新新学案系列高中数学4.1圆的方程学案pdf新人教A必修2

圆与方程第四章 学 习 札记 第 四 章 圆与方程 圆 圆的的方方程程 圆的标准方程 学习目标 会推导圆的标准方程， 掌握圆的标准方程的特点 会判断点与圆的位置关系 能根据所给有关圆心、 半径的具体条件用待定系数法 准确地写出圆的标准方程 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径 情境创设 同学 们， 你 们 做 过 摩 天 轮 吗？登 高 而 望 远， 不 亦 乐乎 坐落于泰 晤 士 河 畔 的 英 航 伦 敦 眼， 距 地 面 总 高 度 为 米， 由于伦敦眼属于观景摩天轮结构， 有些人认为其在 排行上应该与重力式摩天轮分开来计算目前世界上最大的重 力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈， 是直径 米， 离 地面总高度为 米的摩天轮 对于这些摩天轮， 我们如何通过建立平面直角坐标系， 利用方程的知识来研究呢？ 我国宋代的祖冲之喜欢研究天文历法， 特别爱好研 究数学， 他造过“ 指南车” ， “ 千里船” ， “ 定时器” ； 但他最杰 出的贡献是对圆的研究， 他计算出圆周率在 和 之间， 成为世界上最早把圆周率数值推算到七 位数字以上的科学家， 今天， 我们将从一个全新角度对圆 作进一步的研究 合作探究 探究一 圆的标准方程 想一想： 圆是怎样定义的？ 在平面内任一点到定点的距离等于定长的点的集合（ 轨 迹） 叫做圆， 定点就是圆心， 定长就是半径 议一议： 确定圆需要哪些条件？ 一个圆的圆心位置和半径一旦给定， 这个圆就被确定下 图 来了 探 究：如 图，设 圆 心 是 （，） ， 半径为， 设（，） 是圆上 任意一点， 则 ， 由两点间的 距离公式得（ ） （ ）槡 ， 即（） （ ） ， 其中圆 心为（ ，） ， 半径为这个方程我 们称之为圆的标准方程 提升总结： 圆心为（ ，） ， 半径为的圆的标准方程为 （） （ ） 温馨提示： （） 如果圆心在坐标原点， 此时， 则 圆的方程为 （） 圆的标准方程 （） （ ） 圆 心 为 （，） ， 半径为 例 求满足下列条件的各圆的方程： （） 圆心在原点， 半径是槡 ； （） 圆心为点（，） ， 半径是 ； （） 经过点（， ） ， 且圆心为点（，） 分 析 根据圆心和半径直接代入标准方程 跟踪练习 圆 （） （） 的 圆 心 和 半 径 分 别 为（ ） （，） ， （，） ， （，） ，槡 （，） ，槡 新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 已知一圆的圆心为点（，） ， 一条直径的两个端 点分别在轴和轴上， 则此圆的方程是（ ） （） （ ） （） （ ） （） （ ） （） （ ） 探究二 如何确定点与圆的位置关系？ 在平面直角坐标系中， 圆一旦确定， 该平面的任何一点 与圆的位置关系也就确定下来了， 那么该如何判断点与圆的 位置关系呢？ 想一想： 初中学习圆的内容时， 点与圆的位置关系有哪 些？是怎样判定的？ 点与圆的位置关系有三种情形： 点在圆内、 点在圆上、 点 在圆外 其判断方法是看点到圆心的距离与圆半径的关系 时， 点在圆内；时， 点在圆上；时， 点在圆外 探究： 以圆 为例， 在圆上的点（ ，） 都满足 数形 结 合 易 知 点 （，） 、 ， （） 、 ， （） 、 ， （） 都在圆的 内 部， 它 们 满 足 、（ ） （ ） 、 （） （） 、（ ） （ ） 事实上， 若点（ ，） 在圆的内部， 过点（，） 作轴的垂 线， 交圆于（ ，） ， 显然有且 ， 从而 有 也就是说圆内部的点（，） 都满 足 数形结合易知点 ，（） 、 ， （） 、 ， （） 、 （，） 都在圆的外部， 它们满足 （ ） 、（ ） 、 （） 、 事实上， 若点（， ） 在圆的 外部， 过点（， ） 作轴或轴的垂线， （） 若与圆有交点， 则同理可得 ； （） 若均与圆无交点， 则 ， 从而也有 也就是说圆的外部的 点（， ） 都满足 