高中数学《函数的表示法》同步练习1北师大必修1

函数的表示方法一、选择题1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线yf(x)(实线表示),另一种是平均价格曲线yg(x)(虚线表示)如f(2)3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元;g(2)3表示两个小时内的平均价格为3元,下图给出的四个图象中,其中可能正确的是( )解析:解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应,因此可以得到正确选项为C.答案:C2.定义运算设F(x)f(x)g(x),若f(x)sinx,g(x)cosx,xR,则F(x)的值域为( )A.-1,1 B. C. D. 解析:由已知得即F(x)F(x)sinx,当,kZ时,F(x)-1,;F(x)cosx,当,kZ时,F(x)(-1,),故选C.答案:C3.已知则的值为( )A.-2 B.-1 C.1 D.2解析:,.故选C.答案:C4.函数f(x+1)为偶函数,且x1时,f(x)x2+1,则x1时,f(x)的解析式为( )A.f(x)x2-4x+4 B.f(x)x2-4x+5C.f(x)x2-4x-5 D.f(x)x2+4x+5解析:因为f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)f(x+1),即f(x)f(2-x).当x1时,2-x1,此时,f(2-x)(2-x)2+1,即f(x)x2-4x+5.答案:B5.函数的图象的大致形状是( )解析:该函数为一个分段函数,即为当x0时函数f(x)ax的图象单调递增;当x0时,函数f(x)-ax的图象单调递减.故选B.答案:B6.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的的长为l,弦AP的长为d,则函数df(l)的图象大致是( )解析:函数在0,上的解析式为.在,2上的解析式为,故函数df(l)的解析式为,l0,2.答案:C二、填空题7.设函数若f(1)+f(a)2,则a的所有可能的值是_.解析:由已知可得,当a0时,有e0+ea-11+ea-12,ea-11.a-10.a1.当-1a0时,有1+sin(a2)2,sin(a2)1.又-1a0,0a21,当k0时,有,.综上可知,a1或.答案:1或8.用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的长与宽应分别为_.解析:由题意可知,即是求窗户面积最大时的长与宽,设长为xm,则宽为()m,解得当x3时,.长为3m,宽为1.5m.答案:3m,1.5m9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d_,其中t0,60.解析:由题意,得当时间经过t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是弧度,因此当t(0,30)时,由余弦定理,得,;当t(30,60)时,在AOB中,由余弦定理,得,且当t0或30或60时,相应的d(cm)与t(s)间的关系仍满足.综上所述, ,其中t0,60.答案: 三、解答题10.已知定义域为R的函数f(x)满足ff(x)-x2+xf(x)-x2+x.(1)若f(2)3,求f(1);又若f(0)a,求f(a);(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)x0,求函数f(x)的解析表达式.解:(1)因为对任意xR,有ff(x)-x2+xf(x)-x2+x,所以ff(2)-22+2f(2)-22+2.又由f(2)3,得f(3-22+2)3-22+2,即f(1)1.若f(0)a,则f(a-02+0)a-02+0,即f(a)a(2)因为对任意xR,有ff(x)-x2+xf(x)-x2+x,又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)x0,所以对任意xR,有f(x)-x2+xx0.在上式中令xx0,有f(x0)-x02+x0x0,又因为f(x0)x0,所以x0-x020.故x00或x01.若x00,则f(x)-x2+x0,即f(x)x2-x.但方程x2-xx有两个不同实根,与题设条件矛盾,故x00.若x01,则有f(x)-x2+x1,即f(x)x2-x+1.易验证该函数满足题设条件.综上,所求函数为f(x)x2-x+1(xR).11.对定义域分别是Df、Dg的函数yf(x)、yg(x),规定:函数h(x).(1)若函数,g(x)x2,写出函数h(x)的解析式;(2)求(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)f(x+),其中是常数,且0,请设计一个定义域为R的函数yf(x)及一个的值,使得h(x)cos4x,并予以证明.解:(1)(2)当x1时,若x1,则h(x)4,当x2时等号成立;若x1,则h(x)0,当x0时等号成立.函数h(x)的值域是(-,014,+).(3)解法一:令f(x)sin2x+cos2x,则cos2x-sin2x,于是h(x)f(x)f(x+)(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)cos4x.解法二:令,则,于是h(x)f(x)f(x+)()()1-2sin22xcos4x.12.设函数f(x)|x2-4x-5|.(1)在区间-2,6上画出函数f(x)的图象;(2)设集合Ax|f(x)5,B(-,-20,46,+).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;(3)当k2时,求证:在区间-1,5上,ykx+3k的图象位于函数f(x)图象的上方.解:(1)(2)BA.证明如下:方程f(x)5的解分别是,0,4和,由于f(x)在(-,-1和2,5上单调递减,在-1,2和5,+)上单调递增,因此,A(-,)0,4,+),由于6,-2,BA.(3)证明:当x-1,5时,f(x)-x2+4x+5,g(x)k(x+3)-(-x2+4x+5)x2+(k-4)x+(3k-5).k2,.又-1x5,当,即2k6时,取