贵州遵义南白中学高二数学第二次联考文

贵州省遵义市南白中学2018-2019学年高二数学下学期第二次联考试题 文（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出的定义域，化简集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合，所以，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.【详解】由复数的运算法则可得，则该复数在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式求解即可.【详解】因为且，所以，故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.4.已知，则（ ）A. -8B. 8C. -4D. 4【答案】C【解析】【分析】直接利用平面向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】因为，所以，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是.5.已知等差数列的前项和为，是方程的两根，则（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】B【解析】【分析】由韦达定理结合等差数列的性质可得，再利用等差数列的求和公式可得结果.【详解】因为，是方程的两根，所以，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式，属于基础题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.6.已知，则它们大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果【详解】因为；，所以，故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.为了得到函数的图象，需要把函数图象上的所有点（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】直接根据三角函数图象的平移变换法则求解即可.【详解】因为函数图象上的所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，所以为了得到函数的图象，需要把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，故选C.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6 个，列举出从这6个素数中任取2个的结果共15个，其中和等于14的有1种结果，由古典概型概率公式可得结果.【详解】不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6 个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为,故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次. 这样才能避免多写、漏写现象的发生.9.函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出和的值,根据所求各值的符号可判断出连续单调递增函数的零点所在的一个区间.【详解】，又函数是实数集上的连续、单调递增函数，所以,函数的零点所在的一个区间是，故选B.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.10.若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】设出双曲线的标准方程,可表示出其渐近线的方程,根据两条直线垂直,推断出其斜率之积为，进而求得和的关系，根据，求得和的关系，则双曲线的离心率可得.【详解】设双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为，两条渐近线互相垂直，故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解11.已知，四点在同一个球的球面上，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由底面积不变,可得高最大时体积最大,即与面垂直时体积最大, 设球心为,半径为,在直角中,利用勾股定理列方程求出半径，即可求出球的表面积.【详解】根据,可得直角三角形的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上,设小圆的圆心为, 由于底面积不变,高最大时体积最大,所以与面垂直时体积最大,最大值为为,即,如图,设球心为,半径为,则在直角中,即,则这个球表面积为,故选C.【点睛】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质.12.若方程只有一个实数解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】方程只有一个实数解，等价于有一个解，即的图象有一个交点，利用导数研究函数的单调性、极值，画出函数图象，利用数形结合可得结果.【详解】方程只有一个实数解，等价于有一个解，即的图象有一个交点，设，则，由，得；由，得或，所以在上递增，在上递减，的极大值为，当时，；当时，；画出函数图象，如图，由图可知当，当或时，的图象有一个交点，此时，方程只有一个实数解，所以，的取值范围为，故选B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查了导数的应用，考查了数形结合思想，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡相应位置）13.已知，满足约束条件，则的最大值为_【答案】2【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，的最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.将一个共有60个个体总体編号为00，01，02，59，根据随机数表法从中抽取一个容量为10的样本，从随机数表的第8行，第11列开始读，依次获取样本号码，直至取满为止，则取出的第4个样本的編号为_附：随机数表第8行，63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79【答案】10【解析】【分析】直接利用随机抽样（随机数表法）方法抽取即可，抽取过程注意剔除大于59以及重复的编号.