第三章+现代谱估计+.ppt

第3章现代谱估计3.1离散随机过程和非参数谱估计3.1.1离散随机过程是连续随机过程的均匀抽样还是计算前的抽样？离散随机过程x(n)是广义平稳的。如果其平均值是常数，自相关函数仅取决于时间k=n1-n2，即离散随机过程x(n)和y(n)是广义联合平稳的。如果两者都是广义平稳的，并且互相关函数仅取决于时间k=n1-n2，即，平稳离散随机过程的功率谱x(n)是自相关函数的傅立叶变换，即，逆变换(傅立叶级数)是互功率谱可以定义为3.1.2非参数功率谱估计的直接方法(首先计算傅立叶变换)和间接方法(首先计算自相关函数)。1)直接法，2)间接法，3.2平稳ARMA过程如果离散随机过程服从线性差分方程，经过z变换后可以得到A(z)X(z)=B(z)E(z)。它被称为ARMA(p，q)。3.2.1(因果稳定性)由A(z)X(z)=B(z)E(z)定义的ARMA过程是因果稳定的，或者x(n)是e(n)的因果稳定函数，如果存在满足以下条件的常数序列：定理3.2.1使x(n)成为其中A(z)和B(z)没有公共零点的ARMA(p，q)过程，则x(n)是因果稳定的。当且仅当A(z)的零点都在单位圆内时，3.2.2(可逆性)将由A(z)X(z)=B(z)E(z)定义的ARMA过程定义为可逆的。如果有一个常数序列 1 满足以下条件：定理3.2.2使x(n)成为一个ARMA(p，q)过程，其中A(z)和B(z)没有公共零点，那么x(n)是可逆的，当且仅当B(z)的零点都在单位圆内。定理3.2.3如果所有| z | 1都有A(z)0，则ARMA过程A(z)X(z)=B(z)E(z)有唯一的平稳解。定理3.2.4任何具有有限方差的ARMA或MA过程都可以表示为具有无限阶的唯一ar过程。类似地，任何ARMA或AR过程也可以表示为具有无限阶的MA过程。3.3平稳ARMA过程的功率谱密度3.3.1平稳ARMA过程的功率谱密度定理3.3.1假设y(n)是一个具有零均值的离散平稳随机过程，其功率谱密度为py()。如果x(n)是满足差分方程和定理3.3.2的平稳ARMA(p，q)过程，使x(n)成为均值为零、方差为2的白噪声，则x(n)的功率谱密度为，3.3.2的功率谱当量等于。从不同的ARMA模型获得的信号可能具有相同的功率谱。假设ARMA模型为：ARMA过程的功率谱密度x(n)为：结论：如果系统是非因果或非最小相位，则只能用功率谱密度识别| h (ej) |，而不能识别h (ej)。可以使用交叉功率谱密度或高阶矩统计来识别这样的系统。3.4ARMA谱估计问题：使用N个已知观测数据x(0)，x(1)，x(N-1)来估计ARMA过程的功率谱密度。当直接使用等式(3.3.6)的估计时，有必要识别整个ARMA模型的方差和激励噪声。毫安参数的估计需要解非线性方程。3 . 4 . 1 ARMA功率谱估计的两种线性方法1。卡佐夫谱估计问题：什么是已知条件？具有避免确定毫安级和参数以及估计激励白噪声方差的优点。2.卡韦频谱估计，问题：什么是已知的条件？3.4.2修正的尤尔-沃克方程要求在卡佐夫谱估计和卡韦谱估计中有已知的自回归阶数和参数。定理3 . 4 . 1(ar参数的可辨识性)如果ARMA(p，q)模型的多项式A(z)和B(z)没有抵消因子和ap0，则参数a1，模型的ap可以由下面的p修正的尤尔-沃克方程确定。从定理3.4.1可以看出，当ARMA(p，q)过程x(n)的ar阶p和自相关函数rx()已知时，只需求解p Yule-Walker方程，就可以识别ar参数。然而，在实际应用中，自回归阶数P也是未知的，所以确定自回归阶数P的奇异值分解方法3.4.3应该首先确定。在一些应用中，3.5ARMA模型辨识不仅希望获得AR阶参数，还希望获得MA阶和参数。3 . 5 . 1顺序确定，3 . 5 . 2参数估计，实验2的ARMA过程。基本要求：trPlay pARt:将系统视为黑盒(p，q未知)并识别ar和