将圆替换为（） （ ） （ ） ， 结论同样 成立 提升总结： 点（ ，） 在圆（） （ ） （ ） 上等价于（） （ ） （ ） ； 点（， ） 在圆（） （ ） （ ） 内部等价 于（） （ ） （ ） ； 点（， ） 在圆（） （ ） （ ） 外部等价 于（） （ ） （ ） 温馨提示： 点与圆的位置关系的比较有两种方法： 几何 法与代数法 例 写出以点（，） 为圆心，为半径的圆的标准 方程， 并判断点（，） ，（，） ，（ ，） 与该圆的 位置关系 分 析 先求出圆的标准方程， 然后再判断 跟踪练习 试判断点（，） ，（，） ，（，） 是在圆（） （ ） 的内部还是外部 分 析 既可以先求出该点与圆心的距离， 通过比较 与半径的大小得出结论， 也可以把所给点的坐标代入已知 圆的标准方程进行判断， 于是可得以下两种方法 探究三 圆的标准方程的求法 想一想： 圆的标准方程中有几个参变量？使用什么方法 求解？ 议一议： 圆的标准方程中含有三个参变量， 必须具备三 个独立的条件， 才能定出一个圆的方程 当已知曲线为圆时， 一般采用待定系数法求圆的方程 提升总结： 求圆的标准方程的一般步骤为： （） 根据题意， 设所求的圆的标准方程为 （） （ ） ； （） 根据已知条件， 建立关于、 、的方程组； （） 解此方程组， 求出、 、的值； （） 将所得的、 、的值代回所设的圆的方程中， 就得 到所求的圆的标准方程 例 已知一个圆经过两个点（，） 、（，） ， 且圆心在直线： 上， 求此圆的方程 跟踪练习 圆心为（，） 且与直线相切的圆 的 方 程 是 反思感悟 利用圆的标准方程直接求出圆心和半径， 比较点到圆 心的距离与半径的大小， 能得出点与圆的位置关系求圆的 标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径， 借助弦心距、 弦 长、 半径之间的关系计算时， 可大大简化计算的过程与难度 圆的标准方程为（） （ ） （ ） ， 其中 圆心坐标为（ ，） ， 圆的半径为圆心在原点、 半径为的圆 的标准方程为 （ ） 点与圆的位置关系有三种情形： 点在圆内、 点在圆上、 点 在圆外， 其判断方法是看点到圆心的距离与圆半径的关系 时， 点在圆内； 时， 点在圆上； 时， 点 在圆外 求圆的标准方程的基本方法有直接法、 定义法、 待定 系数法， 在求解时要注意数形结合思想方法的使用 圆与方程第四章 学 习 札记 圆的一般方程 学习目标 掌握圆的一般方程的特点 能将圆的一般方程化为圆的标准方程， 进而求出圆心 的坐标和圆的半径 能根据所给具体条件用待定系数法、 相关点法准确地 求出圆的一般方程 情境创设 同学们， 你到过中国的第一村 华西村吗？ 图 如图， 这是一幅关于古城镇 民居类型的图片， 所在景点为华西村， 位于我国江苏的无锡市在画面中我 们可以看到许多几何结构的图形， 其 中有圆形或圆弧形的平面图形在上 一节课中， 我们学会了求圆的标准方 程， 对于这些圆我们如何用一般方程表示呢？ 将圆的标准方程展开后整理得 ， 反过来， 形如 的方 程一定是圆的方程吗？如果是， 圆心是什么？半径是多少？ 我们的祖先很早就发明了建桥技术， 现存最早的拱桥 是由著名工匠李春设计建造于 多年前， 横跨在我国河 北赵县的河上的赵州桥， 赵州桥又名安济桥， 全长 多米， 拱圆净跨 米多， 是一座单孔坦拱式桥梁， 赵州桥外形秀 丽， 结构合理， 富有民族风格， 虽然历经千年风霜及车压人 行， 但赵州桥至今仍可通行车辆， 被公认为是世界上最古老 的一座桥由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？ 合作探究 探究一 方程 表示圆的条件 问题 下列方程表示什么图形？ （） （） （ ） ； （） ； （） ； （） 做一做： （） （） （） 配方后分别为： （） （ ） ，（） （） ， （） （ ） 不难看出： （） （） 表示圆， （） 表示一个点， （） 不表示任 何图形 问题 以上二元二次方程表示的图形各不相同， 那么 其中有什么规律呢？ 