贵州凯里第一中学高三数学模拟考试2文

凯里一中2019届高三模拟考试黄金卷二文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内复数对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行化简，再得到，确定其在复平面内对应点所在象限.【详解】所以，在复平面对应的点为，位于第四象限.【点睛】本题考查复数的基本运算，共轭复数，复数与复平面上点的对应关系，属于简单题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对集合进行化简，然后根据集合的并集运算，得到结果【详解】集合中：解得，即，集合中描述的是的范围，即函数的定义域，解得即；所以故选D项.【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题.3.已知向量，,且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】将转化为向量的坐标运算，得到结果.【详解】由，转化为，根据向量数量积的坐标运算可得，解得故选C项.【点睛】本题考查对向量之间位置关系的转化，数量积的坐标运算，属于简单题.4.已知分别为直线和曲线上的动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将题目转化为圆心到直线的最短距离，然后减去半径，即得到答案【详解】，整理得即是圆心半径为1的圆，所以圆心到直线的距离所以的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即.故选C项.【点睛】本题考查圆上的点与直线上的点的最小距离，一般圆上动点到直线距离的问题，可以先转化为圆心到直线的距离再求解，属于简单题.5.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形较小的锐角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据四个直角三角形全等，设它们的长直角边为，利用勾股定理得到的值，可以得出和，再得到【详解】大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的边长为，小正方形边长为.设四个全等的直角三角形的长直角边为，则短直角边为由勾股定理得，解得为直角三角形较小的锐角，所以所以 【点睛】本题考查平面几何中勾股定理等相关知识，二倍角的计算，属于简单题.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将三视图还原成立体图形，然后可得还原后的三棱锥的四个顶点在一个长方体上，则其外接球就是长方体的外接球，然后算出半径，求出体积.【详解】将三视图还原成立体图形，如图所示，为一个三棱锥，并且，该三棱锥的四个顶点都在一个长方体上，由三视图可得，长方体的长宽高分别为2、1、1，所以外接球的半径为所以外接球的体积.故选D项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，三棱锥的外接球的体积的求法，属于简单题.7.已知函数，且的图像平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对进行化简，然后根据平移，分为向左平移和向右平移两种情况，分别得到平移后解析式，带入原点坐标，得到的值，再进行比较，得到的最小值.【详解】将的图像向左平移个单位，得到，因为平移后图像关于对称，带入得，可得则的最小值为；将的图像向右平移个单位，得到，因为平移后图像关于对称，带入得，可得则的最小值为；综合可知，的最小值为故选C项.【点睛】本题考查三角恒等变形，正弦型函数的图像与性质，函数的平移，属于中档题.8.若执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据框图的循环过程进行分析，发现数值的规律，然后根据规律找到输出的的值.【详解】根据框图循环，可得每一步的值；发现的值有周期，周期为3，而时，的值与的下标相同，当时，循环终止，输出的值，此时为.故选A项.【点睛】本题考查框图的循环结构，找到其循环规律，得到结果，属于基础题.9.在中，若，则下列结论一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对条件中的式子利用进行化简，得到关于的式子，再进行化简后得到答案.【详解】在中，有，为的内角，,即【点睛】本题考查三角函数公式的运用，化简过程中消元的思想，属于简单题.10.在锐角三角形中，已知分别是角的对边，且，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对条件中利用正弦定理将边化成角，得到的值，利用余弦定理，得到的最大值，再由面积公式得到面积的最大值.【详解】在中，由正弦定理得 ，解得 为锐角三角形，则由余弦定理得,，当且仅当时，等号成立故选B项.【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的使用，基本不等式的简单应用，属于基础题.11.已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将代入双曲线，得到两点坐标，写出直线方程，得到点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，利用为线段的中点，构造出关于的方程，结合双曲线中，得到离心率的方程，解出离心率.【详解】根据题意，画出示意图，如图所示，则的横坐标都为，代入双曲线方程得,而，所以直线方程为，令，得 所以直线:，令得，因为为线段中点，所以可得，整理得，所以故选C项.【点睛】本题考查双曲线的通径，直线与双曲线的位置关系，直线的表示和交点的计算，属于中档题.12.已知函数 ，若对，使成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】因为为任意，先通过研究在上的单调性，极值，并求出其值域，对，使成立，则在上的值域范围比的值域范围大，可得到关于的不等式，得到的范围.【详解】若对，使成立，则在上的值域范围比在的值域范围大.，所以，则单调递增，则单调递减，所以时，取极大值，为，且，当，所以在上的值域为，所以，则单调递增，所以在上的值域为要使在上的值域范围比在的值域范围大则需满足，解得故选B项.【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间，极值和值域，对量词的理解和转化，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.13.在中，已知分别为角的对边，且，则_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，将式子中的边化成角，然后进行化简，得到，根据的范围，得到的值，从而得到的值.【详解】在中，由正弦定理有 ，,【点睛】本题考查正弦定理边化角，两角和公式，属于简单题.14.