【详解】第8行第11列的数字为1，由此开始，依次抽取号码,第一个号码为16,第二、四、六个号码都大于59，舍去,按照这个规则抽取号码，抽取的前4个样本号码为16,55，19，10，即取出的第4个样本的編号为10，故答案为10.【点睛】本题主要考查随机数表的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.15.已知函数，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】先判断函数在上单调递增，则不等式等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果.【详解】因为函数，时，且在上递增，时，且在上递增，所以函数在上单调递增，则不等式等价于，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，属于中档题. 解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意判断函数的单调性若函数为增函数，则；若函数为减函数，则16.已知抛物线：的焦点为，点是上一点，圆与直线交于，两点，若，则抛物线的方程为_【答案】【解析】【分析】作,垂足为 ,由点在抛物线上，得，由拋物线的性质，可知,，结合可得，解方程组即可得结果.【详解】画出图形如图所示，作,垂足为 ,由题意得点在抛物线上，则，由拋物线的性质，可知,由抛物线的定义可得等于到抛物线准线的距离，即，,解得，由解得 (舍去）或，故抛物线方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查抛物线的的方程与性质，考查了抛物线定义的应用，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17.已知数列的前项和为，.（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）由，可得，利用等比数列的求和公式可得结果；（）由（）知，则，利用裂项相消法可得结果.【详解】（I）时，.时，.故是以2为首项，2为公比的等比数列.（）由（）知，.【点睛】本题主要考查等比数列的通项与等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图所示，某鲜花店根据以往的鲜花销售记录，绘制了日销量的频率分布直方图，将日销量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立.（）求的值，并根据频率分布直方图求日销量的平均数和中位数；（）“免费午餐”是一项由中国福利基金会发起的公益活动，倡议每捐款4元，为偏远山区的贫困学童提供一份免费午餐.花店老板每日将花店盈利的一部分用于“免费午餐”捐赠，具体见下表：日销量（单位：枝）捐赠爱心午餐（单位：份）12510请问花店老板大概每月（按30天记）向“免费午餐”活动捐赠多少元？【答案】（）；（）元.【解析】【分析】（）根据直方图中各矩形面积和为1可求的值，每个矩形的中点横坐标与组距、该矩形的纵坐标相乘后求和可求日销量的平均数，利用直方图左右两边面积相等处横坐标可求中位数；（）1，2，5，10 与直方图中对应的频率相乘，再求和即可得老板日均捐赠的份数，进而可得结果.【详解】（），平均数，设中位数为，则解得.（）老板日均捐赠的份数为份，故老板每月大概向“免费午餐”项目捐赠元.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.19.如图，四边形为正方形，平面，.（）求证：；（）求点到平面的距离.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）由正方形的性质可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结果；（）设到平面的距离为，则，即，分别求出两个三角形的面积以及的值，代入计算即可得结果.【详解】（）为正方形，又平面，平面，平面，平面，.（）设到平面的距离为，即，.又，在中，即，即到平面的距离为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，考查了等积变换求点面距离，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.20.已知椭圆：的左右焦点分别为，椭圆上有一点，且；若点在椭圆上，则称点为点的一个“椭点”，某斜率为的直线与椭圆相交于，两点，两点的“椭点”分别为，且.（）求椭圆的标准方程；（）的面积是否为定值？若为定值，求该定值；若不为定值，说明理由.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）根据椭圆的定义求出，再由椭圆过点求出，从而可得椭圆的标准方程；（）设：， 将直线方程代入椭圆方程，消去得，由化简得，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出三角形的高，代入三角形的面积公式，化简即可得结果.【详解】（）椭圆过点，又，即椭圆的方程为.（）设：，则，将直线方程代入椭圆方程，消去得，即.将代入，化简得，记到直线的距离为，.综上所述，的面积为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数.（）求证：函数在上单调递增；（）若存在，使得，试求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）11，故当x(0，)时，lna0，ax10，所以f(x)0， 故函数f(x)在(0，)上单调递增 (2)由(1)可知，当x(，0)时，f(x)0，所以f(1)f(1)，于是f(x)maxf(1)a1lna， 故对任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|max|f(1)f(0)|alna，alnae1，所以1ae.（二）选考题：共10分，请考生选择一题作答，多做则按第一题给分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，圆的方程为.（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数），与交于，两点，求的斜率.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）将，代入，即可得到圆的极坐标方程；（）将直线的参数方程转化为一般方程，由，结合圆的半径为1，利用勾股定理求出圆心到直线的距离，根据点到直线距离距离公式列方程求解即可.【详解】（）将，代入，得到圆的极坐标方程：.（）将直