议一议： 将圆的标准方程（） （ ） 展开， 整理得 令， ， 则 ， （） 其中、为常数 将方程 配方得 （） （） （）当 时，方 程 （）表 示 以 ， （） 为圆心， 槡 为半径的圆 （）当时，方 程 （）表 示 一 个 点 ， （） （） 当时， 方程（） 无实数解， 因而它 不表示任何图形 提升总结： 当时， 方程 表示一个圆， 叫做圆的一般方程 温馨提示： 二元二次方程 表示圆需满足以下三个条件： （） 、 的系数相同且 不等于零； （） 不含 项； （） 例 下列方程各表示什么图形？若表示圆， 求出其圆 心与半径 （） ； （） 分 析 本题是考查具有 这个形式 的方程是否表示圆这个知识点， 主要通过配方得到的“ 标准方 程” 来解决问题， 或者直接判断 的符号 跟踪练习 方程 表示一个圆， 则（ ） 圆 的圆心和半径分别为（ ） （，） ， ， （） ， 槡 ， （） ， ， （） ， 槡 探究二 圆的标准方程、 一般方程各有什么特征？如何 相互转化？ 探究： 圆的标准方程为（） （ ） （ ） ， 从形式上看， 特点是两个完全平方式的和等于半径的平方 优点是从方程中可以直接得到圆的半径和圆心坐标， 利用圆 的性质、 定义特点解题相对简便； 缺点是直接代入计算， 运算 量较大 圆的一般方程为 ， 从形式上 看， 特点是按、 的二次、 一次、 零次进行降幂排列优点是 排列讲究顺序， 运算相对来说较简便， 利用公式可以得到圆 心 ， （） 和半径 槡 ； 缺点是需要判断 方程是否表示圆， 因为不能保证一定大于 提升总结： 研究圆的方程的特点， 主要是从形式上观察、 分析和总结相互转化时首先要把握方向， 就是目标方程的 特点， 其次是应用配方法、 展开整理、 合并同类项等基本处理 技巧 新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 例 已知圆的方程为 设该圆过 点（，） 的最长弦和最短弦分别为 和 ， 则四边形 的面积为（ ） 槡 槡 槡 槡 跟踪练习 若圆 的圆心到直线 的距离为槡 ， 则的值为（ ） 或 或 或 或 若方程 表示一个 圆， 则应满足 探究三 圆的一般方程的求解与应用 例 的三个顶点分别为（，） ，（，） ， （，） ， 求其外接圆的方程 分 析 由于所求的圆过三个点， 因而选用一般式， 从而 只要确定系数、即可； 注意三角形外接圆的圆心为各 边的垂直平分线的交点， 所以也可以先求圆心， 再求半径， 从 而求出圆的方程 例 求圆心在直线上， 且过点（，） 和 （，） 的圆的方程 跟踪练习 已知圆 始终被直线平 分， 则 反思感悟 方程 中含有三个参变量， 因此必须具备三个独立条件， 才能确定一个圆， 要注意圆的 一般方程与标准方程的互化 待定系数法是数学中常用的一种方法， 在以前也已用 过， 例如： 由已知条件确定二次函数， 利用根与系数的关系确 定一元二次方程的系数等这种方法在求圆的方程或其他问 题中有广泛的应用， 要熟练掌握待定系数法解决有关问题 求圆的方程常用“ ”用“ 待定系数法” 求圆 的方程的大致步骤是： （） 根据题意， 选择标准方程或一般方 程； （） 根据条件列出关于、 、或、的方程组； （） 解 出、 、或、， 代入标准方程或一般方程 直 直线线、圆圆的的位位置置关关系系 直线与圆的位置关系 学习目标 掌握直线与圆的位置关系的种类 利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心 到直线的距离 会用方程思想（ 判别式法） 或点到直线的距离来判断 直线与圆的位置关系 会求直线与圆的相交弦的长度以及切线方程 情境创设 年月 日上午， 在电视里已经炒作了几个月 的由湖南经济电视台和平江县人民政府联合举办的“ 汽车走 钢丝， 万人尖叫汨罗江” 活动终于在距平江县城不远的澄潭 举行来自河南号称中国车王的刘锁柱， 驾驶一辆没有经过 改装的轿车， 驶过架设在汨罗江上距离水面 米的高空、 长 达 米的两根钢索横跨了汨罗江， 从而成功地打破了上海 大世界吉尼斯纪录！ 在 米的行程中， 车王多次鸣笛向观众致意， 还两次 打开车门查看汽车的情况，