已知直线表示两条不同的直线，表示一个平面，有下列几个命题：若在直线上存在不同的两点到的距离相等，则；若，,则；若，,则；若与所成角和与所成的角相等，则；若，,则.其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）【答案】 【解析】【分析】中与可以存在相交；中与可以平行也可以相交；中与可以平行，也可以异面；中与可以平行，也可以异面、相交；正确.【详解】中与可以存在相交；中与可以平行也可以相交；中与可以平行，也可以异面；中与可以平行，也可以异面、相交；正确. 【点睛】本题考查直线与平面，直线与直线间的位置关系，属于简单题.15.如图所示，有三根和套在一根针上的片且自上而下由小到大的金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根上，每次只能移动一个金属片，且在移动过程中较大的金属片不能放在较小的金属片的上面。则把个金属片从号针全部移到号针,最少要_次【答案】31【解析】【分析】分别研究个金属片，个金属片，个金属片的情况，找到规律，得到答案.【详解】设是把个金属片从柱移到柱过程中移动金属片最少次数时,;时,小金属片柱,大金属片柱,小金属片从柱柱,完成,；时, 小金属片柱,中小金属片柱,小金属片从柱柱,用种方法把中、小两金属片移到柱,大金属片到柱;再用种方法把中、小两金属片从柱柱,完成，同样方法，依次可得：【点睛】本题考查对实际应用题的理解能力，读懂题目，将实际问题转化为相应函数，属于中档题.16.已知函数在点处的切线为在点处的切线为，且与的斜率之积为，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】通过导数，分别求出的斜率，令其相乘等于，得到和关系，然后表示出，通过等量代换把表示为关于的一个函数，利用导数找到其最小值，得到答案.【详解】对分别求导，得到所以，则，即由两点间距离公式可得设，则当时，单调递减，当时，单调递增.所以时，取极小值，也是最小值，为，所以的最小值为2，即的最小值为.【点睛】本题考查利用导数求切线斜率，利用导数求函数的最值，属于中档题.三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题。考生根据要求作答. 17.在等差数列中，已知.（I）求数列的通项公式；（II）记为数列的前项和，求的最小值.【答案】()；()30【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项和公差，得到通项（2）根据（1）求出的等差数列，得到其前项和，表示出，然后找到其最小值，注意.【详解】()由得，由，得，即数列的通项公式为.()由()得， ，令，,当；当则在上单调递减，在上单调递增， 又，当或时，取到最小值，即最小值为.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，数列的函数性质，属于基础题.18.某班进行了次数学测试，其中甲、乙两人的成绩统计情况如茎叶图所示：（I）该班数学老师决定从甲、乙两人中选派一人去参加数学比赛，你认为谁去更合适？并说明理由；（II）从甲的成绩中人去两次作进一步的分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在之间的概率.【答案】() 见解析；() 【解析】【分析】()对甲乙两组数据分别计算它们的平均数和方差，然后做出判断.()根据题意，列出所有的情况，选出符合要求的情况，根据古典概型公式，求出概率.【详解】()由茎叶图得，甲的平均分为 ，乙的平均分为 ， 又， ，故甲去更合适. ()由题得，两次成绩一共有15种情况，即：(86,88)，(86,89)，(86,90)，(86,91)，(86,96)，(88,89)，(88,90)，(88,91)，(88,96)，(89,90)，(89,91)，(89,96)，(90,91)，(90,96)，(91,96)，其中至少有一次成绩在之间有9种情况，即：(86,91)，(86,96) ，(88,91)，(88,96)，(89,91)，(89,96)，(90,91)，(90,96)，(91,96)， 故至少有一次成绩在之间的概率为.【点睛】本题考查平均数、方差的计算，两组数据的比较，古典概型，属于简单题.19.如图所示，在三棱锥中，是边长为的正三角形，且平面平面，.（I）求证：平面；（II）求点到平面的距离.【答案】()见解析；() 【解析】【分析】()由勾股定理得到，再由面面垂直的性质，得到线面垂直.()设点到平面的距离为，找到平面上的高，利用等体积转化，求出.【详解】()证明：，有， 又平面平面，平面平面，平面， 平面. ()解：由（1）知，平面. 为三棱锥的高，且， 在中， 为等腰三角形，过点作边的高交于点，则， ， ， ，设点C到平面的距离为，则由得， 即，解得， 故点C到平面的距离为.【点睛】本题考查通过面面垂直证明线面垂直，等体积转化求三棱锥的高.属于中档题.20.已知定点，定直线，动圆经过点且与直线相切.（I）求动圆圆心的轨迹方程；（II）设点为曲线上不同的两点，且，过两点分别作曲线的两条切线，且二者相交于点，求面积的最小值.【答案】() ； ()4【解析】【分析】（）根据圆心运动的特点，得到其轨迹，求出轨迹方程.（）直线与抛物线联立，得到的关系，再利用导数求出过两点的两条切线，表示出的面积，找到其最小值.【详解】()由题意知，动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等， 所以圆心的轨迹方程以为焦点，直线为准线的抛物线， 动圆圆心的轨迹方程为： . ()由得，三点共线， 设直线方程为：，则 ， 于是， 因为，所以，得，即同理，即联立得：， ，即 . 点到的距离为， ， 当时，最小，最小面积为4.【点睛】本题考查抛物线的定义，利用导数求切线，设而不求的数学思想，属于中档题.21.已知函数 .（I）求在其定义域上单调区间；（II）若，都有成立，求实数的取值范围.【答案】() 单调增区间是，单调减区间是； () 【解析】【分析】()对求导，分别找到导函数大于和小于时，的取值范围，得到的单调区间.（II）若，都有成立，得到，分别求出最大值，和最大值，得到的范围.【详解】() 的单调增区间是，单调减区间是. ()由()得，令在区间上的最大值为，都有成立，则而是二次函数，开口向上，最大值在或者处取得.需满足即得：，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、值域，对量词的理解和转化，属于难题.22.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.（I）把曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程；（II）若直线与曲线相交于两点，求.【答案】() 曲线C：. ；()5【解析】【分析】()利用，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，对直线的参数方程，消参得到直角坐标方程.()联立直线和曲线，得到，利用抛物线的定义，得到【详解】()由得， 即曲线C的直角坐标方程为：. 直线的直角坐标方程为. ()