专题八 几何综合题

2020北京数学,二、重难专题突破,专题八几何综合题(必考),【专题解读】几何综合题通常结合“平移、对称、旋转”三种变换方式，通过构造全等三角形及构造直角三角形证明线段之间的数量关系.常见解题思路如下：两条线段之间的数量关系：当问题中出现45角时，线段之间的数量关系往往与有关，当问题中出现30或60角时，线段之间的数量关系往往与有关.尤其是要证明的结论与或有关时，就要想方设法构造含30，45或60角的直角三角形，从而通过等量代换证明结论.三条线段之间的数量关系：通常通过构造全等三角形将三条线段进行等量转换得出结论，或者将三条线段通过等量代换放入同一个直角三角形通过勾股定理得出结论.,教材母题1(人教八下P69复习题18第14题),如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AEEF.(提示：取AB的中点G，连接EG.),教材母题1题图,证明：如解图，取AB的中点G，连接GE.四边形ABCD是正方形，ABBC，B90，BAEAEB90，点G是AB的中点，点E是BC的中点，AGECBGBE，BGE是等腰直角三角形.AGE9045135，AEF90，,教材母题1解图,AEBFEC90，BAEFEC，又EF交正方形外角的平分线CF于点F，ECF9045135，ECFAGE，在AGE和ECF中，EAGFEC，AGEC，AGEECF，AGEECF(ASA)，AEEF.,教材母题1解图,拓展1若点E为BC边上任意一点，其他条件不变，求证：AEEF.,拓展1题图,证明：如解图，在AB上截取BMBE，连接ME，由教材母题1知ECF135，MAECEF.B90，BMEBEM45，AME135ECF，ABBC，BMBE，AMEC，在AME和ECF中，MAECEF，AMEC，AMEECF.AMEECF(ASA)，AEEF.,拓展1题解图,拓展2在拓展1的基础上，连接AF交CD于点H，连接EH.用等式表示线段BE、EH、DH之间的数量关系，并证明.,拓展2题图,解：线段数量关系：BEDHEH.证明：AEEF，AEEF，AEF为等腰直角三角形，EAF45，如解图，延长EB到G点，使BGDH，连接AG.在ABG和ADH中，ABAD，ABGADH，BGDH，ABGADH(SAS)，AGAH，BAGDAH，,拓展2题解图,而DAHBAH90，BAGBAH90，即GAH90，GAE90EAF45，GAEHAE，在AEG和AEH中，AGAH，EAGEAH，AEAE，AEGAEH(SAS)，EGEH，即BEBGEH，BEDHEH.,拓展2题解图,拓展3若点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变.(1)依题意补全图形；(2)求证：AEEF；(3)用等式表示线段BE与CF之间的数量关系，并证明.,拓展3题图,(2)证明：如解图，延长BA至点M，使AMCE，连接ME，BABC，AMCE，BMBE，M45，CF是正方形外角的平分线，ECF45，MECF，AEF90，B90，MAEBBEA，CEFAEFBEA，MAECEF，在MAE和CEF中，MAECEF，AMCE，MECF，MAECEF(ASA)，AEEF；,拓展3题解图,拓展3题解图,(3)解：线段数量关系：CFBE；证明：如解图，作FGBC的延长线于点G，FGE90，ABEFGE.由(2)知MAECEF，在ABE和EGF中，ABEEGF，BAEGEF，AEEF，ABEEGF(AAS)，BEGF，在RtCFG中，GCF45，由勾股定理得，CFFG.CFBE.,教材母题2(人教八下P29习题17.1第14题),如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上.求证：AE2AD22AC2.(提示：连接BD.),教材母题2题图,证明：如解图，连接BD，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，ACBC，ECDC，ECAACD90，BCDACD90，ACEBCD，在ACE和BCD中，CECD，ACEBCD，ACBC，ACEBCD(SAS).,教材母题2解图,BDAE，BDCE，ECDE90，BDCCDE90，即ADB90，在RtADB中，BD2AD2AB2，AB22AC2，AE2AD22AC2.,教材母题2解图,拓展1如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CECD，若ACB的顶点A在ECD斜边ED的延长线上，用等式表示线段AE、AD、AC之间的数量关系，并证明.,拓展1题图,解：线段数量关系：AE2AD22AC2.证明：如解图，连接BD，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，ACBC，ECDC，ACEBCD，在ACE和BCD中，CECD，ACEBCD，ACBC，ACEBCD(SAS)，,拓展1题解图,BDAE，BDCE，ECDE90，BDCCDE90，即ADB90，在RtADB中，BD2AD2AB2，AB22AC2，BDAE，AE2AD22AC2.,拓展1题解图,教材母题3(人教八下P62习题18.2第15题),如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DEAG于点E，BFAG于点F.求证：AFBFEF.,教材母题3题图,证明：DEAG，BFAG，AEDAFB90，四边形ABCD是正方形，ADAB，BAD90，DAEBAF90，ADEDAE90，ADEBAF，在DAE和ABF中，AEDBFA，ADEBAF，ADAB，DAEABF(AAS)，DEAF，AEBF，DEAFAEEFBFEF，AFBFEF.,拓展1连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系，并证明.,拓展1题图,解：DFCE且DFCE.证明：FADADE90，EDCADEADC90，FADEDC，DAEABF，AFDE，又四边形ABCD是正方形，ADCD，在FAD和EDC中，AFDE，FADEDC，ADDC，FADEDC(SAS)，DFCE且ADFDCE，ADFCDFADC90，DCECDF90，DFCE.,拓展2若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AF、BF、EF之间的数量关系.,拓展2题图,(2)线段数量关系：EFBFAF.证明：如解图，DEAG，BFAG，AEDAFB90，四边形ABCD是正方形，ADAB，BAD90，DAEBAF90，ADEDAE90，ADEBAF，在DAE和ABF中，AEDBFA，ADEBAF，ADBA，DAEABF(AAS)，DEAF，AEBF，EFAFAEAFBF.,拓展2题解图,拓展3如图，四边形ABCD是正方形，G是线段BC上任意一点，过点C作CEAG，垂足为E，连接BE.(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AE、BE、CE之间的数量关系，并证明.,拓展3题图,(2)线段数量关系：AECEBE.证明：如解图，过点B作BHBE，交AG于点H，HBEHBCCBE90.四边形ABCD为正方形，ABBC，ABCABHHBC90，ABH