高中数学2.5.1《向量在平面几何中的应用》教案人教必修4

2.5.2 向量在平面几何中的应用一、教学目标1知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题2过程与方法：通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法3情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 二、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 三、教学方法 本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。四、教学内容安排：教学环节教学内容师生互动设计意图复习准备课前复习任务（由学生总结成书面材料）（1）向量的线性运算是怎样的?（2）平面向量共线的含义及条件是什么？（3）平面向量的基本定理及向量的坐标运算有哪些？（4）平面向量的数量积中有哪些主要内容？讨论：（1）若O为重心,则+= （2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行新课引入平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行中，设,，则（平移），（长度）向量，的夹角为 讨论（让学生回顾学过的知识，有利于本课的顺利进行）：（）向量运算与几何中的结论若，则，且所在直线平行或重合相类比，你有什么体会？（）由学生举出几个具有线性运算的几何实例（3）向量平行、垂直的判定方法 让学生掌握用向量方法解平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等把运算结果翻译成几何关系应用举例例1：如图2-55，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。小结：本题的关键选择适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来问题1 证明AECF是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题2 选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题3 由学生总结解题方法 通过分步设问，引导学生展开思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法例2：求证平行四边形对角线互相平分小结：法一注重向量的坐标运算和解析法的运用：法二选取基底和，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系数得结论，体现了方程思想的运用。问题4 如何证明？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条对角线互相平分，可以证明，或。前一种方法可以建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示后即可；后一种方法就是课本提供的方法。师生共同讨论交流，由教师给出证明过程本题所用方法比较特殊，学生不易想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，点出方法，又不直接说怎么做，引导学生再去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。例3：已知正方形ABCD（图2-57），P为对角线AC上任意一点，于点E，于点F，连接DP，EF。求证DPEF。小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。问题5 如何证明？能否用坐标法完成？学生思考，回答 老师点评学生思路：要证明两条直线（段）互相垂直，可以证明=，也可以证明两向量数量积为0。前一种方法可以建立平面直角坐标系，点用坐标表示用斜率公式即可；后一种方法就是课本提供的方法，将向量用坐标表示后进行向量的数量积运算即可。 师生共同讨论交流，由教师指导学生给出证明过程本题用坐标法。尤其是第二种方法用向量坐标法证明比较简单，可见选定方法是关键，学生可从中体会，形成思维习惯。课堂练习练习1 求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和练习2如图，在平行四边形中，求证四边形为矩形由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积要证四边形为矩形，只需证一角为直角进一步巩固所学知识，归纳方法归纳小结本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