? ? 记该数列为? ? 则? ? 把四个选项的数 字? 分别代入上述两个通项公式? 可知使得?都为正整数的只有? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 问题化为? ? ? ? 即两个函数图象有?个交点? 分 别作出图象? 分析交点个数情况? 求出切线斜率即可? 湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案? ? 二? 填空题? ? ? ? 槡 ? 解析? 如图? 设左焦点为? 连接? ? ? ? 显然? ? ? ? 由已知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ?平行于? ? 故? ? ? ? 又根据双曲线的定义得? ? ? ? ? ? ? 在直角三角形? ?中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? 三? 解答题? ? ? ? 解析? ? 因为?平面? ? ? ? ?平面? ? ? ? 所以? ? ?分? ? 因为? ? ? ?是菱形? 所以? ? ? 因为? ? 所以? ?平面? ? ?分? 因为? ?平面? ? 所以平面? ?平面? ? ?分? ? ? ? 解法一? 因为?平面 ? ? ? ? ? ? 以?为原 点? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?方向为? ?轴正方向建立如图所示 空间直角坐标系? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?分? ? 则? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?分? ? ? 湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案? ? 设平面? ? ?的法向量为? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 所以 ? ? ?槡? ? ? ? ? 令? ? 得? ?槡 ? ? ? ? ?分? ? 同理可求得平面? ? ?的法向量为? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? 槡 ? 槡? ? ?槡 ? ? ? ?分? ? 因为二面角? ?的平面角为钝角? 所以二面角? ?的余弦值为?槡 ? ? ? ? ?分? ? 解法二? 由? ? 知平面? ? ?平面? ? 连接?与?交 于 点? 连接? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? 所以? ? ?为平行四边形? 因为? ?分别是? ?的中点? 所以? ?为平行四边形?且? ? ? ? 因为平面? ?平面? ? ? 过点?作? ? ?于? 则? ?平面? ? 过点?作? ?于? 连接? ? 则? ? ? 所以? ?是二面角? ?的平面角的补角? ?分? ? 在? ? ? ? ?中? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ?槡 ? ? ? ?分? ? 在? ?中? 因为? 所以? ? ? ? ? ?槡 ? ?槡? ? 因为? ? ? ? 所以? ? ? ? 槡 ? 槡? ? 因为? ? ? ? ? 所以? ? ?为直角三角形? ? ?分? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ?槡 槡? ? 槡 ? ?槡 槡 ? ? ? ? ?分? 所以? ? ? ? ? 槡 ? 槡? ? ? ? ?分? 所以? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 所以二面角? ?的余弦值为?槡 ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? 解析? ? 由已知?槡? ? ? ? 故所求椭圆方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 由? 知? ? ? 湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案? ? 由题意可设? ? ? ? ? ? 则? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? 方程显然有两个解? 由韦达定理? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设? ? ? ? ?分? ? 若存在满足题设的?点? 则? ? 由? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理? 可得? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立? 所以? ? ? ? ? ?分? ? 故存在定点? ? 满足题设要求? ? ? ? 解析? ? 由题可知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ?时? 令? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 此时函数? ?在? ? ? ? ? 上单调递减? 在 ? ? ? ? ? 上单 调递增? ?分? ? ?当? ?时? ? ? 在?上单调递增? ?分? ? ?当? ?时? 令? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 此时函数? ?在? ? ? ? ? 上单调递增? 在 ? ? ? ? ? 上单 调递减? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? 当? ?时? ? ? ? 函数在? ?上单调递增? 不可能有两个交 点? 故? ? ? ?分? 当? ?时? 令? ? ? ? 则? ? ? ? 令? ? ? ? 则? ? 故? ?在? ? ? ? 上单调递增? 在 ? ? ? ? 上单调递减? ? ?分? ? ? 不妨设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且? ? ? ? ? 要证? ? ? ? ? ? 需证? ? ? ? ? ? 即证? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以只需证? ? ? ? ? ? ? 即证? 当? ? ? 时? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?